На этом уроке мы познакомимся с правилами вынесения за скобки общего множителя, научимся находить его в различных примерах и выражениях. Поговорим о том, как простая операция, вынесение общего множителя за скобки, позволяет упростить вычисления. Полученные знания и навыки закрепим, рассмотрев примеры разных сложностей.

Что такое общий множитель, зачем его искать и с какой целью выносить за скобки? Ответим на эти вопросы, разобрав простейший пример.

Решим уравнение . Левая часть уравнения является многочленом, состоящим из подобных членов. Буквенная часть является общей для данных членов, значит, она и будет общим множителем. Вынесем за скобки:

В данном случае вынесение за скобки общего множителя помогло нам преобразовать многочлен в одночлен. Таким образом, мы смогли упростить многочлен и его преобразование помогло нам решить уравнение.

В рассмотренном примере общий множитель был очевиден, но будет ли так просто найти его в произвольном многочлене?

Найдём значение выражения: .

В данном примере вынесение общего множителя за скобки значительно упростило вычисление.

Решим еще один пример. Докажем делимость на выражения .

Полученное выражение делится на , что и требовалось доказать. И снова вынесение общего множителя позволило нам решить задачу.

Решим еще один пример. Докажем, что выражение делится на при любом натуральном : .

Выражение является произведением двух соседних чисел натурального ряда. Одно из двух чисел обязательно будет четным, значит, выражение будет делиться на .

Мы разобрали разные примеры, но применяли один и тот же метод решения: выносили общий множитель за скобки. Мы видим, что эта простая операция значительно упрощает вычисления. Было легко найти общий множитель для этих частных случаев, а что делать в общем случае, для произвольного многочлена?

Вспомним, что многочлен - сумма одночленов.

Рассмотрим многочлен . Данный многочлен является суммой двух одночленов. Одночлен - произведение числа, коэффициента, и буквенной части. Таким образом, в нашем многочлене каждый одночлен представлен произведением числа и степеней, произведение множителей. Множители могут быть одинаковыми для всех одночленов. Именно эти множители нужно определить и вынести за скобку. Сначала находим общий множитель для коэффициентов, причем целочисленных.

Было легко найти общий множитель, но давайте определим НОД коэффициентов: .

Рассмотрим ещё один пример: .

Найдем , что позволит нам определить общий множитель для данного выражения: .

Мы вывели правило для целых коэффициентов. Нужно найти их НОД и вынести за скобку. Закрепим это правило, решив ещё один пример.

Мы рассмотрели правило вынесения общего множителя для целочисленных коэффициентов, перейдем к буквенной части. Сначала ищем те буквы, которые входят во все одночлены, а потом определяем наибольшую степень буквы, которая входит во все одночлены: .

В этом примере была всего одна общая буквенная переменная, но их может быть несколько, как в следующем примере:

Усложним пример, увеличив количество одночленов:

После вынесения общего множителя мы преобразовали алгебраическую сумму в произведение.

Мы рассмотрели правила вынесения для целых коэффициентов и буквенных переменных отдельно, но чаще всего для решения примера нужно применять их вместе. Рассмотрим пример:

Иногда бывает сложно определить, какое выражение остается в скобках, рассмотрим легкий прием, который позволит вам быстро решить эту проблему.

Общим множителем также может быть искомое значение :

Общим множителем может быть не только число или одночлен, но и любое выражение, как, например, в следующем уравнении.

Чичаева Дарина 8в класс

В работе ученица 8 класса расписала правило разложения многочлена на множители путём вынесения общего множителя за скобки с подробным ходом решения множества примеровм по данной теме. На каждый разобранный пример предложено по 2 примера для самостоятельного решения, к которым есть ответы. Работа поможет изучить данную тему тем ученикам, которые по каким-то причинам её не усвоил при прохождении программного материала 7 класса и (или) при повторении курса алгебры в 8 классе после летних каникул.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №32

«Ассоциированная школа ЮНЕСКО «Эврика-развитие»

г. Волжского Волгоградской области

Работу выполнила:

Ученица 8В класса

Чичаева Дарина

г. Волжский

2014

Вынесение общего множителя за скобки

• - Одним из способов разложения многочлена на множители является вынесение общего множителя за скобки;
• - При вынесении общего множителя за скобки применяется распределительное свойство ;
• - Если все члены многочлена содержат общий множитель , то этот множитель можно вынести за скобки .

При решении уравнений, в вычислениях и ряде других задач бывает полезно заменить многочлен произведением нескольких многочленов (среди которых могут быть и одночлены). Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называют разложение многочлена на множители.

Рассмотрим многочлен 6a 2 b+15b 2 . Каждый его член можно заменить произведением двух множителей, один из которых равен 3b: →6a 2 b = 3b*2a 2 , + 15b 2 = 3b*5b →из этого мы получим: 6a 2 b+15b 2 =3b*2a 2 +3b*5b.

Полученное выражение на основе распределительного свойства умножения можно представить в виде произведения двух множителей. Один из них – общий множитель 3b , а другой – сумма 2а 2 и 5b→ 3b*2a 2 +3b*5b=3b(2a 2 +5b) →Таким образом, мы разложили многочлен: 6a 2 b+15b 2 на множители, представив его в виде произведения одночлена 3b и многочлена 2a 2 +5b. Данный способ разложения многочлена на множители называют вынесение общего множителя за скобки.

Примеры:

Разложите на множители:

А) kx-px.

Множитель х х выносим за скобки.

kx:x=k; px:x=p.

Получим: kx-px=x*(k-p).

б) 4a-4b.

Множитель 4 есть и в 1 слагаемом и во 2 слагаемом. Поэтому 4 выносим за скобки.

4а:4=а; 4b:4=b.

Получим: 4a-4b=4*(a-b).

в) -9m-27n.

9m и -27n делятся на -9 . Поэтому выносим за скобки числовой множитель -9.

9m: (-9)=m; -27n: (-9)=3n.

Имеем: -9m-27n=-9*(m+3n).

г) 5y 2 -15y.

5 и 15 делятся на 5; y 2 и у делятся на у.

Поэтому выносим за скобки общий множитель 5у .

5y 2 : 5у=у; -15y: 5у=-3.

Итак: 5y 2 -15y=5у*(у-3).

Замечание: Из двух степеней с одинаковым основанием выносим степень с меньшим показателем.

д) 16у 3 +12у 2 .

16 и 12 делятся на 4; y 3 и y 2 делятся на y 2 .

Значит, общий множитель 4y 2 .

16y 3 : 4y 2 =4y; 12y 2 : 4y 2 =3.

В результате мы получим: 16y 3 +12y 2 =4y 2 *(4у+3).

е) Разложите на множители многочлен 8b(7y+a)+n(7y+a).

В данном выражении мы видим, присутствует один и тот же множитель (7y+a) , который можно вынести за скобки. Итак, получим: 8b(7y+a)+n(7y+a)=(8b+n)*(7y+a).

ж) a(b-c)+d(c-b).

Выражения b-c и c-b являются противоположными. Поэтому, чтобы сделать их одинаковыми, перед d меняем знак «+» на «-»:

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c).

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c)=(b-c)*(a-d).

Примеры для самостоятельного решения:

1. mx+my;
2. ах+ау;
3. 5x+5y ;
4. 12x+48y;
5. 7ax+7bx;
6. 14x+21y;
7. –ma-a ;
8. 8mn-4m 2 ;
9. -12y 4 -16y;
10. 15y 3 -30y 2 ;
11. 5c(y-2c)+y 2 (y-2c);
12. 8m(a-3)+n(a-3);
13. x(y-5)-y(5-y);
14. 3a(2x-7)+5b(7-2x);

Ответы.

1) m(х+у); 2) а(х+у); 3) 5(х+у); 4) 12(х+4у); 5) 7х(a+b); 6) 7(2х+3у); 7) -а(m+1); 8) 4m(2n-m);

9) -4y(3y 3 +4); 10) 15у 2 (у-2); 11) (y-2c)(5с+у 2 ); 12) (a-3)(8m+n); 13) (y-5)(x+y); 14) (2x-7)(3a-5b).

§ 10. Разложение многочленов на множители способом вынесения общего множителя за скобки

В 6 классе мы раскладывали составные числа на простые множители, то есть подавали натуральные числа в виде произведения. Например, 12 = 2 2 ∙ 3; 105 = 3 ∙5 ∙ 7 др.

Представить в виде произведения можно и некоторые многочлены. Это означает, что эти многочлены можно раскладывать па множители. Например, 5а: - 5у - 5(х - y); а 3 и 3а 2 = а 2 (а + 3) и тому подобное.

Рассмотрим один из способов разложения многочленов на множители - вынесение общего множителя за скобки. Одним из известных нам примеров такого разложения является распределительная свойство умножения a(b + с) = ab + ас, если его записать в обратном порядке: аb + ас - a(b + с). Это означает, что многочлен аb + ас разложили на два множителя а и b + с.

Во время разложения на множители многочленов с целыми коэффициентами множителем, который выносят за скобки, выбирают так, чтобы члены многочлена, который останется в скобках, не имели общего буквенного множителя, а модули их коэффициентов не имели общих делителей.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Разложить выражение на множители:

3) 15а 3 b - 10а 2 b 2 .

Р а з в’ я з а н н я.

1) Общим множителем является число 4, поэтому

8m + 4 = 4 . 2m + 4 ∙ 1 = 4(2m + 1).

2) Общим множителем является переменная а, поэтому

at + 7ap = a(t + 7p).

3) В данном случае общим числовым множителем есть наибольший общий делитель чисел 10 и 15 - число 5, а общим буквенным множителем является одночлен а 2 b. Итак,

15а 3 b - 10а 2 b 2 = 5а 2 b ∙ 3а - 5a 2 b ∙ b = 5а 2 b(3а - 2b).

Пример 2. Разложить па множители:

1) 2m(b - с) + 3р(b - с);

2) х(у - t) + c(t - в).

Р а з в ’ я з а н н я.

1) В данном случае общим множителем является двочлен b = c.

Следовательно, 2m(b - с ) + 3р(b - c ) = (b - с)(2m + 3р).

2) Слагаемые имеют множители в - t и t - в, которые являются противоположными выражениями. Поэтому во втором слагаемого вынесем за скобки множитель -1, получим: c(t - в) = -с(у - t).

Следовательно, х(у - t) + c(t - в) = х(у - t) - с(у - t) = (у - t) (х - с).

Для проверки правильности разложения на множители следует перемножить полученные множители. Результат должен равняться данном многочлена.

Разложение многочленов на множители часто упрощает процесс решения уравнения.

Пример 3. Найти корни уравнения 5х 2 - 7х = 0.

Р а з в ’ я з а н н я. Разложим левую часть уравнения на множители вынесением общего множителя за скобки: х(5х - 7) = 0. Учитывая, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, будем иметь: х = 0 или 5х - 7 = 0, откуда х = 0 или х = 1,4.

Ответ: 0; 1,4.

Какое преобразование называют разложением многочлена на множители? На примере многочлена ab + ас объясните, как выполняется разложение на множители вынесением общего множителя за скобки.

1. (Устно) Найдите общий множитель в выражении:

1. (Устно) Разложите на множители:

1. Вынесите за скобки общий множитель:

1. (Устно) правильно выполнило разложения на множители:

1) 7а + 7 = 7а;

2) 5m - 5 = 5(m - 5);

3) 2а - 2 = 2(а - 1);

4) 7ху - 14х = 7х - (у - 2);

5) 5mn + bn = 5m(n + 3);

6) 7ab + 8cb = 15b(a + c)?

1. Запишите сумму в виде произведения:

1. Разложите на множители:

1. Разложите на множители:

4) 7а + 21ау;

5) 9х 2 - 27х;

6) 3а - 9а 2 ;

8) 12ах - 4а 2 ;

9) -18ху + 24в 2 ;

10) а 2 b - ab 2 ;

11) рм - р 2 m;

12) -х 2 y 2 - ху.

1. Вынесите за скобки общий множитель:

4) 15ху + 5х;

6) 15m - 30m 2 ;

7) 9xy + 6х 2 ;

9) -p 2 q - рq 2 .

1. Разложите на множители:

5) 3b 2 - 9b 3 ;

7) 4y 2 + 12y 4 ;

8) 5m 5 + 15m 2 ;

9) -16a 4 - 20a.

1. Разложите на множители:

4) 18p 3 - 12p 2 ;

5) 14b 3 + 7b 4 ;

6) -25m 3 - 20m.

1. Запишите сумму 6x 2 в + 15x в виде произведения и найдите его значение, если х = -0,5, у = 5.
2. Запишите выражение 12а 2 b - 8а в виде произведения и найдите его значение, если а = 2, 6 = .
3. Вынесите за скобки общий множитель:

1) а 4 + а 3 - а 2 ;

2) m 9 - m 2 + m 7 ;

3) b 6 + b 5 - b 9 ;

4) -в 7 - в 12 - в 3 .

1. Представьте в виде произведения:

1) р 7 + р 3 - р 4 ;

2) а 10 - a 5 + а 8 ;

3) b 7 - b 5 - b 2 ;

4) -m 8 - m 2 - m 4 .

1. Вычислите удобным способом:

1) 132 ∙ 27 + 132 ∙ 73;

2) 119 ∙ 37 - 19 ∙ 37.

1. Решите уравнение:

1) x 2 - 2x = 0;

2) x 2 + 4х = 0.

1. Найдите корни уравнения:

1) х 2 + 3x = 0;

2) х 2 -7х = 0.

1) 4а 3 + 2а 2 - 8а;

2) 9b 3 - 3b 2 - 27b 6 ;

3) 16m 2 - 24m 6 - 22m 3 ;

4) -5b 3 - 20b 2 - 25b 5 .

1. Вынесите за скобки общий множитель:

1) 5с 8 - 5с 7 + 10с 4 ;

2) 9m 4 + 27m 3 - 81m;

3) 8р 7 - 4р 5 + 10р 3 ;

4) 21b - 28b 4 - 14b 3 .

1. Вынесите за скобки общий множитель:

1) 7m 4 - 21m 2 n 2 + 14m 3 ;

2) 12а 2 b - 18аb 2 + 30аb 3 ;

3) 8х 2 у 2 - 4х 3 в 5 + 12x 4 в 3 ;

4) 5p 4 q 2 - 10p 2 q 4 + 15рq 3 .

1. Разложите многочлен на множители:

1) 12а - 6а 2 х 2 - 9а 3 ;

2) 12b 2 в - 18b 3 - 30b 4 в;

3) 16bx 2 - 8b 2 х 3 + 24b 3 х;

4) 60m 4 n 3 - 45m 2 n 4 + 30m 3 n 5 .

1. Вычислите удобным способом:

1) 843 ∙ 743 - 743 2 ;

2) 1103 2 - 1103 ∙ 100 - 1103 ∙ 3.

1. Найдите значение выражения:

1) 4,23 а - а 2 , если а = 5,23;

2) х 2 у + х 3 , если х = 2,51, в = -2,51;

3) ам 5 - m 6 , если = -1, а = -5;

4) -ху - х 2 , если х = 2,7, в = 7,3.

1. Найдите значение выражения:

1) 9,11 а + а 2 , если а = -10,11;

2) 5х 2 + 5a 2 х, если а = ; х = .

1. Разложите многочлен на множители:

1) 2р(х - у) + q(x - у);

2) а(х + у) - (х + у);

3) (а - 7) - b(а - 7);

4) 5(а + 1) + (а + 1) 2 ;

5) (х + 2) 2 - х(х + 2);

6) -5m(m - 2) + 4(m - 2) 2 .

1. Представьте выражение в виде произведения:

1) а(х - у) + b(у - х);

2) г(b - 5) - n(5 - b);

3) 7х - (2b - 3) + 5у(3 - 2b);

4) (х - y) 2 - а(у - х);

5) 5(х - 3) 2 - (3 - х);

6) (а + 1)(2b - 3) - (а + 3)(3 - 2b).

1. Разложите на множители:

1) 3х(b - 2) + у(b - 2);

2) (m 2 - 3) - х(m 2 - 3);

3) а(b - 9) + с(9 - b);

4) 7(а + 2) + (а + 2) 2 ;

5) (с - m) 2 - 5(m - с);

6) -(х + 2у) - 5(х + 2y) 2 .

1. Найдите корни уравнения:

1) 4x 2 - х = 0;

2) 7х 2 + 28х = 0;

3) х 2 + х = 0;

4)х 2 - х = 0.

1. Решите уравнение:

1) 12х 2 + х = 0;

2) 0,2 x 2 - 2х = 0;

3) х 2 - х = 0;

4) 1 - х 2 + - х = 0.

1. Решите уравнение:

1) х(3х + 2) - 5(3х + 2) = 0;

2) 2х(х - 2) - 5(2 - х) = 0.

1. Решите уравнение:

1) х(4х + 5) - 7(4х + 5) = 0;

2) 7(х - 3) - 2х(3 - х) = 0.

1) 17 3 + 17 2 кратное числу 18;

2) 9 14 - 81 6 кратное числу 80.

1. Докажите, что значение выражения:

1) 39 9 - 39 8 делится на 38;

2) 49 5 - 7 8 делится на 48.

1. Вынесите за скобки общий множитель:

1) (5m - 10) 2 ;

2) (18а + 27b) 2 .

1. Найдите корни уравнения:

1) х(х - 3) = 7х - 21;

2) 2х(х - 5) = 20 - 4х.

1. Решите уравнение:

1) х(х - 2) = 4х - 8;

2) 3х(х - 4) = 28 - 7х.

1. Докажите, что число:

1) 10 4 + 5 3 делится на 9;

2) 4 15 - 4 14 + 4 13 делится на 13;

3) 27 3 - 3 7 + 9 3 делится на 25;

4) 21 3 + 14 а - 7 3 делится на 34.

Упражнения для повторения

1. Упростите выражение и найдите его значение:

1) -3x 2 + 7x 3 – 4х 2 + 3x 2 , если х = 0,1;

2) 8m + 5n - 7m + 15n, если m = 7, n = -1.

1. Запишите вместо звездочек такие коэффициенты одночлен, чтобы равенство превратилось в тождество:

1) 2m 2 - 4mn + n 2 + (*m 2 - *m - *n 2) = 3m 2 - 9mn - 5n 2 ;

2) 7х 2 - 10у 2 - ху - (*х 2 - *ху + * 2) = -х 2 + 3у 2 + ху.

1. Длина прямоугольника втрое больше его ширины. Если длину прямоугольника уменьшить на 5 см, то его площадь уменьшится на 40 см 2 . Найдите длину и ширину прямоугольника.

Интересные задачи для учеников ленивых

Известно, что а < b < с. Могут ли одновременно выполняться неравенства |а| > |с| и |b| < |с|?

В рамках изучений тождественных преобразований очень важна тема вынесения общего множителя за скобки. В данной статье мы поясним, в чем именно заключается такое преобразование, выведем основное правило и разберем характерные примеры задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Понятие вынесения множителя за скобки

Чтобы успешно применять данное преобразование, нужно знать, для каких выражений оно используется и какой результат надо получить в итоге. Поясним эти моменты.

Вынести общий множитель за скобки можно в выражениях, представляющих собой суммы, в которых каждое слагаемое является произведением, причем в каждом произведении есть один множитель, общий (одинаковый) для всех. Он так и называется – общим множителем. Именно его мы будем выносить за скобки. Так, если у нас есть произведения 5 · 3 и 5 · 4 , то мы можем вынести за скобки общий множитель 5 .

В чем состоит данное преобразование? В ходе него мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, содержащего сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.

Возьмем пример, приведенный выше. Вынесем общий множитель 5 в 5 · 3 и 5 · 4 и получим 5 (3 + 4) . Итоговое выражение – это произведение общего множителя 5 на выражение в скобках, которое является суммой исходных слагаемых без 5 .

Данное преобразование базируется на распределительном свойстве умножения, которое мы уже изучали до этого. В буквенном виде его можно записать как a · (b + c) = a · b + a · c . Поменяв правую часть с левой, мы увидим схему вынесения общего множителя за скобки.

Правило вынесения общего множителя за скобки

Используя все сказанное выше, выведем основное правило такого преобразования:

Определение 1

Чтобы вынести за скобки общий множитель, надо записать исходное выражение в виде произведения общего множителя и скобок, которые включают в себя исходную сумму без общего множителя.

Пример 1

Возьмем простой пример вынесения. У нас есть числовое выражение 3 · 7 + 3 · 2 − 3 · 5 , которое является суммой трех слагаемых 3 · 7 , 3 · 2 и общего множителя 3 . Взяв за основу выведенное нами правило, запишем произведение как 3 · (7 + 2 − 5) . Это и есть итог нашего преобразования. Запись всего решения выглядит так: 3 · 7 + 3 · 2 − 3 · 5 = 3 · (7 + 2 − 5) .

Мы можем выносить множитель за скобки не только в числовых, но и в буквенных выражениях. Например, в 3 · x − 7 · x + 2 можно вынести переменную x и получить 3 · x − 7 · x + 2 = x · (3 − 7) + 2 , в выражении (x 2 + y) · x · y − (x 2 + y) · x 3 – общий множитель (x 2 + y) и получить в итоге (x 2 + y) · (x · y − x 3) .

Определить сразу, какой множитель является общим, возможно не всегда. Иногда выражение нужно предварительно преобразовать, заменив числа и выражения тождественно равными им произведениями.

Пример 2

Так, к примеру, в выражении 6 · x + 4 · y можно вынести общий множитель 2 , не записанный в явном виде. Чтобы его найти, нам нужно преобразовать исходное выражение, представив шесть как 2 · 3 , а четыре как 2 · 2 . То есть 6 · x + 4 · y = 2 · 3 · x + 2 · 2 · y = 2 · (3 · x + 2 · y) . Или в выражении x 3 + x 2 + 3 · x можно вынести за скобки общий множитель x , который обнаруживается после замены x 3 на x · x 2 . Такое преобразование возможно благодаря основным свойствам степени. В итоге мы получим выражение x · (x 2 + x + 3) .

Еще один случай, на котором следует остановиться отдельно, – это вынесение за скобки минуса. Тогда мы выносим не сам знак, а минус единицу. Например, преобразуем таким образом выражение − 5 − 12 · x + 4 · x · y . Перепишем выражение как (− 1) · 5 + (− 1) · 12 · x − (− 1) · 4 · x · y , чтобы общий множитель был виден более отчетливо. Вынесем его за скобки и получим − (5 + 12 · x − 4 · x · y) . На этом примере видно, что в скобках получилась та же сумма, но с противоположными знаками.

В выводах отметим, что преобразование путем вынесения общего множителя за скобки очень часто применяется на практике, например, для вычисления значения рациональных выражений. Также этот способ полезен, когда нужно представить выражение в виде произведения, например, разложить многочлен на отдельные множители.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Определение 1

Сначала давайте вспомним правила умножения одночлена на одночлен:

Для умножения одночлен на одночлен необходимо сначала перемножить коэффициенты одночленов, затем воспользовавшись правилом умножения степеней с одинаковым основанием умножить переменные входящие в состав одночленов.

Пример 1

Найти произведение одночленов ${2x}^3y^2z$ и ${\frac{3}{4}x}^2y^4$

Решение:

Сначала вычислим проиведение коэффициентов

$2\cdot\frac{3}{4} =\frac{2\cdot 3}{4}$ в этом задании мы использовали правило умножения числа на дробь - чтобы умножить целое число на дробь надо умножить число на числитель дроби, а знаменатель ставить без изменений

Теперь воспользуемся основным свойством дроби - числитель и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число, отличное от $0$. Разделим числитель и знаменте6ль этой дроби на $2$, т. е сократим на $2$ данную дробь $2\cdot\frac{3}{4}$ =$\frac{2\cdot 3}{4}=\ \frac{3}{2}$

Получившийся результат оказался неправильной дробью, т. е такой, у которой числитель больше знаменателя.

Преобразуем эту дробь по средствам выделения целой части. Вспомним, что для выделения целой части необходимо неполное частное, получившиеся при делении числителя на знаменатель записать, как целую часть, остаток от деления в числитель дробной части, делитель в знаменатель.

Мы нашли коэффициент будущего произведения.

Теперь последовательно будем перемножать переменные $x^3\cdot x^2=x^5$,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Тут мы воспользовались правилом умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Тогда итогом умножения одночленов будет:

${2x}^3y^2z \cdot {\frac{3}{4}x}^2y^4=1\frac{1}{2}x^5y^6$.

Тогда исходя из данного правила можно выполнить следующее задание:

Пример 2

Представить заданный многочлен в виде произведения многочлена и одночлена ${4x}^3y+8x^2$

Преставим каждый из одночленов,входящих в состав многолена как прозведение двух одночленов для того, чтобы выделить общий одночлен, который будет являться множителем и в первом и во втором одночлене.

Сначала начнем с первого одночлена ${4x}^3у$. Разложим его коэффициент на простые множители: $4=2\cdot 2$. Аналогично поступим с коэффициентом второго одночлена $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Зметим, что два множителя $2\cdot 2$ входят в состав и первого и второго коэффициентов, значит $2\cdot 2=4$--это чило войдет в общий одночлен как коэффициент

Теперь обратим внимание, что в первом одночлене $x^3$ ,а во втором та же переменная в степени $2:x^2$. Значит, переменную $x^3$ удобно представить так:

Переменная $y$ входит в состав только одного слагаемого многочлена, значит, не может входить в общий одночлен.

Представим первый и второй одночлен, входящий в многочлен как произведение:

${4x}^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Заметим, что общий одночлен, который будет являться множителем и в первом и во втором одночлене это $4x^2$.

${4x}^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Теперь применим распределительный закон умножения, тогда полученное выражение можно представить в виде произведения двух множителей. Одним из множителей будет являться общий множитель: $4x^2$ а другой -- сумма оставшихся множителей: $xy + 2$. Значит:

${4x}^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Этот метод называется разложением на множители с помощью вынесения общего множителя.

Общим множителем в данном случае выступал одночлен $4x^2$ .

Алгоритм

Замечание 1

Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен - он будет коэффициентом общего множителя-одночлена, который мы вынесем за скобки

Одночлен, состящий из коэффициента, найденного в п.2, переменных, найденных в п.3 будет общим множителем. который можно вынести за скобки как общий множитель.

Пример 3

Вынести общий множитель $3a^3-{15a}^2b+4{5ab}^2$

Решение:

Найдем НОД коэффициентов для этого разложим коэффициенты на простые множители

$45=3\cdot 3\cdot 5$

И найдем произведение тех, которые входят в разложение каждого:

Выявить переменные, которые входят в состав каждого одночлена, и выбрать переменную с наименьшим показателем степени

$a^3=a^2\cdot a$

Переменная $b$ входит только во второй и третий одночлен, значит, в общий множитель не войдет.

Составим одночлен, состоящий из коэффициента, найденного в п.2, переменных, найденных в п.3, получим: $3a$- это и будет общий множитель. тогда:

$3a^3-{15a}^2b+4{5ab}^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$