Как решить дифференциальное уравнение
методом операционного исчисления?

На данном уроке будет подробно разобрана типовая и широко распространенная задача комплексного анализа – нахождение частного решения ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом операционного исчисления . Снова и снова избавляю вас от предубеждения, что материал немыслимо сложный и недоступный. Забавно, но для освоения примеров можно вообще не уметь дифференцировать, интегрировать и даже не знать, что такое комплексные числа . Потребуется навык применения метода неопределённых коэффициентов , который детально разобран в статье Интегрирование дробно-рациональных функций . Фактически краеугольным камнем задания являются обычные алгебраические действия, и я уверен, что материал доступен даже для школьника.

Сначала сжатые теоретические сведения о рассматриваемом разделе математического анализа. Основная суть операционного исчисления состоит в следующем: функция действительной переменной с помощью так называемого преобразования Лапласа отображается в функцию комплексной переменной :

Терминология и обозначения:
функция называется оригиналом ;
функция называется изображением ;
заглавной буквой обозначается преобразование Лапласа .

Говоря простым языком, действительную функцию (оригинал) по определённым правилам нужно превратить в комплексную функцию (изображение). Стрелочка обозначает именно это превращение. А сами «определенные правила» и являются преобразованием Лапласа , которое мы рассмотрим лишь формально, чего для решения задач будет вполне достаточно.

Осуществимо и обратное преобразование Лапласа, когда изображение превращается в оригинал:

Зачем всё это нужно? В ряде задач высшей математики бывает очень выгодно перейти от оригиналов к изображениям , поскольку в этом случае решение задания значительно упрощается (шутка). И как раз одну из таких задач мы и рассмотрим. Если вы дожили до операционного исчисления, то формулировка должна быть вам хорошо знакома:

Найти частное решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами при заданных начальных условиях .

Примечание: иногда дифференциальное уравнение может быть и однородным: , для него в вышеизложенной формулировке также применим метод операционного исчисления. Однако в практических примерах однородное ДУ 2-го порядка встречается крайне редко, и далее речь пойдёт о неоднородных уравнениях.

И сейчас будет разобран третий способ – решение ДУ с помощью операционного исчисления. Ещё раз подчеркиваю то обстоятельство, что речь идёт о нахождении частного решения , кроме того, начальные условия строго имеют вид («иксы» равны нулям).

К слову, об «иксах». Уравнение можно переписать в следующем виде:
, где «икс» – независимая переменная, а «игрек» – функция. Я не случайно об этом говорю, поскольку в рассматриваемой задаче чаще всего используются другие буквы:

То есть роль независимой переменной играет переменная «тэ» (вместо «икса»), а роль функции играет переменная «икс» (вместо «игрека»)

Понимаю, неудобно конечно, но лучше придерживаться обозначений, которые встречаются в большинстве задачников и методичек.

Итак, наша задача с другими буквами записывается следующим образом:

Найти частное решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами при заданных начальных условиях .

Смысл задания нисколько не изменился, изменились только буквы.

Как решить данную задачу методом операционного исчисления?

Прежде всего, потребуется таблица оригиналов и изображений . Это ключевой инструмент решения, и без неё не обойтись. Поэтому, по возможности, постарайтесь распечатать указанный справочный материал. Сразу же поясню, что обозначает буква «пэ»: комплексную переменную (вместо привычного «зет»). Хотя для решения задач этот факт не имеет особого значения, «пэ» так «пэ».

С помощью таблицы оригиналы и необходимо превратить в некоторые изображения. Далее следует ряд типовых действий, и используется обратное преобразование Лапласа (тоже есть в таблице). Таким образом, будет найдено искомое частное решение.

Все задачи, что приятно, решаются по достаточно жесткому алгоритму.

Пример 1

, ,

Решение: На первом шаге перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. Используем левую сторону .

Сначала разбираемся с левой частью исходного уравнения. Для преобразования Лапласа справедливы правила линейности , поэтому все константы игнорируем и по отдельности работаем с функцией и её производными.

По табличной формуле №1 превращаем функцию:

По формуле №2 , учитывая начальное условие , превращаем производную:

По формуле №3 , учитывая начальные условия , превращаем вторую производную:

Не путаемся в знаках!

Признаюсь, правильнее говорить не «формулы», а «преобразования», но для простоты время от времени буду называть начинку таблицы формулами.

Теперь разбираемся с правой частью, в которой находится многочлен . В силу того же правила линейности преобразования Лапласа, с каждым слагаемым работаем отдельно.

Смотрим на первое слагаемое: – это независимая переменная «тэ», умноженная на константу. Константу игнорируем и, используя пункт №4 таблицы, выполняем преобразование:

Смотрим на второе слагаемое: –5. Когда константа находится одна-одинёшенька, то пропускать её уже нельзя. С одиночной константой поступают так: для наглядности её можно представить в виде произведения: , а к единице применить преобразование:

Таким образом, для всех элементов (оригиналов) дифференциального уравнения с помощью таблицы найдены соответствующие изображения:

Подставим найденные изображения в исходное уравнение :

Дальнейшая задача состоит в том, чтобы выразить операторное решение через всё остальное, а именно – через одну дробь. При этом целесообразно придерживаться следующего порядка действий:

Для начала раскрываем скобки в левой части:

Приводим подобные слагаемые в левой части (если они есть). В данном случае складываем числа –2 и –3. Чайникам настоятельно рекомендую не пропускать данный этап:

Слева оставляем слагаемые, в которых присутствует , остальные слагаемые переносим направо со сменой знака:

В левой части выносим за скобки операторное решение , в правой части приводим выражение к общему знаменателю:

Многочлен слева следует разложить на множители (если это возможно). Решаем квадратное уравнение:

Таким образом:

Сбрасываем в знаменатель правой части:

Цель достигнута – операторное решение выражено через одну дробь.

Действие второе. Используя метод неопределенных коэффициентов , операторное решение уравнения следует разложить в сумму элементарных дробей:

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях и решим систему:

Если возникли затруднения с , пожалуйста, наверстайте упущенное в статьях Интегрирование дробно-рациональной функции и Как решить систему уравнений? Это очень важно, поскольку разложение на дроби, по существу, самая важная часть задачи.

Итак, коэффициенты найдены: , и операторное решение предстаёт перед нами в разобранном виде:

Обратите внимание, что константы записаны не в числителях дробей. Такая форма записи выгоднее, чем . А выгоднее, потому что финальное действие пройдёт без путаницы и ошибок:

Заключительный этап задачи состоит в том, чтобы с помощью обратного преобразования Лапласа перейти от изображений к соответствующим оригиналам. Используем правый столбец таблицы оригиналов и изображений .

Возможно, не всем понятно преобразование . Здесь использована формула пункта №5 таблицы: . Если подробнее: . Собственно, для похожих случаев формулу можно модифицировать: . Да и все табличные формулы пункта №5 очень легко переписать аналогичным образом.

После обратного перехода искомое частное решение ДУ получается на блюдечке с голубой каёмочкой:

Было:

Стало:

Ответ: частное решение:

При наличии времени всегда желательно выполнять проверку. Проверка выполняется по стандартной схеме, которая уже рассматривалась на уроке Неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка . Повторим:

Проверим выполнение начального условия :
– выполнено.

Найдём первую производную:

Проверим выполнение второго начального условия :
– выполнено.

Найдём вторую производную:

Подставим , и в левую часть исходного уравнения :

Получена правая часть исходного уравнения.

Вывод: задание выполнено правильно.

Небольшой пример для самостоятельного решения:

Пример 2

С помощью операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях.

Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.

Наиболее частный гость в дифференциальных уравнениях, как многие давно заметили, экспоненты, поэтому рассмотрим несколько примеров с ними, родными:

Пример 3

, ,

Решение: С помощью таблицы преобразований Лапласа (левая часть таблицы) перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям.

Сначала рассмотрим левую часть уравнения. Там отсутствует первая производная. Ну и что из того? Отлично. Работы поменьше. Учитывая начальные условия , по табличным формулам №№1,3 находим изображения:

Теперь смотрим на правую часть: – произведение двух функций. Для того чтобы воспользоваться свойствами линейности преобразования Лапласа, нужно раскрыть скобки: . Так как константы находятся в произведениях, то на них забиваем, и, используя группу №5 табличных формул, находим изображения:

Подставим найденные изображения в исходное уравнение:

Напоминаю, что дальнейшая задача состоит в том, чтобы выразить операторное решение через единственную дробь.

В левой части оставляем слагаемые, в которых присутствует , остальные слагаемые переносим в правую часть. Заодно в правой части начинаем потихоньку приводить дроби к общему знаменателю:

Слева выносим за скобки, справа приводим выражение к общему знаменателю:

В левой части получен неразложимый на множители многочлен . Если многочлен не раскладывается на множители, то его, бедолагу, сразу нужно сбросить на дно правой части, забетонировав ноги в тазике. А в числителе раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

Наступил самый кропотливый этап: методом неопределенных коэффициентов разложим операторное решение уравнения в сумму элементарных дробей:


Таким образом:

Обратите внимание, как разложена дробь: , скоро поясню, почему именно так.

Финиш: перейдем от изображений к соответствующим оригиналам, используем правый столбец таблицы:

В двух нижних преобразованиях использованы формулы №№6,7 таблицы, и дробь предварительно раскладывалась как раз для «подгонки» под табличные преобразования.

В результате, частное решение:

Ответ: искомое частное решение:

Похожий пример для самостоятельного решения:

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения методом операционного исчисления.

Краткое решение и ответ в конце урока.

В Примере 4 одно из начальных условий равно нулю. Это, безусловно, упрощает решение, и самый идеальный вариант, когда оба начальных условия нулевые: . В этом случае производные преобразуются в изображения без хвостов:

Как уже отмечалось, наиболее сложным техническим моментом задачи является разложение дроби методом неопределенных коэффициентов , и в моём распоряжении есть достаточно трудоёмкие примеры. Тем не менее, монстрами запугивать никого не буду, рассмотрим ещё пару типовых разновидностей уравнения:

Пример 5

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
, ,

Решение: С помощью таблицы преобразований Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. Учитывая начальные условия :

С правой частью тоже никаких проблем:

(Напоминаю, что константы-множители игнорируются)

Подставим полученные изображения в исходное уравнение и выполняем стандартные действия, которые, я надеюсь, вы уже хорошо отработали:

Константу в знаменателе выносим за пределы дроби, главное, потом про неё не забыть:

Думал, выносить ли ещё дополнительно двойку из числителя, однако, прикинув, пришел к выводу, что данный шаг практически не упростит дальнейшего решения.

Особенностью задания является полученная дробь. Кажется, что её разложение будет долгим и трудным, но впечатление обманчиво. Естественно, бывают сложные вещи, но в любом случае – вперёд, без страха и сомнений:

То, что некоторые коэффициенты получились дробными, смущать не должно, такая ситуация не редкость. Лишь бы техника вычислений не подвела. К тому же, всегда есть возможность выполнить проверку ответа.

В результате, операторное решение:

Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:

Таким образом, частное решение:

Операционное исчисление является одной из глав современного математического анализа. Интегральное преобразование Лапласа и построенное на его базе операционное исчисление – эффективный аппарат решения дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и в частных производных), дифференциально разностных и интегральных уравнений, к которым приводятся задачи электротехники, радиотехники, электроники, теории автоматического регулирования, теплотехники, механики и других областей науки и техники. Заметим, что операционное исчисление строится и на других преобразованиях, например, Фурье, Ханкеля, Меллина и т.д.

Идея применения операционного метода заключается в следующем. Пусть требуется найти функцию из некоторого уравнения, содержащего эту функцию под знаком производных и интегралов. От искомой функции (ее называют оригиналом) переходят к другой функции (ее называют изображением), являющейся результатом преобразования . В соответствии с правилами операционного исчисления операции над оригиналом заменяют соответствующими операциями над изображением, которые являются более простыми; например, дифференцированию соответствует умножение на , интегрированию –деление на р и т.д. Это позволяет перейти от сложного уравнения относительно к более простому уравнению относительно , называемому операторным; например, от дифференциального уравнения –к алгебраическому. Решив операторное уравнение, от изображения переходят к оригиналу – искомой функции. Решение задачи операционным методом, таким образом, связано с двумя этапами; нахождением изображения искомого решения и обратным переходом к оригиналу.

Применение операционного метода можно сравнить с логарифмированием, которое позволяет сложные действия над числами заменить более простыми действиями над их логарифмами, после чего от найденного логарифма снова переходят к искомому числу. Здесь роль оригиналов играют числа, а роль изображений – их логарифмы.

1.1. Оригинал и изображение

Пусть – действительная функция действительного аргумента , определенная при любых .

Определение. Будем называть оригиналом функцию , если она удовлетворяет следующим условиям.

1. – кусочно-непрерывная функция при ; это значит, что она или непрерывна, или имеет точки разрыва первого рода, число которых конечно на любом конечном интервале;

2. при ;

3. с возрастанием может возрастать, но не быстрее некоторой показательной функции. Это означает, что существуют такие числа и что для всех выполняется , число называется показателем роста функции . (Для ограниченных функций можно принять ).

Рассмотрим эти условия несколько подробнее. Условия 1 и 3 выполняются для большинства функций, отвечающих физическим процессам, в которых t понимается как время. Условие 2 оправдано тем, что при изучении процесса безразлично, как ведут себя рассматриваемые функции до некоторого начального момента времени, который, разумеется, можно принять за момент .

В связи с условием 2 в дальнейшем изложении, где это потребуется, будем записывать для краткости лишь то выражение , которое она имеет для , подразумевая, что для . Например, запись должна пониматься так: .

Аналогично, если дано выражение , где , то оно имеет место лишь для , тогда как для функция .

Заметим, что если функция не удовлетворяет хотя бы одному из указанных трех условий, то она не является оригиналом. Так, для функции нарушено условие 1 (в точке она терпит разрыв второго рода), для функции не выполняется условие 3 (она растет быстрее показательной функции); поэтому эти функции не могут быть оригиналами.

Заметим также, что необязательно считать оригинал действительной функцией. Функция может быть и комплексно-значной, т.е. иметь вид . При этом действительная и мнимая части и должны быть оригиналами, т.е. удовлетворять условиям 1, 2, 3.

Определение. Изображением функции – оригинала –называется функция комплексного переменного , определяемая интегралом

. (1.1)

Несобственный интеграл в правой части равенства (1.1), называемый интегралом Лапласа, зависит от параметра .

Таким образом, функции действительного переменного поставлена в соответствие функция комплексного переменного .

Соотношение (1.1) осуществляет преобразование одной функции в другую. Операцию перехода от оригинала к изображению в соответствии с формулой (1.1) называют преобразованием Лапласа , или прямым преобразованием Лапласа.

Тот факт, что есть изображение (говорят также, изображение по Лапласу), символически записывают так:

.

Отыскание оригинала по изображению называют обращением преобразования Лапласа , или обратным преобразованием Лапласа; его обозначают символом .

Условились обозначать оригиналы малыми буквами а их изображения – соответствующими заглавными буквами или теми же буквами, что и оригиналы, но снабжать их черточками сверху: .

1.2. Примеры вычисления изображений

Приведем примеры вычисления изображения по Лапласу, исходя из его определения.

1.2.1. Функция Хевисайда и ее изображение.

Найдем изображение функции Хевисайда по формуле (1.1), полагая в ней :

Последнее заключение можно сделать только, в том случае, когда . Покажем, что это выполняется. По формуле Эйлера имеем:

Тогда

и т.п. . Следовательно, оригинал. По формуле (1.1) найдем

Это имеет место, если только . Последнее же выполняется, как было показано в предыдущем примере, когда , иначе . Таким образом,

. (1.3)

Задача ставится так: дана функция F(p), надо найти функцию /(<)> изображением которой является F(p). Сформулируем условия, достаточные для того, чтобы функция F(p) комплексного переменного р служила изображением. Теорема 12. Если аналитическая в полуплоскости функция F(p) 1) стремится к нулю при в любой полуплоскости Rep = а > s0 равномерно относительно arg Отыскание оригинала по изображению 2) интеграл а-«сю сходится абсолютно, то F(p) является изображением некоторой функции-оригинала f{t). Задач*. Может ли функция F(p) = ^ служить изображением некоторой функции-оригинала? Укажем некоторые способы отыскания оригинала по изображению. 3.1. Отыскание оригинала с помощью таблиц изображений Прежде всего стоит привести функцию F(p) к более простому, «табличному» виду. Например, в случае, когда F(p) - дробно-рациональная функция аргумента р,ее разлагают на элементарные дроби и пользуются подходящими свойствами преобразования Лапласа. Пример 1. Найти оригинал для Запишем функцию F(p) в виде Пользуясь теоремой смещения и свойством линейности преобразования Лапласа, получаем Пример 2. Найти оригинал для функции М Запишем F(p) в виде Отсюда / 3.2. Использование теоремы обращения и следствий из нее Теорема 13 (обращения). /Гош функция fit) есть функция-оригинал с показателем роста s0 и F(p) - ее изображение, то в любой точке непрерывности функции f(t) выполняется соотношение где интеграл берется вдоль любой прямой и понимается в смысле главного значения, т. е. как Формула (1) называется формулой обращения преобразования Лапласа, или формулой Меллина. В самом деле, пусть, например, f(t) - кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке }