Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами : сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>> .

Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами .

Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт!

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов . В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

Данная матрица состоит из шести элементов :

Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Это просто таблица (набор) чисел!

Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:

и три столбца:

СТАНДАРТ : когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной , например: – матрица «три на три».

Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами .

На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.

Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами :

1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу) .

Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак :

У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

Обратный пример: . Выглядит безобразно.

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак :

Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок .

2) Действие второе. Умножение матрицы на число .

Пример:

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Еще один полезный пример:

– умножение матрицы на дробь

Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО :

Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если – окончательный ответ задания).

И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

Из статьи Математика для чайников или с чего начать , мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.

Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка , то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

Пример:

В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка .

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

3) Действие третье. Транспонирование матрицы .

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Пример:

Транспонировать матрицу

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

– транспонированная матрица.

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.

Пошаговый пример:

Транспонировать матрицу

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Готово. Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок.

4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц .

Сумма матриц действие несложное.
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Пример:

Сложить матрицы и

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы :

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов .

Пример:

Найти разность матриц ,

А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.

5) Действие пятое. Умножение матриц .

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .

Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?

Значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

Следовательно, выполнить умножение невозможно:

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.
Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m ×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В .

В общем виде матрицу размером m ×n записывают так

.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы . Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a ij : первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a 23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной , причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной . В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом .

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц . Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a ij = b ij . Так если и , то A=B , если a 11 = b 11 , a 12 = b 12 , a 21 = b 21 и a 22 = b 22 .

Транспонирование . Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A , а переход от A к B транспонированием .

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A , обычно обозначают A T .

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры . Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B , стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C , которая определяется по правилу, например,

Примеры. Найти сумму матриц:

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B )+C =A +(B+C ).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

Примеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB , элементы которой составляются следующим образом:

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C ) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c 13 , нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a ij) размера m ×n на матрицу B = (b ij) размера n ×p , то получим матрицу C размера m ×p , элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c ij получается в результате произведения элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

.

Примеры.

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B ≠ B∙A . Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC .

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A , причём AE=EA=A .

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например , если , то

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .

Определителем второго порядка , соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a 11 a 22 – a 12 a 21 .

Определитель обозначается символом .

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка , соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

.

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a 11 , a 12 , a 13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки "+" и "–" у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.

Матрицей A=A mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов .

Элементы матрицы a ij , у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ .

Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a 11 , a 22 ,..., a nn .

Равенство матриц.

A=B , если порядки матриц A и B одинаковы и a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Действия над матрицами.

1. Сложение матриц - поэлементная операция

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

A mk *B kn =C mn причем каждый элемент с ij матрицы C mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.

Покажем операцию умножения матриц на примере

5. Возведение в степень

m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A T или A"

Строки и столбцы поменялись местами

Пример

Свойства опрераций над матрицами

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Виды матриц

1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m=n

3. Матрица строка: m=1 . Например, (1 3 5 7) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором

4. Матрица столбец: n=1 . Например

5. Диагональная матрица: m=n и a ij =0 , если i≠j . Например

6. Единичная матрица: m=n и

7. Нулевая матрица: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.

9. Симметрическая матрица: m=n и a ij =a ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A"=A

Например,

10. Кососимметрическая матрица: m=n и a ij =-a ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем a ii =-a ii )

Ясно, A"=-A

11. Эрмитова матрица: m=n и a ii =-ã ii (ã ji - комплексно - сопряженное к a ji , т.е. если A=3+2i , то комплексно - сопряженное Ã=3-2i )

В этой теме будут рассмотрены такие операции, как сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу, транспонирование матрицы. Все обозначения, которые используются на данной странице, взяты из предыдущей темы .

Сложение и вычитание матриц.

Суммой $A+B$ матриц $A_{m\times n}=(a_{ij})$ и $B_{m\times n}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{m\times n}=(c_{ij})$, где $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ для всех $i=\overline{1,m}$ и $j=\overline{1,n}$.

Аналогичное определение вводят и для разности матриц:

Разностью $A-B$ матриц $A_{m\times n}=(a_{ij})$ и $B_{m\times n}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{m\times n}=(c_{ij})$, где $c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}$ для всех $i=\overline{1,m}$ и $j=\overline{1,n}$.

Пояснение к записи $i=\overline{1,m}$: показать\скрыть

Запись "$i=\overline{1,m}$" означает, что параметр $i$ изменяется от 1 до m. Например, запись $i=\overline{1,5}$ говорит о том, что параметр $i$ принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.

Стоит обратить внимание, что операции сложения и вычитания определены только для матриц одинакового размера. Вообще, сложение и вычитание матриц - операции, ясные интуитивно, ибо означают они, по сути, всего лишь суммирование или вычитание соответствующих элементов.

Пример №1

Заданы три матрицы:

$$ A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end{array} \right)\;\; B=\left(\begin{array} {ccc} 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end{array} \right); \;\; F=\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ -5 & 4 \end{array} \right). $$

Можно ли найти матрицу $A+F$? Найти матрицы $C$ и $D$, если $C=A+B$ и $D=A-B$.

Матрица $A$ содержит 2 строки и 3 столбца (иными словами - размер матрицы $A$ равен $2\times 3$), а матрица $F$ содержит 2 строки и 2 столбца. Размеры матрицы $A$ и $F$ не совпадают, поэтому сложить их мы не можем, т.е. операция $A+F$ для данных матриц не определена.

Размеры матриц $A$ и $B$ совпадают, т.е. данные матрицы содержат равное количество строк и столбцов, поэтому к ним применима операция сложения.

$$ C=A+B=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end{array} \right)+ \left(\begin{array} {ccc} 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {ccc} -1+10 & -2+(-25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end{array} \right) $$

Найдем матрицу $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end{array} \right)- \left(\begin{array} {ccc} 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {ccc} -1-10 & -2-(-25) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end{array} \right) $$

Ответ : $C=\left(\begin{array} {ccc} 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end{array} \right)$, $D=\left(\begin{array} {ccc} -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end{array} \right)$.

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы $A_{m\times n}=(a_{ij})$ на число $\alpha$ называется матрица $B_{m\times n}=(b_{ij})$, где $b_{ij}=\alpha\cdot a_{ij}$ для всех $i=\overline{1,m}$ и $j=\overline{1,n}$.

Попросту говоря, умножить матрицу на некое число - означает умножить каждый элемент заданной матрицы на это число.

Пример №2

Задана матрица: $ A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end{array} \right)$. Найти матрицы $3\cdot A$, $-5\cdot A$ и $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end{array} \right) =\left(\begin{array} {ccc} 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end{array} \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end{array} \right) =\left(\begin{array} {ccc} -5\cdot(-1) & -5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end{array} \right). $$

Запись $-A$ есть сокращенная запись для $-1\cdot A$. Т.е., чтобы найти $-A$ нужно все элементы матрицы $A$ умножить на (-1). По сути, это означает, что знак всех элементов матрицы $A$ изменится на противоположный:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end{array} \right) $$

Ответ : $3\cdot A=\left(\begin{array} {ccc} -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end{array} \right);\; -5\cdot A=\left(\begin{array} {ccc} 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end{array} \right);\; -A=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end{array} \right)$.

Произведение двух матриц.

Определение этой операции громоздко и, на первый взгляд, непонятно. Поэтому сначала укажу общее определение, а потом подробно разберем, что оно означает и как с ним работать.

Произведением матрицы $A_{m\times n}=(a_{ij})$ на матрицу $B_{n\times k}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{m\times k}=(c_{ij})$, для которой каждый элемент $c_{ij}$ равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы $A$ на элементы j-го столбца матрицы $B$: $$c_{ij}=\sum\limits_{p=1}^{n}a_{ip}b_{pj}, \;\; i=\overline{1,m}, j=\overline{1,n}.$$

Пошагово умножение матриц разберем на примере. Однако сразу стоит обратить внимание, что перемножать можно не все матрицы. Если мы хотим умножить матрицу $A$ на матрицу $B$, то сперва нужно убедиться, что количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$ (такие матрицы часто называют согласованными ). Например, матрицу $A_{5\times 4}$ (матрица содержит 5 строк и 4 столбца), нельзя умножать на матрицу $F_{9\times 8}$ (9 строк и 8 столбцов), так как количество столбцов матрицы $A$ не равно количеству строк матрицы $F$, т.е. $4\neq 9$. А вот умножить матрицу $A_{5\times 4}$ на матрицу $B_{4\times 9}$ можно, так как количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$. При этом результатом умножения матриц $A_{5\times 4}$ и $B_{4\times 9}$ будет матрица $C_{5\times 9}$, содержащая 5 строк и 9 столбцов:

Пример №3

Заданы матрицы: $ A=\left(\begin{array} {cccc} -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end{array} \right)$ и $ B=\left(\begin{array} {cc} -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end{array} \right)$. Найти матрицу $C=A\cdot B$.

Для начала сразу определим размер матрицы $C$. Так как матрица $A$ имеет размер $3\times 4$, а матрица $B$ имеет размер $4\times 2$, то размер матрицы $C$ таков: $3\times 2$:

Итак, в результате произведения матриц $A$ и $B$ мы должны получить матрицу $C$, состоящую из трёх строк и двух столбцов: $ C=\left(\begin{array} {cc} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ c_{31} & c_{32} \end{array} \right)$. Если обозначения элементов вызывают вопросы, то можно глянуть предыдущую тему: "Матрицы. Виды матриц. Основные термины" , в начале которой поясняется обозначение элементов матрицы. Наша цель: найти значения всех элементов матрицы $C$.

Начнем с элемента $c_{11}$. Чтобы получить элемент $c_{11}$ нужно найти сумму произведений элементов первой строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:

Чтобы найти сам элемент $c_{11}$ нужно перемножить элементы первой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы первого столбца матрицы $B$, т.е. первый элемент на первый, второй на второй, третий на третий, четвертый на четвертый. Полученные результаты суммируем:

$$ c_{11}=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Продолжим решение и найдем $c_{12}$. Для этого придётся перемножить элементы первой строки матрицы $A$ и второго столбца матрицы $B$:

Аналогично предыдущему, имеем:

$$ c_{12}=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Все элементы первой строки матрицы $C$ найдены. Переходим ко второй строке, которую начинает элемент $c_{21}$. Чтобы его найти придётся перемножить элементы второй строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:

$$ c_{21}=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Следующий элемент $c_{22}$ находим, перемножая элементы второй строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:

$$ c_{22}=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Чтобы найти $c_{31}$ перемножим элементы третьей строки матрицы $A$ на элементы первого столбца матрицы $B$:

$$ c_{31}=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

И, наконец, для нахождения элемента $c_{32}$ придется перемножить элементы третьей строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:

$$ c_{32}=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Все элементы матрицы $C$ найдены, осталось лишь записать, что $C=\left(\begin{array} {cc} 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end{array} \right)$. Или, если уж писать полностью:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin{array} {cccc} -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end{array} \right)=\left(\begin{array} {cc} 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end{array} \right). $$

Ответ : $C=\left(\begin{array} {cc} 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end{array} \right)$.

Кстати сказать, зачастую нет резона расписывать подробно нахождение каждого элемента матрицы-результата. Для матриц, размер которых невелик, можно поступать и так:

Стоит также обратить внимание, что умножение матриц некоммутативно. Это означает, что в общем случае $A\cdot B\neq B\cdot A$. Лишь для некоторых типов матриц, которые именуют перестановочными (или коммутирующими), верно равенство $A\cdot B=B\cdot A$. Именно исходя из некоммутативности умножения, требуется указывать как именно мы домножаем выражение на ту или иную матрицу: справа или слева. Например, фраза "домножим обе части равенства $3E-F=Y$ на матрицу $A$ справа" означает, что требуется получить такое равенство: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Транспонированной по отношению к матрице $A_{m\times n}=(a_{ij})$ называется матрица $A_{n\times m}^{T}=(a_{ij}^{T})$, для элементов которой $a_{ij}^{T}=a_{ji}$.

Попросту говоря, для того, чтобы получить транспонированную матрицу $A^T$, нужно в исходной матрице $A$ заменить столбцы соответствующими строками по такому принципу: была первая строка - станет первый столбец; была вторая строка - станет второй столбец; была третья строка - станет третий столбец и так далее. Например, найдем транспонированную матрицу к матрице $A_{3\times 5}$:

Соответственно, если исходная матрица имела размер $3\times 5$, то транспонированная матрица имеет размер $5\times 3$.

Некоторые свойства операций над матрицами.

Здесь предполагается, что $\alpha$, $\beta$ - некоторые числа, а $A$, $B$, $C$ - матрицы. Для первых четырех свойств я указал названия, остальные можно назвать по аналогии с первыми четырьмя.

1. $A+B=B+A$ (коммутативность сложения)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (ассоциативность сложения)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (дистрибутивность умножения на матрицу относительно сложения чисел)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, где $E$ - единичная матрица соответствующего порядка.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, где $O$ - нулевая матрица соответствующего размера.
10. $\left(A^T \right)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

В следующей части будет рассмотрена операция возведения матрицы в целую неотрицательную степень, а также решены примеры, в которых потребуется выполнение нескольких операций над матрицами.

Решение матриц – понятие обобщающее операции над матрицами. Под математической матрицей понимается таблица элементов. О подобной таблице, в которой m строк и n столбцов, говорят что это матрица размером m на n.
Общий вид матрицы

Основные элементы матрицы:
Главная диагональ . Её составляют элементы а 11 ,а 22 …..а mn
Побочная диагональ. Её слагают элементы а 1n ,а 2n-1 …..а m1 .
Перед тем как перейти к решению матриц рассмотрим основные виды матриц:
Квадратная – в которой число строк равно числу столбцов (m=n)
Нулевая – все элементы этой матрицы равны 0.
Транспонированная матрица - матрица В, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.
Единичная – все элементы главной диагонали равны 1, все остальные 0.
Обратная матрица - матрица, при умножении на которую исходная матрица даёт в результате единичную матрицу.
Матрица может быть симметричной относительно главной и побочной диагонали. То есть, если а 12 =а 21 , а 13 =а 31 ,….а 23 =а 32 …. а m-1n =а mn-1 . то матрица симметрична относительно главной диагонали. Симметричными бывают только квадратные матрицы.
Теперь перейдем непосредственно к вопросу, как решать матрицы.

Сложение матриц.

Матрицы можно алгебраически складывать, если они обладают одинаковой размерностью. Чтобы сложить матрицу А с матрицей В, необходимо элемент первой строки первого столбца матрицы А сложить с первым элементом первой строки матрицы В, элемент второго столбца первой строки матрицы А сложить с элементом элемент второго столбца первой строки матрицы В и т.д.
Свойства сложения
А+В=В+А
(А+В)+С=А+(В+С)

Умножение матриц .

Матрицы можно перемножать, если они согласованы. Матрицы А и В считаются согласованными, если количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В.
Если А размерностью m на n, B размерностью n на к, то матрица С=А*В будет размерностью m на к и будет составлена из элементов

Где С 11 – сумма папарных произведений элементов строки матрицы А и столбца матрицы В, то есть элемента сумма произведения элемента первого столбца первой строки матрицы А с элементом первого столбца первой строки матрицы В, элемента второго столбца первой строки матрицы А с элементом первого столбца второй строки матрицы В и т.д.
При перемножении важен порядок перемножения. А*В не равно В*А.

Нахождение определителя.

Любая квадратная матрица может породить определитель или детерминант. Записывает det. Или | элементы матрицы |
Для матриц размерностью 2 на 2. Определить есть разница между произведением элементов главной и элементами побочной диагонали.

Для матриц размерностью 3 на 3 и более. Операция нахождения определителя сложнее.
Введем понятия:
Минор элемента – есть определитель матрицы, полученной из исходной матрицы, путем вычеркивания строки и столбца исходной матрицы, в которой этот элемент находился.
Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется произведение минора этого элемента на -1 в степени суммы строки и столбца исходной матрицы, в которой этот элемент находился.
Определитель любой квадратной матрицы равен сумме произведения элементов любого ряда матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения.

Обращение матрицы

Обращение матрицы - это процесс нахождения обратной матрицы, определение которой мы дали в начале. Обозначается обратная матрица также как исходная с припиской степени -1.
Находиться обратная матрица по формуле.
А -1 = A * T x (1/|A|)
Где A * T - Транспонированная матрица Алгебраических дополнений.

Примеры решения матриц мы сделали в виде видеоурока

:

Если хотите разобраться, смотрите обязательно.

Это основные операции по решению матриц. Если появится дополнительные вопросы о том, как решить матрицы , пишите смело в комментариях.

Если все же вы не смогли разобраться, попробуйте обратиться к специалисту.