x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Симплекс метод

Примеры решения ЗЛП симплекс методом

Пример 1. Решить следующую задачу линейного программирования:

Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор x при . min (40:6, 28:2)=20/3 соответствует строке 1. Из базиса выходит вектор x 3 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x 2 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 1. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 2, 3, 4 со строкой 1, умноженной на -1/3, 1/6, 1/2, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор x 1 . Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при . min(44/3:11/3, 62/3:5/3)=4 соответствует строке 2. Из базиса выходит вектор x 4 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x 1 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 2. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 1, 3, 4 со строкой 2, умноженной на 1/11, -5/11, 9/11, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Текущий опорный план является оптимальным, так как в строках 4 под переменными нет отрицательных элементов.

Решение можно записать так: .

Значение целевой функции в данной точке: F (X )=.

Пример 2. Найти максимум функции

Р е ш е н и е.

Базисные векторы x 4 , x 3 , следовательно, все элементы в столбцах x 4 , x 3 , ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца x 4 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на 4. Обнулим все элементы столбца x 3 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 1.

Симплекс таблица примет вид:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательный элемент (-11), следовательно в базис входит вектор x 2 . Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при . Все следовательно целевая функция неограничена сверху. Т.е. задача линейного программирования неразрешима.

Примеры решения ЗЛП методом искусственного базиса

Пример 1. Найти максимум функции

Р е ш е н и е. Так как количество базисных векторов должен быть 3, то добавляем искусственное переменное, а в целевую функцию добавляем это переменное, умноженное на −M, где M, очень большое число:

Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Базисные векторы следовательно, все элементы в столбцах ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 3, умноженной на -1.

Симплекс таблица примет вид:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-5), следовательно в базис входит вектор Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 3. Из базиса выходит вектор Сделаем исключение Гаусса для столбца учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 3. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строку 5 со строкой 3, умноженной на 1. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 1. Из базиса выходит вектор x 2 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x 1 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 1. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 2, 3, 4 со строкой 1, умноженной на 3/2, -1/10, 3/2, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-13/2), следовательно в базис входит вектор x 3 . Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 3. Из базиса выходит вектор x 5 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x 3 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 3. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 1, 2, 4 со строкой 3, умноженной на 5/3, 25/9, 65/9, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Текущий опорный план является оптимальным, так как в строках 4−5 под переменными нет отрицательных элементов.

Решение исходной задачи можно записать так:

Пример 2. Найти оптимальный план задачи линейного программирования:

Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Базисные векторы x 4 , x 5 , x 6 , следовательно, все элементы в столбцах x 4 , x 5 , x 6 , ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца x 4 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 4 со строкой 1, умноженной на -1. Обнулим все элементы столбца x 5 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 2, умноженной на -1. Обнулим все элементы столбца x 6 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 3, умноженной на -1.

Симплекс таблица примет вид:

В строке 5 элементы, соответствующие переменным x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 неотрицательны, а число находящийся в пересечении данной строки и столбца x 0 отрицательнo. Тогда исходная задача не имеет опорного плана. Следовательно она неразрешима.

1. Преобразовываем неравенства в равенства

2. Находим начальное допустимое базисное решение

3. На основе условия оптимальности определяется вводимая переменная. Если вводимых переменных нет, то процесс закончен.

4. На основе условия допустимости выбираем исключаемая переменная

5. Вычисляем элементы новой ведущей строки

новая ведущая строка = текущая строка/ведущий элемент

6. Вычисляем элементы остальных строк, включая z-строку

новая строка = текущая строка – ее коэффициенты в ведущем столбце * новую ведущую строку

Переходим к шагу 3.

Для удобства записи итерационного процесса все значения записываем в Симплекс-таблицу.

2. Пример решения задачи лп с использованием пакета ms excel

Для многих задач оптимизации удобно применять модель линейного программирования. Суть задачи заключается в составлении системы неравенств, описывающих соответствующие ограничения задачи и задания функции оптимизации.

Для нахождения решения в подобных моделях, можно использовать средство MS EXCEL – ПОИСК РЕШЕНИЯ.

Рассмотрим, как составить модель линейного программирования и найти ее решение на примере.

2.1. Постановка задачи

На трех станках обрабатываются детали двух видов (А и Б), причем каждая деталь проходит обработку на всех станках. Известно время обработки деталей на каждом станке, время работы станков в течение одного цикла производства и прибыль от продажи одной детали каждого вида (данные в таблице). Составить план производства, обеспечивающий наибольшую прибыль.

2.2. Построение математической модели

Обозначим через х 1 и х 2 количество единиц деталей видов А и Б, планируемое к выпуску. Тогда время обработки х 1 деталей вида А на первом станке составляет 1* х 1 ; х 2 деталей вида Б соответственно 2*х 2 . Суммарное время работы станка I для изготовления планируемого количества деталей равно х 1 +2*х 2 , оно ограничено 16 часами работы этого станка в течение одного цикла производства. Поэтому должно выполняться неравенство:

х 1 +2*х 2 <=16;

Аналогично для станков II и III получаем неравенства соответственно:

х 1 + х 2 <=10;

3*х 1 + х 2 <=24;

Кроме того, по смыслу определения веденных величин х 1 и х 2 , должны выполняться условия: х 1 >=0; х 2 >=0;

Таким образом, получаем систему неравенств, называемую системой ограничений задачи:

Любое решение (х 1 ; х 2) системы ограничений называется планом выпуска продукции или допустимым планом задачи.

Прибыль от реализации х 1 единиц деталей вида А равна 4 . х 1 , а прибыль от реализации х 2 единиц деталей вида Б равна 2х 2. Суммарная прибыль от реализации продукции, выпущенной согласно плану (х 1 ; х 2) равна:

F (х 1 ; х 2 )=4х 1 +2х 2 (тыс. руб).

Линейная функция F (х 1 ; х 2 ) называется целевой функцией задачи.

По условию задачи требуется найти такой план (х 1 ; х 2) при котором прибыль была бы максимальной.

Таким образом, построена математическая модель задачи как задачи линейного программирования:

F (х 1 ; х 2 )=4х 1 +2х 2 → max

Задание . Реализуйте все нижеприведенные шаги в табличном процессоре Excel, необходимые для решения задачи ЛП.
Поясним последовательность действий при решения задачи ЛП табличным симплекс-методом на примере.

Задача . Решить задачу табличным симплекс-методом .

при ограничениях

Порядок выполнения работы :

I. Проверка выполнения условий, необходимых для решения задачи табличным симплекс-методом в чистом виде.


II. Оформление исходных данных.

1. 
   Откройте табличный процессор Excel и введите заголовок Табличный способ решения задач линейного программирования .
2. 
   Заполните начальную симплекс-таблицу.

Следующая строка таблицы соответствует первому ограничению. Базисная переменная , найденная в первом ограничении, свободный член, коэффициенты при переменных соответствующего ограничения. Аналогичным образом заполняются 2 и 3 строки.

Последняя строка – это строка целевой функции, которая заполняется следующим образом, свободный член без изменения знака, а коэффициенты при переменных с противоположным (рис. 26).

Рис. 26 . Исходная симплекс таблица.

1. 
   Запишите значение целевой функции , начальный опорный план, опираясь на столбец свободных членов (рис. 27).

Рис. 27 . Значение целевой функции и начальный опорный план.

III. Нахождение оптимального плана и оптимального значения целевой функции.

1. 
   Так в индексной строке есть отрицательные коэффициенты при переменных, то опорный план не является оптимальным. Организуйте процесс улучшения плана, выполнив предложенные шаги.
2. 
   Среди отрицательных элементов индексной строки выберите наибольший по модулю элемент. Соответствующий столбец назовите ведущим. Данный столбец показывает , какую переменную необходимо включить в базис (рис. 28).

Рис. 28 . Выбор ведущего столбца.

Рис. 29 . Составление отношений.

1. 
   Определите результат отношений (таблица 5), учитывая, что в результате может получиться число, отличное от нуля, 0 или бесконечность (рис. 30).

Рис. 30 . Результат отношений.

1. 
   Выберите наименьшее из отношений. Строку, в которой получился наименьший результат, назовите ведущей (рис. 31). Данная строка показывает, какую переменную необходимо исключить из базиса.

Рис. 31 . Выбор ведущей строки.

1. 
   На пересечении ведущей строки и ведущего столбца получается ведущий элемент (рис. 32).

Рис. 32 . Ведущий элемент.

Рис. 33 . Новый базис.

Для получения 1 в ячейке С13 необходимо каждый элемент ведущей строки поделить на ведущий элемент.

В ячейку С13 запишите формулу = С5/2 (рис 34), нажмите Enter.

Рис. 34 . Получение 1 в ячейке С13.
Растяните формулу (рис. 35).

Рис. 35 . Первая строка второй симплексной таблицы.
Затем получите нуль в ячейке С14.

Для этого во второй симплексной таблице 1 (ячейка С13) умножьте на элемент предыдущей таблицы, соответствующий элементу ячейки С14, взятый с противоположным знаком и сложите с этим же элементом.

Так как элемент, соответствующий элементу ячейки С14 равен 1 (ячейка С6), то это означает, что все элементы первой строки второй симплексной таблицы умножаются на (-1) и складывается с соответствующими элементами первой симплексной ьаблицы. Запишите в ячейку С14 формулу =C13*(-1)+C6 (рис. 36).

Рис. 36 . Элемент С14 второй симплексной таблицы.
Аналогичным образом получите остальные элементы базисного столбца (рис. 37 и рис. 38).

Рис. 37 . Элемент С15 второй симплексной таблицы.

Рис. 38 . Элемент С16 второй симплексной таблицы.

1. 
   Растяните формулы базисного столбца по строкам, получите вторую симплексную таблицу (рис. 39).

Рис. 39 . Первая и вторая симплексные таблицы.

1. 
   Так в индексной строке есть отрицательные коэффициенты при переменных, то опорный план не является оптимальным.
2. 
   Запишите значение целевой функции, найденный новый опорный план, опираясь на столбец свободных членов (рис. 40). Проконтролируйте, что значение целевой функции максимизируется.

Рис. 40 . Значение целевой функции и опорного плана второй симплексной таблицы.

1. 
   Организуйте процесс улучшения плана, выполнив предложенные шаги, начиная с пункта 5, до тех пор пока не будет выполняться какой-нибудь из критериев остановки. Получите третью симплексную таблицу (рис. 41).

Рис. 41 . Первая, вторая и третья симплексные таблицы.

Задание. Воспользуйтесь материалами лабораторной работы №3. Выполните проверку, используя программу MathCad.

Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве b 1 = 240, b 2 = 200, b 3 = 160 единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве a 11 = 2 единицы, ресурса второго вида в количестве a 21 = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a 31 = 4 единицы. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве a 12 = 3, a 13 = 6 единицы, ресурса второго вида в количестве a 22 = 2, a 23 = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a 32 = 6, a 33 = 8 единиц. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно c 1 = 4, c 2 = 5, c 3 = 4 (тыс. руб.). Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.

К прямой задаче планирования товарооборота, решаемой симплекс методом , составить двойственную задачу линейного программирования.
Установить сопряженные пары переменных прямой и двойственной задачи.
Согласно сопряженным парам переменных из решения прямой задачи получить решение двойственной задачи , в которой производится оценка ресурсов , затраченных на продажу товаров.

Решение задачи симплекс методом

F = 4·x 1 + 5·x 2 + 4·x 3 ->max

0}}}{~}" title="delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{2x_1 + 3x_2 + 6x_3= 0}}}{~}">

Решаем симплекс методом.

Вводим дополнительные переменные x 4 ≥ 0, x 5 ≥ 0, x 6 ≥ 0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.

В качестве базиса возьмем x 4 = 240; x 5 = 200; x 6 = 160.

Данные заносим в симплекс таблицу

Симплекс таблица № 1

Целевая функция:

0 · 240 + 0 · 200 + 0 · 160 = 0

Вычисляем оценки по формуле:

Δ 1 = 0 · 2 + 0 · 4 + 0 · 4 - 4 = - 4
Δ 2 = 0 · 3 + 0 · 2 + 0 · 6 - 5 = - 5
Δ 3 = 0 · 6 + 0 · 4 + 0 · 8 - 4 = - 4
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 0 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 0 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · 0 + 0 · 0 + 0 · 1 - 0 = 0

Поскольку есть отрицательные оценки, то план не оптимален. Наименьшая оценка:

Вводим переменную x 2 в базис.

Определяем переменную, выходящую из базиса. Для этого находим наименьшее неотрицательное отношение для столбца x 2 .

= 26.667

Наименьшее неотрицательное: Q 3 = 26.667. Выводим переменную x 6 из базиса

3-ю строку делим на 6.
Из 1-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 3
Из 2-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 2

Вычисляем:

Получаем новую таблицу:

Симплекс таблица № 2

Целевая функция:

0 · 160 + 0 · 440/3 + 5 · 80/3 = 400/3

Вычисляем оценки по формуле:

Δ 1 = 0 · 0 + 0 · 8/3 + 5 · 2/3 - 4 = - 2/3
Δ 2 = 0 · 0 + 0 · 0 + 5 · 1 - 5 = 0
Δ 3 = 0 · 2 + 0 · 4/3 + 5 · 4/3 - 4 = 8/3
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 5 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 5 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · (-1)/2 + 0 · (-1)/3 + 5 · 1/6 - 0 = 5/6

Поскольку есть отрицательная оценка Δ 1 = - 2/3, то план не оптимален.

Вводим переменную x 1 в базис.

Определяем переменную, выходящую из базиса. Для этого находим наименьшее неотрицательное отношение для столбца x 1 .

Наименьшее неотрицательное: Q 3 = 40. Выводим переменную x 2 из базиса

3-ю строку делим на 2/3.
Из 2-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 8/3

Вычисляем:

Получаем новую таблицу:

Симплекс таблица № 3

Целевая функция:

0 · 160 + 0 · 40 + 4 · 40 = 160

Вычисляем оценки по формуле:

Δ 1 = 0 · 0 + 0 · 0 + 4 · 1 - 4 = 0
Δ 2 = 0 · 0 + 0 · (-4) + 4 · 3/2 - 5 = 1
Δ 3 = 0 · 2 + 0 · (-4) + 4 · 2 - 4 = 4
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 4 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 4 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · (-1)/2 + 0 · (-1) + 4 · 1/4 - 0 = 1

Поскольку отрицательных оценок нет, то план оптимален.

Решение задачи:

Ответ

То есть необходимо реализовать товар первого вида в объеме 40 тыс. руб. Товар 2-го и 3-го видов реализовывать не надо. При этом максимальная прибыль составит F max = 160 тыс. руб.

Решение двойственной задачи

Двойственная задача имеет вид:

Z = 240·y 1 + 200·y 2 + 160·y 3 ->min

Title="delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{2y_1 + 4y_2 + 4y_3>=4} {3y_1 + 2y_2 + 6y_3>=5} {6y_1 + 4y_2 + 8y_3>=4} {y_1, y_2, y_3>= 0}}}{~}">

Вводим дополнительные переменные y 4 ≥ 0, y 5 ≥ 0, y 6 ≥ 0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.

Сопряженные пары переменных прямой и двойственной задач имеют вид:

Из последней симплекс таблицы № 3 прямой задачи, находим решение двойственной задачи:

Z min = F max = 160;
y 1 = Δ 4 = 0; y 2 = Δ 5 = 0; y 3 = Δ 6 = 1; y 4 = Δ 1 = 0; y 5 = Δ 2 = 1; y 6 = Δ 3 = 4;

Оптимизационные модели используются, чтобы найти ответы на вопросы типа:

• как составить расписание для сотрудников колл-центра, чтобы оно соответствовало их отпускным запросам, сбалансировало переработки и исключало круглосуточные дежурства?
• какие возможности бурения нефтяных скважин использовать для получения максимального дохода, держа при этом под контролем все риски?
• когда следует делать новые заказы в Китае и как их доставлять, чтобы минимизировать стоимость и соответствовать ожидаемому спросу?

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Целью оптимизации всегда является «максимизация» или «минимизация». Самая распространенная и понятная форма математической оптимизации - это линейное программирование, секретная разработка советских инженеров конца 1930-х годов, ставшая популярной в ходе Второй мировой войны. Кстати, слово «программирование» в данном словосочетании является пережитком военной терминологии того времени и не имеет ничего общего с компьютерным программированием.

Начнем с любимого примера экономистов - пушек и масла. Идет 1941-й год, вы – хозяин французской молочной фермы. Днем вы доите коров и производите сливочное масло, ночью – собираете автоматы. Ваша цель – максимальная прибыль, чтобы как можно дольше производить автоматы. От посредника из Сопротивления вы получаете за каждый автомат по 195 денежных единиц (чтобы не напрягать Excel несуществующими франками, допустим, что это доллары). За каждую бочку масла на рынке вам платят по $150.

Условия и ограничения. Себестоимость одной бочки масла – $100, а одного автомата – $150. Месячный бюджет на производство - $1800. Вы храните продукцию в 21-кубометровом подвале. Автомат занимает ½ м 3 , бочка масла 1½ м 3 . Сколько автоматов и бочек масла вам нужно продать за месяц, чтобы получить максимальную прибыль?

Линейная программа определяется как набор решений, необходимый для оптимизации объекта в свете некоторых условий, где и объект, и условия линейны. Вы можете складывать, вычитать, умножать на константы, но не можете применять для решения нелинейные функции, например, перемножение переменных (нельзя автоматы умножить на масло), возведение в квадрат или логические циклы, такие как ЕСЛИ.

Представим области допустимых значений графически. Во-первых, количество пушек и бочек масла должно быть неотрицательным. Во-вторых, максимально можно произвести $1800/$150 = 12 автоматов или $1800/$100 = 18 бочек масла (рис. 1). Общее название этого треугольника – политоп – фигура с плоскими сторонами (например, бриллиант). В-третьих, подвал может вместить не более 21/(½) = 42 автоматов или 21/(1½) = 14 бочек масла (рис. 2).

Чтобы найти идеальное соотношение автоматов и бочек введем в задачу понятие линии уровня функции . Такая линия в оптимизационной модели включает значения, приносящие одинаковую прибыль. Линию уровня можно задать уравнением:

(195 – 150) * N автоматов + (150 – 100) * N бочек масла = С,

где С – константа.

Например, при С = 450, линия будет проходить через координаты (0;10) и (9;0). Графически идея максимизации прибыли реализуется перемещением линии уровня параллельно самой себе в направлении увеличения значений по осям Х и Y (рис. 3). Любопытно, что для политопа оптимум всегда лежит в одной из вершин (или единственного решения не существует вовсе). На этом свойстве основан алгоритм симплексного метода. Решение задачи в Excel начинают с создания области модели (рис. 4). Формула целевой функции в ячейке В1 =СУММПРОИЗВ(C4:D4;C10:D10).

Рис. 3. Линия уровня и функция для оптимизации прибыли: а) некое произвольное начальное положение; б) линия уровня в оптимальном положении

У вас всё готово, чтобы нажать кнопку ДАННЫЕ –> Поиск решения . (Если вы не видите этой кнопки, установите надстройку Поиск решения; см. , глава 1). В открывшемся окне Параметры поиска решения задайте выделенные опции и нажмите Найти решение .

Рис. 5. Окно Поиск решения

Excel обновит лист и внесет на него результаты расчета (рис. 6).

Что произойдет, если добавить нелинейность? Допустим ваш посредник предлагает $500, если число автоматов в месяц будет более 5. Просто добавьте функцию ЕСЛИ в ячейку с прибылью (В1). Теперь целевая функция выглядит так: =СУММПРОИЗВ(C4:D4;C10:D10)+ЕСЛИ(C4>5;500;0). Жмем Поиск решения . Неудача, Excel сообщает об ошибке – условия линейности не выполнены (рис. 7).

Можно попробовать эволюционный алгоритм, лучше всего работающий с нелинейными моделями, и практически не ограничивающий вас в выборе функций. Работа эволюционного алгоритма в чем-то повторяет принципы работы биологической эволюции:

• генерирует пул исходных решений (что-то вроде генетического пула) разной степени вероятности;
• каждое решение имеет некий уровень пригодности к выживанию;
• решения размножаются перекрестным переносом, то есть их компоненты выбираются из двух или трех существующих решений и затем комбинируются;
• существующие решения мутируют в новые;
• имеет место локальный поиск, в процессе которого генерируются новые решения вблизи лучшего на данный момент решения в популяции;
• происходит отбор: случайно выбранные неуспешные кандидаты в решения выбрасываются из генетического пула.

К сожалению, с эволюционным алгоритмом все же возникают некоторые проблемы:

• Время работы существенно больше, чем при симплекс-методе
• Нет никакой гарантии, что он найдет оптимальное решение. Все, что в его силах - это контроль лучшего решения в популяции, пока не закончится время, либо популяция не изменится в достаточной степени для продолжения, либо вы принудительно не остановите «Поиск решения» нажатием кнопки ESC.
• Эволюционный поиск решения работает довольно медленно. А если области допустимых значений сложные, он часто ругается, не найдя даже места, с которого начать.
• Если вы хотите заставить эволюционный алгоритм хорошо работать в Excel, вам придется определить жесткие границы для каждой переменной решения. Даже если ваше решение более или менее неограниченное, вам все же нужны ограничения.

Принимая во внимание последний пункт, для решения задачи с автоматами и маслом вам нужно добавить ограничение, согласно которому оба решения не должны быть больше 25 (рис. 8). Установив основные параметры модели, кликните на кнопку Параметры . Проработав около минуты, эволюционный алгоритм выдал ожидаемое решение – 6 автоматов и 9 бочек масла. Поскольку без бонуса оптимально сделать лишь три автомата, а бонус выплачивается при производстве более 5 автоматов, очевидно, что оптимальным будет выбор 6 автоматов.

Рассмотрим теперь более сложный пример. Вы работаете в компании, которая производит апельсиновый сок, смешивая натуральные соки разных сортов (рис. 9). Чтобы ваш сок отвечал самым изысканным требованиям:

• отношение по шкале Брикс/кислотность должно оставаться в пределах 11,5–12,5;
• уровень кислотности должен оставаться между 0,75–1%;
• уровень вяжущего вкуса должен быть 4 или ниже;
• цвет должен находиться в рамках 4,5–5,5.

Шеф сообщил вам, что на январь и февраль он ожидает спросу на уровне 600 000 галлонов сока в месяц, а в марте – 700 000 галлонов. И еще, имеется договор со штатом Флорида, предоставляющий налоговые льготы при условии, что компания покупает не менее 40% сока каждый месяц у фермеров, выращивающих сорт Valencia . Договор следует соблюсти.

Рис. 9. Список характеристик для производства свежевыжатого апельсинового сока (чтобы увеличить изображение, кликните на нем правой кнопкой мыши, и выберите Открыть картинку в новой вкладке )

Создайте оптимизационную модель (рис. 10). Формулы можно изучить на соответствующем листе, приложенного Excel-файла. Кликните Поиск решения , и введите параметры (рис. 11). Нажмите Найти решение .

Рис. 11. Заполненное окно Поиск решения для задачи смешивания

Запустив Поиск решения , вы находите оптимальную стоимость закупок - $1,23 млн. (рис. 12). Обратите внимание, что заказ флоридской Valencia проходит по нижней границе условия. Очевидно, эта сделка - не лучший вариант, но приходится смириться. Второй по популярности сорт - это Verna из Мексики, которая чертовски дешева, но ровно настолько же ужасна.

Вы представляете результаты расчета шефу, но он остается недоволен, и говорит о том, что не хочет выходить за бюджет $1,17 млн. Вы возвращаетесь к компьютеру и начинаете понимать, что стоимость перестала быть целевой функцией. Теперь это условие! А какова цель? Вы можете снизить стоимость закупок только смягчив требования к качеству. Вы решаете сформулировать их в терминах процентного сокращения, и делаете новую модель (рис. 13).

Обратите внимание, что в ячейках В26:29 и F26:F29 теперь не константы, а формулы. Ваша новая цель – минимизация процента снижения качества в ячейках G26:G29. Точнее, вы бы хотели минимизировать максимальное из значений в ячейках G26:G29. Однако, если в ячейку D2 поместить формулу =МАКС(G26:G29), модель не будет работать. Напоминаю, функция МАКС не является линейной. Здесь доступна маленькая хитрость – можно внести дополнительное условие в модель: $G$26:$G$29<=$D$2 (рис. 14), а ячейку D2 оставить пустой. Т.е., ячейка D2 будет оптимизироваться не благодаря наличию в ней формулы, а последовательными циклами, запускаемыми этим дополнительным условием.

Нажмите Найти решение . Симплексный алгоритм будет пытаться приблизить D2 к 0 как целевую функцию модели, в то время как ограничения по вкусу и цвету будут пытаться увеличить ее насколько возможно, чтобы получить пригодную для работы смесь. Где же остановится значение D2? Самое меньшее из возможных значений - максимальный процент из четырех сниженных в диапазоне G26:G29. Мы видим (рис. 15, ячейки С26:Е29), что снижение расходов на 5% потребовало выйти за ограничения качества по всем четырем параметрам.

Вы представили данные шефу, который увидел, что сокращение расходов на 5% не стоит снижения качества сока, поэтому он согласовал ваш первый вариант. Но, когда вы принесли его в отдел снабжения, сотрудники возмутились. Как можно было так раздробить поставки!? Снабженцы настаивают, чтобы вы укрупнили партии: не более 4 поставщиков ежемесячно! И вы садитесь за новую модель. К сожалению, использовать функции ЕСЛИ или СЧЁТ вы не можете, так как хотите остаться в рамках линейной модели. Поэтому вам снова приходится прибегнуть к ухищрениям (рис. 16). Вы добавляете в модель область С33:Е43, которую определяете, как бинарную (значения в ней могут быть только 0 или 1), и оставляете ее пустой. А также область F33:H43, где каждая ячейка равна произведению значения из областей С33:Е43 на G5:G15. В параметры Поиск решения (рис. 17) вы добавляете еще одно условие $С$15:$Е$15 <= $F$33:$H$43 и еще одну область переменных – $C$33:$E$43.

Как в этом случае будет работать оптимизационный алгоритм? Когда он стартует все значения в областях С5:Е15, С33:Е43 и F33:H43 равны нулю. Допустим, что алгоритм пытается в ячейку С7 поместить значение 240. Сработает условие С7 <= F35, которое приведет к увеличению значения в F35, которое, в свою очередь, определяется формулой F35 = C35*$G7. Поскольку G7 – константа, а С35 – бинарная переменная, последней присваивается значение 1. Условие С7 <= F35 выполнено, т.к., 240 <= 1200. Таким образом вы моделируете неудобное условие «если… то»: «если заказ сделан, то бинарная переменная включается».

Нажмите Найти решение . Вы заметите, что решение задачи требует больше времени из-за добавления бинарных переменных. Если по какой-то причине Поиск решения слишком затянул свой поиск, вы всегда можете нажать ESC и увидеть лучшее из найденных решений на данный момент.

В принципе, вы уже довольно продвинутый специалист в области линейного программирования. Но, если вы вошли во вкус, и вам нравится разбираться с моделями всё возрастающей сложности, вот вам еще два зубодробительных примера.

Инженеры сообщили, что на производстве появились новые «снижатели кислотности». Данная технология способна нейтрализовать 20% кислоты в соке, протекающем через прибор. Это не только снижает процент кислоты, но и повышает индекс Брикс/кислотность на 25%. Но для «снижателя» нужна энергия и расходные материалы стоимостью $20 за 1000 галлонов сока. Не весь сок, поступающий от поставщиков, нужно прогонять через этот процесс, однако, если поставка по какому-нибудь заказу прогоняется через ионообменник, то должен быть обработан весь ее объем. Постройте модель с участием ионообменника для снижения стоимости.

Проблема с новым правилом заключается в том, что естественный способ его моделирования - нелинейный, что приведет к использованию медленного алгоритма оптимизации. Но, как и в предыдущем примере, можно ввести бинарную переменную в области С25:Е35, которая бы «включалась» при необходимости понизить кислотность партии (рис. 18). Поскольку, нельзя использовать произведение «индикатор понижения кислотности (бинарный) * объем партии», вы создаете область С37:Е47, которая вам пригодятся для уравнивания объемов, подлежащих снижению кислотности, без прямого участия в формулах самих этих объемов. Итак, области С25:Е35 и С37:Е47 не содержат формул. В области G25:I35 используются формулы =С25:Е35*G5:G15 (это ограничение партии общим доступным объемом сока), а в области К25:М35 =Е5:E15-GG5:15*(1-Е25:E35). Это условие заработает только если партия подлежит снижению кислотности.

Также в модели со «снижателем кислотности» были изменены формулы в ячейках С16:Е16 (теперь они учитывают затраты на снижение кислотности по формуле «индикатор (бинарный) * объем партии * $20) и в ячейках С50:Е51 (теперь они учитывают повышение коэффициента Брикс/кислотность на 25% и снижение кислотности на 20% для обработанных партий). В параметрах Поиска решения появились новые переменные и дополнительные условие (рис. 19). К сожалению, нажав кнопку Найти решение , вы узнаете, что надстройка Поиск решения не может справиться с задачей (рис. 20). Модель стали слишком сложной.

Рис. 19. Параметры Поиска решения в модели со «снижателем кислотности»

Рис. 20. Поиск решения не справляется с задачей

Вам нужно загрузить и установить OpenSolver (как это сделать см. , глава 1). OpenSolver «подхватит» установки, введенные только что в окне Поиск решения . Поэтому просто нажмите кнопку Solver . Полученное решение – $1 235 927 более чем на $ 100 000 лучше предыдущего минимума – $1 338 913.

До сих пор мы считали, что поставляемая продукция имеет точно указанные параметры. Резонно предположить, что эти параметры подвержены вариации, характеризуемой среднеквадратичным отклонением (рис. 21; подробнее см. ). Самое известное и широко используемое распределение случайной величины - это нормальное распределение, иначе называемое «колоколообразной кривой». Скажем, в случае с соком из Египта среднее значение отношения Брикс/кислотность будет 13, а среднеквадратичное отклонение (также называемой стандартным отклонением) - 0,9 (рис. 21). В данном примере 13 - это центр распределения вероятности, 68% заказов будут в пределах ±0,9 от 13, а 95% будут в пределах ±1,8 от 13.

Ваша цель - предложить план смешивания стоимостью меньше $1,25 миллиона, который наилучшим образом соответствует ожиданиям по качеству в свете вариабельности поставок.

Мы используем среднее и среднеквадратичное отклонение характеристик, чтобы применить имитационное моделирование по методу Монте-Карло (если вы слышите это название впервые, рекомендую ). В этом методе вместо включения параметров распределения (среднего значения и среднеквадратичного отклонения) в модель напрямую, создается большое число сценариев, основанных на этих самых параметрах распределения.

Сценарий - это один из возможных ответов на вопрос: «Если это - распределения, основанные на статистике, на что же будет похож конкретный заказ?» Каждый сценарий включает сорок параметров десяти сортов сока (рис. 22). Чтобы получить один такой параметр, воспользуйтесь функцией НОРМ.ОБР (подробнее о функции см. ). Например, в ячейке В33 отношение Брикс/кислотность для сорта Hamlin определяется формулой =НОРМ.ОБР(СЛЧИС();H5;N5). Введите аналогичные формулы в область В33:СW76, сгенерировав 100 сценариев. Поиск решения не сможет работать с этими формулами, так как они нелинейны, поэтому скопируйте их в буфер и вставьте, но уже, как значения.

Цель минимизировать значение в ячейке D2. Т.е., найти решение, которое менее всего снижает границы качества для 100 сценариев. Как и в примерах на рис. 13–15, в ячейке D2 нет формулы. Оптимизация выполняется заданием параметров в окне Поиск решения. Все, что нужно - это поместить во все сценарии границы качества, а не просто ожидаемые значения характеристик. Таким образом, в отношение Брикс/кислотность вы добавляете условия B78:CW80 >= B26 и =< F26, затем проделываете то же самое с кислотностью, вяжущей составляющей вкуса и цветом (рис. 24). Нажмите Найти решение . Решение найдется довольно быстро. Если вы генерировали случайные значения сами, а не использовали те, что находятся в файле для загрузки, ваше решение может отличаться. Для моей сотни сценариев наилучшим показателем, который мне удалось получить, является изменение качества на 133%.

Рис. 24. Настройка Поиска решения для модели с вариабельностью характеристик

Если вы хотите расширить свои знания в области линейного программирования, рекомендую книгу The AIMMS optimization modeling book . Не пропустите две главы про трюки и подсказки – они поистине гениальны.

Написано по материалам книги Джона Формана . – М.: Альпина Паблишер, 2016. – С. 129–186. Насчет секретности разработки и Второй мировой – это, похоже, личное мнение автора книги. См. Википедию . – Прим. Багузина .