Классификация задач математического программирования

ПРОГРАММИРОВАНИЯ

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО

Контрольные вопросы к разделу 4

Схема решения транспортной задачи

Перечислим основные этапы решения транспортной задачи.

1. Проверяют условие замкнутости. Если задача открытая, транспортную таблицу дополняют или столбцом фиктивного пункта потребления, или строкой фиктивного поставщика.

2. Строят опорный план.

3. Проверяют опорный план на невырожденность. Если для выполнения условия невырожденности не хватает занятой клетки, одну из клеток транспортной таблицы заполняют поставкой, равной нулю. При необходимости допустимо записывать нулевые поставки в несколько клеток.

4. План проверяют на оптимальность.

5. Если условия оптимальности не выполняются, переходят к следующему плану путем перераспределения поставок. Вычислительный процесс повторяется до получения оптимального плана.

1. Каков смысл целевой функции в математической модели транспортной задачи?

2.Каков смысл ограничений в математической модели транспортной задачи?

3. Можно ли применить метод потенциалов для решения открытой (незамкнутой) транспортной задачи?

4.Какие изменения необходимо внести в исходную транспортную таблицу, чтобы задачу можно было решить методом потенциалов?

5.В чем суть метода минимального элемента? Какой этап решения транспортной задачи будет выполнен в результате применения этого метода?

6. Как узнать является ли план перевозок оптимальным?

7. В каком случае и каким образом необходимо выполнить перераспределение поставок в плане перевозок?

8. Допустим построенный план перевозок является вырожденным. Можно ли продолжить решение задачи методом потенциалов и что для этого необходимо предпринять?

Общая задача математического программирования была сформулирована в разделе 1.1. В зависимости от типа функций, входящих в модель (1.1)-(1.3), задачу относят к тому или иному виду математического программирования. Различают линейное программирование (все функции линейны), целочисленное (решение представляют целые числа), квадратичное (целевая функция является квадратичной формой), нелинейное (хотя бы одна из функций задачи нелинейна) и стохастическое программирование (включены параметры, имеющие вероятностный характер).

Класс задач нелинейного программирования шире класса линейных моделей. Например, производственные затраты в большинстве случаев не пропорциональны объему выпуска, а зависят от него нелинейно, доход от реализации продуктов производства оказывается нелинейной функцией цен и т.д. Критериями в задачах оптимального планирования часто служат максимум прибыли, минимум себестоимости, минимум капитальных затрат. В качестве переменных величин выступают объемы выпуска различных видов продукции. В число ограничений входят производственные функции, характеризующие связь между выпуском продукции и затратами трудовых и материальных ресурсов, объем которых лимитирован.

В отличие от линейного программирования, в котором применяется универсальный метод решения (симплекс-метод), для решения нелинейных задач существует целый спектр методов в зависимости от формы входящих в модель функций. Из всего многообразия методов нами будут рассмотрены только два: метод Лагранжа и метод динамического программирования.

С уть метода Лагранжа заключается в сведении задачи на условный экстремум к решению задачи безусловного экстремума. Рассмотрим модель нелинейного программирования:

(5.2)

где – известные функции,

а – заданные коэффициенты.

Отметим, что в данной постановке задачи ограничения заданы равенствами, отсутствует условие неотрицательности переменных. Кроме того, полагаем, что функции непрерывны со своими первыми частными производными.

Преобразуем условия (5.2) таким образом, чтобы в левых или правых частях равенств стоял ноль :

(5.3)

Составим функцию Лагранжа. В нее входит целевая функция (5.1) и правые части ограничений (5.3), взятые соответственно с коэффициентами . Коэффициентов Лагранжа будет столько, сколько ограничений в задаче.

Точки экстремума функции (5.4) являются точками экстремума исходной задачи и наоборот: оптимальный план задачи (5.1)-(5.2) является точкой глобального экстремума функции Лагранжа.

Действительно, пусть найдено решение задачи (5.1)-(5.2), тогда выполняются условия (5.3). Подставим план в функцию (5.4) и убедимся в справедливости равенства (5.5).

Таким образом, чтобы найти оптимальный план исходной задачи, необходимо исследовать на экстремум функцию Лагранжа. Функция имеет экстремальные значения в точках, где ее частные производные равны нулю . Такие точки называются стационарными.

Определим частные производные функции (5.4)

,

.

После приравнивания нулю производных получим систему m+n уравнений с m+n неизвестными

, (5.6)

В общем случае система (5.6)-(5.7) будем иметь несколько решений, куда войдут все максимумы и минимумы функции Лагранжа. Для того чтобы выделить глобальный максимум или минимум, во всех найденных точках вычисляют значения целевой функции. Наибольшее из этих значений будет глобальным максимумом, а наименьшее – глобальным минимумом. В некоторых случаях оказывается возможным использование достаточных условий строгого экстремума непрерывных функций (см. ниже задачу 5.2):

пусть функция непрерывна и дважды дифференцируема в некоторой окрестности своей стационарной точки (т.е. )). Тогда:

а ) если , (5.8)

то – точка строгого максимума функции ;

б) если , (5.9)

то – точка строгого минимума функции ;

г ) если ,

то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Кроме того, некоторые решения системы (5.6)-(5.7) могут быть отрицательными. Что не согласуется с экономическим смыслом переменных. В этом случае следует проанализировать возможность замены отрицательных значений нулевыми.

Экономический смысл множителей Лагранжа. Оптимальное значение множителя показывает на сколько изменится значение критерия Z при увеличении или уменьшении ресурса j на одну единицу, так как

Метод Лагранжа можно применять и в том случае, когда ограничения представляют собой неравенства. Так, нахождение экстремума функции при условиях

,

выполняют в несколько этапов:

1. Определяют стационарные точки целевой функции, для чего решают систему уравнений

.

2. Из стационарных точек отбирают те, координаты которых удовлетворяют условиям

3. Методом Лагранжа решают задачу с ограничениями-равенствами (5.1)-(5.2).

4. Исследуют на глобальный максимум точки, найденные на втором и третьем этапах: сравнивают значения целевой функции в этих точках – наибольшее значение соответствует оптимальному плану.

Задача 5.1 Решим методом Лагранжа задачу 1.3, рассмотренную в первом разделе. Оптимальное распределение водных ресурсов описывается математической моделью

.

Составим функцию Лагранжа

Найдем безусловный максимум этой функции. Для этого вычислим частные производные и приравняем их к нулю

,

Таким образом, получили систему линейных уравнений вида

Решение системы уравнений представляет собой оптимальный план распределения водных ресурсов по орошаемым участкам

Величины измеряются в сотнях тысяч кубических метров. - величина чистого дохода на одну сотню тысяч кубических метров поливной воды. Следовательно, предельная цена 1 м 3 оросительной воды равна ден. ед.

Максимальный дополнительный чистый доход от орошения составит

160·12,26 2 +7600·12,26-130·8,55 2 +5900·8,55-10·16,19 2 +4000·16,19=

172391,02 (ден. ед.)

Задача 5.2 Решить задачу нелинейного программирования

Ограничение представим в виде:

.

Составим функцию Лагранжа и определим ее частные производные

.

Чтобы определить стационарные точки функции Лагранжа, следует приравнять нулю ее частные производные. В результате получим систему уравнений

• Tutorial

Всем доброго дня. В данной статье хочу показать один из графических методов построения математических моделей для динамических систем, который называется Bond graph («bond» - связи, «graph» - граф). В русской литературе, описания данного метода, я нашел только в Учебном пособии Томского политехнического университета, А.В. Воронин «МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАТРОННЫХ СИСТЕМ» 2008 г. Также показать классический метод через уравнение Лагранжа 2 рода.

Метод Лагранжа

Особенности методов моделирования:

• Ньютона-Эйлера : векторные уравнения, основанные на динамическом равновесии сил (force) и моментов (moments)
• Лагранжа : скалярные уравнения, основанные на функциях состояния связанных с кинетической и потенциальной энергией (energies)
• Бонд-граф : метод основанный на течении мощности (power) между элементами системы

Начнем с простого примера. Масса с пружиной и демпфером. Пренебрегаем силой тяжести.

Первым делом обозначаем:

• начальную системы координат (НСК) или неподвижную ск R0(i0,j0,k0) . Где? Можно тыкнуть пальцем в небо, но подёргав кончиками нейронов в мозгу, проходит идея поставить НСК на линии движения тела М1.
• системы координат для каждого тела с массой (у нас М1 R1(i1,j1,k1) ), ориентация может быть произвольной, но зачем усложнять себе жизнь, ставим с минимальным отличием от НСК
• обобщеные координаты q_i (минимальное количество переменные которыми можно описать движение), в данном примере одна обобщенная координата, движение только вдоль оси j

После найдем кинетическую (С) и потенциальную (Р) энергии и диссипативную функцию (D) для демпфера по формулам:

В нашем примере вращения нет, вторая составляющая равна 0.

Уравнение Лагранжа имеет следующий вид:

Дельта W_i это виртуальная работа совершенная приложенными силами и моментами. Найдем ее:

Где дельта q_1 виртуальное перемещение.

Подставляем всё в уравнение Лагранжа:

На этом метод Лагранжа закончился. Как видно не так сложно, но это все же очень простой пример, для которого скорее всего метод Ньютона-Эйлера даже был бы проще. Для более сложных систем, где будет несколько тела, повернутые друг относительно друга на разные угол, метод Лагранжа будет легче.

Метод Bond graph

Здесь придётся рассказать немного теории, которой хватит для построения простых моделей. Если кто нибудь заинтересован можете почитать книгу ( Bond Graph Methodology ) или (Воронин А.В. Моделирование мехатронных систем: учебное пособие. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2008 ).

Определим для начала, что сложные системы состоят из нескольких доменов. Например электродвигатель состоит из электрической и механической частей или доменов.

Bond graph основан на обмене мощности между этими доменами, подсистемами. Заметим, что обмен мощностью, любой формы, всегда определяется двумя переменными (переменные мощности ) с помощью которых, мы можем изучать взаимодействие различных подсистем в составе динамической системы (см. таблицу).

Как видно из таблицы выражение мощности везде практически одинаковое. В обобщении, Мощность - это произведение «потока - f » на «усилия - e ».

Усилие (англ. effort ) в электрическом домене это напряжение (e), в механическом - сила (F) или момент (T), в гидравлике – давление (p).

Поток (англ. flow ) в электрическом домене это ток (i), в механическом - скорость (v) или угловая скорость (omega), в гидравлике – поток или расход жидкости (Q).

Принимая данные обозначения, получаем выражение для мощности:

В языке bond-graph соединение между двумя подсистемами которые обмениваются мощностью представлена связью (англ. bond ). По этому и называется данный метод bond-graph или граф-связей, связной граф . Рассмотрим блок-диаграмму связей в модели с электродвигателем (это еще не bond-graph):

Если у нас источник напряжения, то соответственно он генерирует напряжение и отдает его двигателю на отмотки (по этому стрелка направлена в сторону двигателя), в зависимости от сопротивления обмотки появляется ток по закону Ома (направлен от двигателя к источнику). Соответственно одна переменная является входом в подсистему, а вторая необходима должна быть выходом из подсистемы. Здесь напряжение (effort ) – вход, ток (flow ) – выход.

Если использовать источник тока, как поменяется диаграмма? Правильно. Ток будет направлен к двигателю, а напряжение к источнику. Тогда ток (flow ) – вход, напряжение (effort ) – выход.

Рассмотрим пример в механике. Сила, действующая на массу.

Блок-Диаграмма будет следующей:

В этом примере, Сила (effort ) – входная переменная для массы. (Сила приложена к массе)
По второму закону Ньютона:

Масса отвечает скоростью:

В этом примере если одна переменная (сила - effort ) является входом в механический домен, то другая мощностная переменная (скорость - flow ) – автоматически становится выходом .

Что бы различать, где вход, а где выход, используется вертикальная линия на конце стрелки (связи) между элементами, эту линию называют знак причинности или причинная связь (causality ). Получается: приложенная сила – причина, а скорость - следствие. Этот знак очень важен для правильного построения модели системы, так как причинность - это следствие физического поведения и обмена мощностями двух подсистем, по этому выбор расположения знака причинности не может быть произвольным.

Эта вертикальная линия показывает какая подсистема получает усилие (effort ) и как следствие производить поток (flow ). В примере с массой будет так:

По стрелке понятно что на вход для массы - сила , а выход - скорость . Это делается, что бы не загромождать стрелками схему и систематизации построения модели.

Следующий важный момент. Обобщённый импульс (количество движения) и перемещение (энергетические переменные ).

Таблица мощностных и энергетический переменных в разных доменах

В электрическом домене :

Исходя из закона Фарадея, напряжение на концах проводника равняется производной от магнитного потока через этот проводник.

Из 2 закона Ньютона, Сила – производная по времени от импульса

Базовые элементы

Источники
Источники бывают как усилия, так и потока. Аналогия в электрическом домене: источник усилия – источник напряжения , источник потока – источник тока . Причинные знаки для источников должны быть только такие.

Компонент R – диссипативный элемент

Компонент I – инерциальный элемент

Компонент C – емкостной элемент

Как видно из рисунков, разные элементы одного типа R,C,I описываться одинаковыми уравнениями. ТОЛЬКО есть отличие для электрической емкости, это нужно просто запомнить!

Четырёхполюснике компоненты :

Рассмотрим два компонента трансформатор и гиратор.

Последними важными компонентами в методе bond-graph выступают соединения. Существует два типа узлов:

Основные этапы для проставления причинных связей после построения bond-graph:

1. Проставить причинные связи всем источникам
2. Пройтись по всем узлам и проставить причинные связи после пункта 1
3. Для компонентов I присвоить входную причинную связь (усилие входит в этот компонент), для компонентов С присваиваем выходную причинную связь (усилие выходит из этого компонента)
4. Повторить пункт 2
5. Проставить причинные связи для компонентов R

Пример 1

Получиться следующий граф связей:

Теперь нужно проставить причинные связи. Следуя указаниям по последовательности их проставления, начнем с источника.

1. Мы имеем источник напряжения (усилия), такой источник имеет только один вариант причинности – выходную. Ставим.
2. Далее есть компонент I, смотрим что рекомендуют. Ставим
3. Проставляем для 1-узла. Есть
4. 0-узел должен иметь один вход и все выходные причинные связи. У нас есть пока одна выходная. Ищем компоненты С или I. Нашли. Ставим
5. Проставляем что осталось

Осталось дело за малым, написать уравнения, описывающие нашу систему. Для этого составим таблицу с 3 столбцами. В первом будут все компоненты системы, во втором входная переменная для каждого элемента, а в третьем – выходная переменная, для такого же компонента. Вход и выход мы уже определили причинностнными связями. Так что проблем возникнуть не должно.

Пронумеруем каждую связь для удобства записи уровнений. Уравнения для каждого элемента берем из перечня компонентов C,R,I.

Пример 2. Сразу хочу извениться за качество фото, главное что можно прочитать

Решим еще один пример для механической системы, тот же что мы решали методом Лагранжа. Я показу решение без комментариев. Проверим какой из данных методов проще, легче.

В матбале были составлены обе мат модели с одинаковыми параметрами, полученые методом Лагранжа и bond-graph. Результат ниже: Добавить метки

Краткая теория

Метод множителей Лагранжа является классическим методом решения задач математического программирования (в частности выпуклого). К сожалению, при практическом применении метода могут встретиться значительные вычислительные трудности, сужающие область его использования. Мы рассматриваем здесь метод Лагранжа главным образом потому, что он является аппаратом, активно используемым для обоснования различных современных численных методов, широко применяемых на практике. Что же касается функции Лагранжа и множителей Лагранжа, то они играют самостоятельную и исключительно важную роль в теории и приложениях не только математического программирования.

Рассмотрим классическую задачу оптимизации:

Среди ограничений этой задачи нет неравенств, нет условий неотрицательности переменных, их дискретности, и функции и непрерывны и имеют частные производные по крайней мере второго порядка.

Классический подход к решению задачи дает систему уравнений (необходимые условия), которым должна удовлетворять точка , доставляющая функции локальный экстремум на множестве точек, удовлетворяющих ограничениям (для задачи выпуклого программирования найденная точка будет одновременно и точкой глобального экстремума).

Предположим, что в точке функция (1) имеет локальный условный экстремум и ранг матрицы равен . Тогда необходимые условия запишутся в виде:

есть функция Лагранжа; – множители Лагранжа.

Существуют также и достаточные условия, при выполнении которых решение системы уравнений (3) определяет точку экстремума функции . Этот вопрос решается на основании исследования знака второго дифференциала функции Лагранжа. Однако достаточные условия представляют главным образом теоретический интерес.

Можно указать следующий порядок решения задачи (1), (2) методом множителей Лагранжа:

1) составить функцию Лагранжа (4);

2) найти частные производные функции Лагранжа по всем переменным и приравнять их

нулю. Тем самым будет получена система (3, состоящая из уравнений. Решить полученную систему (если это окажется возможным!) и найти таким образом все стационарные точки функции Лагранжа;

3) из стационарных точек, взятых без координат выбрать точки, в которых функция имеет условные локальные экстремумы при наличии ограничений (2). Этот выбор осуществляется, например, с применением достаточных условий локального экстремума. Часто исследование упрощается, если использовать конкретные условия задачи.

Пример решения задачи

Условие задачи

Фирма производит товар двух видов в количествах и . Функция полезных издержек определена соотношением . Цены этих товаров на рынке равны и соответственно.

Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль и чему она равна, если полные издержки не превосходят

Испытываете сложности с пониманием хода решения? На сайте действует услуга Решение задач по методам оптимальных решений на заказ

Решение задачи

Экономико-математическая модель задачи

Функция прибыли:

Ограничения на издержки:

Получаем следующую экономико-математическую модель:

Кроме того, по смыслу задачи

Метод множителей Лагранжа

Составим функцию Лагранжа:

Находим частные производные 1-го порядка:

Составим и решим систему уравнений:

Так как , то

Максимальная прибыль:

Ответ

Таким образом необходимо выпускать ед. товара 1-го вида и ед. товара 2-го вида. При этом прибыль будет максимальной и составит 270.
Приведен образец решения задачи квадратичного выпуклого программирования графическим методом.

Решение линейной задачи графическим методом
Рассмотрен графический метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП) с двумя переменными. На примере задачи приведено подробное описание построения чертежа и нахождения решения.

Модель управления запасами Уилсона
На примере решения задачи рассмотрена основная модель управления запасами (модель Уилсона). Вычислены такие показатели модели как оптимальный размер партии заказа, годовые затраты на хранение, интервал между поставками и точка размещения заказа.

Матрица коэффициентов прямых затрат и матрица "Затраты-выпуск"
На примере решения задачи рассмотрена межотраслевая модель Леонтьева. Показано вычисление матрицы коэффициентов прямых материальных затрат, матрицы «затраты-выпуск», матрицы коэффициентов косвенных затрат, векторов конечного потребления и валового выпуска.

Метод Лагранжа ─ это метод решения задачи условной оптимизации, при котором ограничения, записываемые как неявные функции, объединяются с целевой функцией в форме нового уравнения, называемого лагранжианом .

Рассмотрим частный случай общей задачи нелинейного программирования:

Дана система нелинейных уравнений (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),

Найти наименьшее (или наибольшее) значение функции (2)

(2) f (х1,х2,…,хn),

если отсутствуют условия неотрицательности переменных и f(х1,х2,…,хn) и gi(x1,x2,…,xn) ─ функции, непрерывные вместе со своими частными производными.

Чтобы найти решение этой задачи, можно применить следующий метод: 1. Вводят набор переменных λ1, λ2,…, λm, называемых множителями Лагранжа, составляют функцию Лагранжа (3)

(3) F(х1,х2,…,хn , λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi .

2. Находят частные производные от функции Лагранжа по переменным xi и λi и приравнивают их нулю.

3. Решая систему уравнений, находят точки, в которых целевая функция задачи может иметь экстремум.

4.Среди точек, подозрительных не экстремум, находят такие, в которыхдостигается экстремум, и вычисляют значения функции в этих точках.

4. Сравнить полученные значения функции f и выбрать наилучшее.

По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить 180 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены двумя технологическими способами. При производстве х1 изделия I способом затраты равны 4*х1+х1^2 руб., а при изготовлении х2 изделий II способом они составляют 8*х2+х2^2 руб. Определить, сколько изделий каждым из способов следует изготовить, так чтобы общие затраты на производство продукции были минимальными.

Решение: Математическая постановка задачи состоит в определении наименьшего значения функции двух переменных:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, при условии x1 +x2 = 180.

Составим функцию Лагранжа:

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).

Вычислим ее частные производные по х1,х2, λ и приравняем их к 0:

Перенесем в правые части первых двух уравнений λ и приравняем их левые части, получим 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, или x1 − x2 = 2.

Решая последнее уравнение совместно с уравнением x1 + x2 = 180, находим x1 = 91, x2 = 89, то есть получили решение, удовлетворяющее условиям:

Найдем значение целевой функции f при этих значениях переменных:

F(x1, x2) = 17278

Эта точка является подозрительной на экстремум. Используя вторые частные производные, можно показать, что в точке (91,89) функция f имеет минимум.

С уть метода Лагранжа заключается в сведении задачи на условный экстремум к решению задачи безусловного экстремума. Рассмотрим модель нелинейного программирования:

(5.2)

где
– известные функции,

а
– заданные коэффициенты.

Отметим, что в данной постановке задачи ограничения заданы равенствами, отсутствует условие неотрицательности переменных. Кроме того, полагаем, что функции
непрерывны со своими первыми частными производными.

Преобразуем условия (5.2) таким образом, чтобы в левых или правых частях равенств стоял ноль :

(5.3)

Составим функцию Лагранжа. В нее входит целевая функция (5.1) и правые части ограничений (5.3), взятые соответственно с коэффициентами
. Коэффициентов Лагранжа будет столько, сколько ограничений в задаче.

Точки экстремума функции (5.4) являются точками экстремума исходной задачи и наоборот: оптимальный план задачи (5.1)-(5.2) является точкой глобального экстремума функции Лагранжа.

Действительно, пусть найдено решение
задачи (5.1)-(5.2), тогда выполняются условия (5.3). Подставим план
в функцию (5.4) и убедимся в справедливости равенства (5.5).

Таким образом, чтобы найти оптимальный план исходной задачи, необходимо исследовать на экстремум функцию Лагранжа. Функция имеет экстремальные значения в точках, где ее частные производные равны нулю . Такие точки называютсястационарными.

Определим частные производные функции (5.4)

,

.

После приравнивания нулю производных получим системуm+n уравнений сm+n неизвестными

,(5.6)

В общем случае система (5.6)-(5.7) будем иметь несколько решений, куда войдут все максимумы и минимумы функции Лагранжа. Для того чтобы выделить глобальный максимум или минимум, во всех найденных точках вычисляют значения целевой функции. Наибольшее из этих значений будет глобальным максимумом, а наименьшее – глобальным минимумом. В некоторых случаях оказывается возможным использование достаточных условий строгого экстремума непрерывных функций (см. ниже задачу 5.2):

пусть функция
непрерывна и дважды дифференцируема в некоторой окрестности своей стационарной точки(т.е.
)). Тогда:

а ) если
, (5.8)

то – точка строгого максимума функции
;

б) если
, (5.9)

то – точка строгого минимума функции
;

г ) если
,

то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Кроме того, некоторые решения системы (5.6)-(5.7) могут быть отрицательными. Что не согласуется с экономическим смыслом переменных. В этом случае следует проанализировать возможность замены отрицательных значений нулевыми.

Экономический смысл множителей Лагранжа. Оптимальное значение множителя
показывает на сколько изменится значение критерияZ при увеличении или уменьшении ресурсаj на одну единицу, так как

Метод Лагранжа можно применять и в том случае, когда ограничения представляют собой неравенства. Так, нахождение экстремума функции
при условиях

,

выполняют в несколько этапов:

1. Определяют стационарные точки целевой функции, для чего решают систему уравнений

.

2. Из стационарных точек отбирают те, координаты которых удовлетворяют условиям

3. Методом Лагранжа решают задачу с ограничениями-равенствами (5.1)-(5.2).

4. Исследуют на глобальный максимум точки, найденные на втором и третьем этапах: сравнивают значения целевой функции в этих точках – наибольшее значение соответствует оптимальному плану.

Задача 5.1 Решим методом Лагранжа задачу 1.3, рассмотренную в первом разделе. Оптимальное распределение водных ресурсов описывается математической моделью

.

Составим функцию Лагранжа

Найдем безусловный максимум этой функции. Для этого вычислим частные производные и приравняем их к нулю

,

Таким образом, получили систему линейных уравнений вида

Решение системы уравнений представляет собой оптимальный план распределения водных ресурсов по орошаемым участкам

, .

Величины
измеряются в сотнях тысяч кубических метров.
- величина чистого дохода на одну сотню тысяч кубических метров поливной воды. Следовательно, предельная цена 1 м 3 оросительной воды равна
ден. ед.

Максимальный дополнительный чистый доход от орошения составит

160·12,26 2 +7600·12,26-130·8,55 2 +5900·8,55-10·16,19 2 +4000·16,19=

172391,02 (ден. ед.)

Задача 5.2 Решить задачу нелинейного программирования

Ограничение представим в виде:

.

Составим функцию Лагранжа и определим ее частные производные

.

Чтобы определить стационарные точки функции Лагранжа, следует приравнять нулю ее частные производные. В результате получим систему уравнений

.

Из первого уравнения следует

. (5.10)

Выражение подставим во второе уравнение

,

откуда следует два решения для :

и
. (5.11)

Подставив эти решения в третье уравнение, получим

,
.

Значения множителя Лагранжа и неизвестной вычислим по выражениям (5.10)-(5.11):

,
,
,
.

Таким образом, получили две точки экстремума:

;
.

Для того чтобы узнать являются ли данные точки точками максимума или минимум, воспользуемся достаточными условиями строгого экстремума (5.8)-(5.9). Предварительно выражение для , полученное из ограничения математической модели, подставим в целевую функцию

,

. (5.12)

Для проверки условий строгого экстремума следует определить знак второй производной функции (5.11) в найденных нами экстремальных точках
и
.

,
;

.

Таким образом, (·)
является точкой минимума исходной задачи (
), а (·)
– точкой максимума.

Оптимальный план :

,
,
,

.