Большинство людей на нашей планете при счете пользуются десятичной системой счисления, а вот в компьютерах используется двоичная. Некоторые племена на заре развития человечества использовали двенадцатеричную и шестидесятеричную. Именно от них нам остались 12 часов на циферблате и 60 минут в часу.

Порою необходимо перевести число из одной системы в другую. В этой статье рассмотрим конкретнее, как переводить в десятичную систему из некоторых других популярных систем.

Принцип построения числа из цифр

Прежде всего нужно понять, что такое система счисления и её основание. Система счисления - способ представления чисел в виде комбинации тех или иных цифр. Основание системы - количество цифр, в ней использующихся. Например, в десятичной системе с основанием 10 всего 10 цифр - от 0 до 9. В шестнадцатеричной, соответственно, 16 цифр, для обозначения которых используются арабские цифры 0 - 9 и латинские буквы A - F вместо цифр 10 - 15. Например, 2F7BE 16 - число шестнадцатеричной системы. При такой записи нижним индексом обозначается основание системы счисления. Ключевым различием между системами с разными основаниями является "ценность" числа 10. В шестнадцатеричной системе 10 16 будет равно 16 10 , а в двоичной 10 2 равно всего лишь двум. 100 16 будет вычисляться как

100 16 = 10 16 * 10 16 = 16 10 * 16 10 = 256 10 .

Следует также различать понятия "цифра" и "число". Цифра обозначается одним символом, а число - может и несколькими. Например, число 9 10 в двоичной системе будет выглядеть как 1001 2 , а цифра 9 в двоичной системе не существует как таковая.

Алгоритм перевода

Чтобы перевести в десятичную систему число, нужно научиться применять несложный алгоритм.

1. Определить основание системы счисления. Оно обозначается нижним индексом после числа, к примеру, в числе 2F7BE 16 основание равно 16.
2. Каждую цифру числа умножить на основание в степени, равной номеру цифры справа налево, начиная с нуля. В числе 2F7BE 16 Е (равное 14) умножается на 16 в нулевой степени, В (цифра 11) - на 16 в первой степени и так далее: 2F7BE 16 = 2*16 4 +15*16 3 + 7*16 2 + 11*16 1 + 14*16 0 .
3. Сложить полученные результаты.

2*16 4 +15*16 3 + 7*16 2 + 11*16 1 + 14*16 0 = 194494 10 .

Рассмотрим на примерах, как самые популярные - шестнадцатеричную, восьмеричную и двоичную системы перевести в десятичную.

• 5736 8 = 5*8 3 + 7*8 2 + 3*8 1 + 6*8 0 = 3038 10
• 1001011 2 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 75 10
• 2F7BE 16 = 2*16 4 +15*16 3 + 7*16 2 + 11*16 1 + 14*16 0 = 194494 10

Разумеется, считать каждый раз вручную неудобно, нерационально, да и неохота. Существует множество калькуляторов, умеющих переводить числа из системы в систему. К примеру, стандартный калькулятор Windows в режиме "Программист" (клавиши Alt+3 или меню "Вид") может работать с системами оснований 2, 8, 10 и 16.

Самые распространенные в современном мире методы расчетов - десятичный и двоичный. Они используются в совершенно разных областях, но оба одинаково важны. Нередко требуется и перевод из двоичной в десятичную систему или наоборот. Названия произошли от оснований, которые зависят от того, сколько знаков используется в записи чисел. В двоичной это только 0 и 1, а в десятичной - от 0 до 9. В других системах помимо цифр используются буквы, другие значки и даже иероглифы, но практически все они уже давно устарели. Поскольку даже другие разновидности числовых систем гораздо менее распространены, то что речь пойдет прежде всего о двух уже упомянутых. На самом деле удивительно, как все это можно было придумать. Поговорим на эту тему отдельно.

История возникновения

Даже сейчас, когда, казалось бы, весь мир считает одинаково, встречаются самые разные системы. В самых отдаленных уголках земного шара довольствуются лишь понятиями "один", "два" и "много", или чем-то подобным. Что уж говорить о тех временах, когда людям было гораздо сложнее контактировать друг с другом, так что использовалось огромное количество самых разных видов записей и методов подсчетов. Человечество далеко не сразу пришло к существующей системе, и это отражается в том, что час разделен на 60 минут, а не на 100 отрезков времени, что было бы, кажется, логичней. И в то же время люди чаще считают десятками, чем дюжинами. Все это отголоски того времени, когда инструментами для количественной оценки чего-либо служили собственные пальцы или, например, фаланги некоторых из них. Так возникли десятичная и двенадцатиричная системы. Но как же возникла двоичная? Очень просто и логично. Дело в том, что, например, у диодов есть всего два положения: он может быть либо включен, либо выключен. Первое состояние, таким образом, можно записать как 1, а второе - как 0. Однако это не означает, что двоичная система возникла одновременно с электронными приборами. Ее использовали гораздо раньше, например, Лейбниц считал ее крайне удобной, изящной и простой. Даже удивительно, что эта система счисления не стала в итоге основной.

Сферы применения

Для большинства людей две основные системы счисления просто не пересекаются. Так что осуществлять перевод из двоичной в десятичную - задача, посильная не для всех. Дело в том, что последняя система используется в обиходе, общении между людьми, при простых подсчетах и т. д. А вот на языке двоичной говорят все цифровые приборы, в первую очередь компьютеры. Любая информация, находящаяся в памяти каждого настольного ПК, планшета, телефона, ноутбука и многих других приборов - это различные сочетания нулей и единиц.

Отличия и особенности

Когда речь идет о системах счисления, обязательно необходимо как-то разграничить их. Ведь отличить 11 или 100 в разных методах записи просто так совершенно невозможно. Именно поэтому используется указатель ниже и правее самого числа. Так что, увидев запись 11 2 или 100 10 , можно понять, о чем идет речь. Обе системы являются позиционными, то есть от места той или иной цифры зависит ее значение. О разрядах десятичной системы рассказывают в школе: там есть единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д. В двоичной все то же самое. Но в связи с тем, что ее основание - 2 - меньше 10, то разрядов ей нужно гораздо больше, то есть запись чисел получается гораздо длиннее. Кстати, в двоичной, как и во всех других системах, кроме десятичной, как самой распространенной, чтение происходит особым образом. Если основание 10 дает возможность прочесть 101 как "сто один", то для 2 это будет "один ноль один".

Возвращаясь к вопросу разрядов, необходимо повторить, что в связи с гораздо меньшим основанием требуется больше разрядов. Так, например, 8 10 - это 1000 2 . Разница очевидна - один разряд и четыре. Еще одно серьезное отличие - в двоичной системе не существует отрицательных чисел. Разумеется, записать его можно, но храниться и зашифровываться оно все равно будет иначе. Итак, как же производится перевод из двоичной системы счисления в десятичную и наоборот?

Алгоритм

Достаточно редко, но все-таки иногда приходится осуществлять переход от одного основания к другому. Иными словами, возникает потребность в том, чтобы произвести перевод из двоичной системы в десятичную и наоборот. Современные компьютеры делают это легко и быстро, даже если записи очень длинные и объемные. Люди тоже могут это делать, хоть и гораздо медленнее и менее эффективно. Провести и одну, и вторую операцию не так уж и сложно, но требуются знания, как это делать, внимательность и практика. Для того чтобы перейти от основания 2 к 10, необходимо проделать следующие шаги:

2) последовательно умножить значение на 2, возведенное в степень, равную номеру позиции;

3) сложить полученные результаты.

Еще один способ - начать суммировать произведения цифр последовательно справа налево. Это называется преобразованием методом Горнера и многим кажется более удобным, чем обычный алгоритм.

Для того чтобы провести обратную операцию, то есть перейти от десятичной системы к двоичной, нужно сделать вот что:

1) разделить изначальное число на 2 и записать остаток (1 или 0);

2) повторять шаг 1 до момента, когда останется только 0 или 1;

3) записать полученные значения по порядку.

Существуют и другие способы провести перевод из двоичной в десятичную систему счисления и наоборот. Но они не имеют никакого преимущества перед описанным алгоритмом, не являются более эффективными. Зато они требуют навыков осуществления арифметических действий в двоичной системе, что доступно очень немногим.

Дроби

К счастью или сожалению, но факт остается фактом - в двоичной системе используются не только целые числа. Перевод дробей - не слишком сложная, но зачастую трудоемкая для человека задача. Если изначальное число представлено в десятичной системе, то после преобразования целого числа все, что после запятой, нужно уже не делить, а умножать на 2, записывая целые части. Если же производится перевод из двоичной в десятичную систему, то все еще проще. В этом случае, когда начнется преобразование части после запятой, степень, в которую возводится 2, будет последовательно равняться -1, -2, -3 и т. д. Лучше всего будет рассмотреть это на практике.

Пример

Для того чтобы понять, как применять описанные алгоритмы, необходимо проделать все операции самостоятельно. Практикой всегда можно закрепить теорию, так что лучше всего будет рассмотреть следующие примеры:

• перевод 1000101 2 в десятичную систему: 1х2 6 + 0х2 5 + 0х2 4 + 0х2 3 + 1х2 2 + 0х2 1 + 1х2 0 = 64+0+0+0+4+1 = 69 10 ;
• с помощью метода Горнера. 00110111010 2 = 0х2+0=0х2+0=0х2+1=1х2+1=3х2+0=6х2+1=13х2+1=27х2+1=55х2+0=110х2+1=221х2+0=442 10 ;
• 1110,01 2: 1х2 3 + 1х2 2 + 1х2 1 + 0х2 0 + 0х2 -1 + 1х2 -2 = 8+4+2+0,25 = 14,25 10 ;
• из десятичной системы: 15 10 = 15/2=7(1)/2=3(1)/2=1(1)/2=0(1)= 1111 2 ;

Как не запутаться?

Даже на примере лишь двоичной и десятичной систем становится ясно, что смена основания вручную - нетривиальная задача. А ведь есть еще и другие: шестнадцатиричная, восьмеричная, шестидесятиричная и т. д. При ручном переводе из одной системы счисления в другую крайне необходима внимательность. Не запутаться действительно сложно, особенно если запись длинная. Кроме того, нельзя забывать, что разряды считаются с 0, а не 1, то есть количество цифр всегда будет на одну больше. Разумеется, нужно внимательно подсчитывать число разрядов и не допускать ошибок в арифметических действиях и, конечно, не пропускать шаги в алгоритме. В конечном итоге, существуют способы осуществлять переход между основаниями программными методами. Но здесь проще самостоятельно написать скрипт, чем искать его на просторах всемирной сети. В любом случае, навыки ручного перевода, как и теоретическое представление о том, как это делается, тоже должны быть.

Фраза о том, что все новое - это не что иное, как хорошо забытое старое, в полной мере относится к Оказывается, что еще в древнем Китае уже применяли нечто, напоминающее наши «единичка-нолик», правда не для арифметики, а для написания текстов книги Перемен. Ближе всех к пониманию разных систем счисления были инки: они использовали и десятичную, и двоичную системы, правда, последнюю только для текстовых и кодированных сообщений. Можно предположить, что уже тогда, 4 тыс. лет назад, инки знали, как делается перевод из двоичной в десятичную систему.

Современный вариант был предложен Лейбницем всего-то около 300 лет назад, а спустя еще полтора века оставил свое имя в памяти потомков работой по алгебре логики. Двоичная арифметика совместно с алгеброй логики стала фундаментом нынешней цифровой техники. А началось все в 1937 году, когда был предложен метод символического анализа релейных и переключательных схем. Эта работа Клода Шенона стала «мамой» для релейного компьютера, выполнявшего двоичное сложение уже в 1937 году. И, конечно же, одной из задач этого «прадедушки» современных компьютеров был перевод из двоичной в десятичную систему.

Прошло всего три года и очередная модель релейного «компьютера» посылала команды калькулятору используя телефонную линию и телетайп - ну прямо древний интернет в действии.

Что же представляют собой двоичная, десятичная, шестнадцатеричная и, вообще говоря, любая N-ичная система? Да ничего сложного. Возьмем трехзначное число в нашей любимой десятичной системе, оно изображается при помощи 10 знаков - от 0 до 9 с учетом их расположения. Определимся, что цифры этого числа находятся на позициях 0, 1, 2 (порядок идет от последней цифры к первой). На каждой из позиций может находиться любое из чисел системы, однако величина этого числа определяется не только его начертанием, но и местом положения. Например, для числа 365 (соответственно, позиция 0 - цифра 5, позиция 1 - цифра 6, и позиция 2 - цифра 3) значение числа на нулевой позиции - просто 5, на первой позиции - 6*10, и на второй - 3*10*10. Здесь любопытно, что начиная с первой позиции, число содержит значащую цифру (от 0 до 9) и основание системы в степени равной номеру позиции, т.е. можно записать, что 345 = 3*10*10 + 6*10 +3 = 3*102 + 6*101 + 5*100.

Еще пример:

260974 = 2*105 + 6*104 + 0*103 + 9*102 + 7*101 + 4*100.

Как видим, каждое позиционное место содержит значащее число из набора данной системы, и множитель из основания системы в степени равной позиции данного числа (разрядность числа это есть количество позиций, но на +1 больше).

С точки зрения представления числа, его двоичная форма озадачивает своей простотой - только 2 числа в системе - 0 и 1. Но красота математики в том, что даже в усеченном виде, как может показаться, двоичные числа такие же полноценные и равноправные, как и их более «рослые товарищи». Но как же их сравнивать, например, с десятичным числом? Как вариант, нужно сделать, и не торопясь, перевод из двоичной в десятичную. Задачу не назовешь трудной, но эта кропотливая работа требует внимания. Итак, начнем.

Исходя из сказанного выше о порядке представления чисел в любой системе, и имея в виду простейшую из них - двоичную, возьмем любую последовательность «единичек-ноликов». Назовем это число VO (по-русски ВО), и попробуем узнать, что это такое - перевод из двоичной в десятичную систему. Пусть это будет VO=11001010010. На первый взгляд, число как число. Посмотрим!

В первой строке расположим само число в растянутом виде, а вторую распишем как сумму каждой позиции в виде сомножителей - значащей цифры (здесь выбор небольшой - 0 или 1) и числа 2 в степени, равной позиционному числу в десятичной системе, мы же делаем перевод из двоичной в десятичную. Теперь во второй строке нужно просто выполнить вычисления. Для наглядности можно дописать еще и третью строку с промежуточными вычислениями.

VO = 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0;

VO = 1*210 + 1*29 + 0*28 + 0*27 + 1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20;

VO=1*1024 + 1*512+0*256+0*128+ 1*64 + 0*32 + 1*16 + 0*8 +0*4 + 1*2 + 0*1.

Вычисляем «арифметику» в третьей строке и имеем то, что искали: VO = 1618. Ну и что же тут замечательного? А то, что это число - самое знаменитое из всех, которые известны людям: с ним связаны пропорции египетских пирамид, знаменитой Джоконды, музыкальных нот и человеческого тела, но… Но с небольшим уточнением - зная, что хорошего должно быть много, его величество случай дал нам это число в 1000 раз больше настоящего значения - 1,618. Наверное, чтобы всем досталось. А попутно перевод из двоичной системы в десятичную помог из бесконечного моря чисел «выловить» самое замечательное - его еще называют «золотая пропорция».

В одном из наших материалов мы рассмотрели определение . Оно имеет самый короткий алфавит. Только две цифры: 0 и 1. Примеры алфавитов позиционных систем счисления приведены в таблице.

Позиционные системы счисления

Для перевода небольшого числа из десятичного в двоичное, и обратно, лучше пользоваться следующей таблицей.

Таблица перевода десятичных чисел от 0 до 20 в двоичную систему счисления.

Однако таблица получится огромной, если записать туда все числа. Искать среди них нужное число будет уже сложнее. Гораздо проще запомнить несколько алгоритмов перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую.

Как сделать перевод из одной системы счисления в другую? В информатике существует несколько простых способов перевода десятичных чисел в двоичные числа. Рассмотрим два из них.

Способ №1.

Допустим, требуется перевести число 637 десятичной системы в двоичную систему.

Делается это следующим образом: отыскивается максимальная степень двойки, чтобы два в этой степени было меньше или равно исходному числу.

В нашем случае это 9, т.к. 2 9 =512 , а 2 10 =1024 , что больше нашего начального числа. Таким образом, мы получили число разрядов результата. Оно равно 9+1=10. Значит, результат будет иметь вид 1ххххххххх, где вместо х может стоять 1 или 0.

Найдем вторую цифру результата. Возведем двойку в степень 9 и вычтем из исходного числа: 637-2 9 =125. Затем сравниваем с числом 2 8 =256 . Так как 125 меньше 256, то девятый разряд будет 0, т.е. результат уже примет вид 10хххххххх.

2 7 =128 > 125 , значит и восьмой разряд будет нулём.

2 6 =64 , то седьмой разряд равен 1. 125-64=61 Таким образом, мы получили четыре старших разряда и число примет вид 10011ххххх.

2 5 =32 и видим, что 32 < 61, значит шестой разряд равен 1 (результат 100111хххх), остаток 61-32=29.

2 4 =16 < 29 - пятый разряд 1 => 1001111ххх. Остаток 29-16=13.

2 3 =8 < 13 => 10011111хх. 13-8=5

2 2 =4 < 5 => 10011111хх, остаток 5-4=1.

2 1 =2 > 1 => 100111110х, остаток 2-1=1.

2 0 =1 => 1001111101.

Это и будет конечный результат.

Способ №2.

Правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления, гласит:

1. Разделим a n−1 a n−2 ...a 1 a 0 =a n−1 ⋅2 n−1 +a n−2 ⋅2 n−2 +...+a 0 ⋅2 0 на 2.
2. Частное будет равно an−1 ⋅2n−2+...+a1 , а остаток будет равен
3. Полученное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен a1.
4. Если продолжить этот процесс деления, то на n-м шаге получим набор цифр: a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a n−1 , которые входят в двоичное представление исходного числа и совпадают с остатками при его последовательном делении на 2.
5. Таким образом, для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получим частное, которое будет равно нулю.

Исходное число в двоичной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков. Записывать его начинаем с последнего найденного.

Переведём десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:

Получили 11 10 =1011 2 .

Пример:

Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:

363 10 =101101011 2