Решить интеграл методом линейной замены переменной. Вычисление интегралов

Тип занятия: изучение нового материала.

Учебно-воспитательные задачи:

научить учащихся применять метод интегрирования подстановкой;
продолжать формировать умения и навыки применения интегрирования функций;
продолжать формировать интерес к математике посредством решения задач;
воспитывать осознанное отношение к процессу обучения, прививать чувство ответственности за качество знаний, осуществлять самоконтроль за процессом решения и оформления упражнений;
напоминать, что только осознанное применение алгоритмов вычисления неопределенного интеграла позволит учащимся качественно усвоить изучаемую тему.

Обеспечение занятия:

таблица основных формул интегрирования;
карточки-задания для проверочной работы.

Студент должен знать: алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки.

Студент должен уметь: применять полученные знания к вычислению неопределенных интегралов.

Мотивация познавательной деятельности студентов.

Преподаватель сообщает, что кроме метода непосредственного интегрирования существуют и другие методы вычисления неопределенных интегралов, одним из которых является метод подстановки. Это наиболее распространенный метод интегрирования сложной функции, состоящий в преобразовании интеграла с помощью перехода к другой переменной интегрирования.

Ход занятия

I . Организационный момент.

II . Проверка домашнего задания.

Фронтальный опрос:

III . Повторение опорных знаний учащихся.

1) Повторить таблицу основных формул интегрирования.

2) Повторить в чем заключается метод непосредственного интегрирования.

Непосредственным интегрированием называется такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

IV . Изучение нового материала.

Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных приемов является метод подстановки или замены переменной интегрирования. Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно. Если после замены переменной интеграл стал проще, то цель подстановки достигнута. В основе интегрирования методом подстановки лежит формула

Рассмотрим этот метод.

Алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки:

Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
Производят замену под интегралом.
Находят полученный интеграл.
В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверять дифференцированием.

Рассмотрим примеры.

Примеры. Найти интегралы:

1) )4

Введем подстановку:

Дифференцируя это равенство, имеем:

V . Применение знаний при решении типовых примеров.

VI . Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.

Вариант 1

Найти интегралы:

Вариант 2

Найти интегралы:

VII . Подведение итогов занятия.

VIII . Домашнее задание:

Г.Н. Яковлев, часть 1, §13.2, п.2, №13.13 (1,4,5), 13.15 (1,2,3)

Замена многочлена или. Здесь - многочлена степени, например, выражение - многочлен степени.

Допустим, у нас есть пример:

Применим метод замены переменной. Как ты думаешь, что нужно принять за? Правильно, .

Уравнение приобретает вид:

Производим обратную замену переменных:

Решим первое уравнение:

Решим второе уравнение:

… Что это означает? Правильно! Что решений не существует.

Таким образом, мы получили два ответа - ; .

Понял как применять метод замены переменной при многочлене? Потренируйся сделать подобное самостоятельно:

Решил? Теперь проверим с тобой основные моменты.

За нужно взять.

Мы получаем выражение:

Решая квадратное уравнение, мы получаем, что имеет два корня: и.

Решением первого квадратного уравнения являются числа и

Решением второго квадратного уравнения - числа и.

Ответ : ; ; ;

Подведем итоги

Метод замены переменной имеет основных типа замен переменных в уравнениях и неравенствах:

1. Степенная замена, когда за мы принимаем какое-то неизвестное, возведенное в степень.

2. Замена многочлена, когда за мы принимаем целое выражение, содержащее неизвестное.

3. Дробно-рациональная замена, когда за мы принимаем какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную.

Важные советы при введении новой переменной:

1. Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.

2. Уравнение относительно новой переменно нужно решать до конца и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

3. При возврате к изначальному неизвестному (да и вообще на протяжении всего решения), не забывай проверять корни на ОДЗ.

Новая переменная вводится аналогичным образом, как в уравнениях, так и в неравенствах.

Разберем 3 задачи

Ответы на 3 задачи

1. Пусть, тогда выражение приобретает вид.

Так как, то может быть как положительным, так и отрицательным.

Ответ:

2. Пусть, тогда выражение приобретает вид.

решения нет, так как.

Ответ:

3. Группировкой получаем:

Пусть, тогда выражение приобретает вид
.

Ответ:

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ.

Замена переменных - это введение нового неизвестного, относительно которого уравнение или неравенство имеет более простой вид.

Перечислю основные типы замен.

Степенная замена

Степенная замена.

Например, с помощью замены биквадратное уравнение приводится к квадратному: .

В неравенствах все аналогично.

Например, в неравенстве сделаем замену, и получим квадратное неравенство: .

Пример (реши самостоятельно):

Решение:

Это дробно-рациональное уравнение (повтори ), но решать его обычным методом (приведение к общему знаменателю) неудобно, так как мы получим уравнение степени, поэтому применяется замена переменных.

Все станет намного проще после замены: . Тогда:

Теперь делаем обратную замену:

Ответ: ; .

Замена многочлена

Замена многочлена или.

Здесь − многочлен степени, т.е. выражение вида

(например, выражение - многочлен степени, то есть).

Чаще всего используется замена квадратного трехчлена: или.

Пример:

Решите уравнение.

Решение:

И опять используется замена переменных.

Тогда уравнение примет вид:

Корни этого квадратного уравнения: и.

Имеем два случая. Сделаем обратную замену для каждого из них:

Значит, это уравнение корней не имеет.

Корни этого уравнения: и.

Ответ. .

Дробно-рациональная замена

Дробно-рациональная замена.

и − многочлены степеней и соответственно.

Например, при решении возвратных уравнений, то есть уравнений вида

обычно используется замена.

Сейчас покажу, как это работает.

Легко проверить, что не является корнем этого уравнения: ведь если подставить в уравнение, получим, что противоречит условию.

Разделим уравнение на:

Перегруппируем:

Теперь делаем замену: .

Прелесть ее в том, что при возведении в квадрат в удвоенном произведении слагаемых сокращается x:

Отсюда следует, что.

Вернемся к нашему уравнению:

Теперь достаточно решить квадратное уравнение и сделать обратную замену.

Пример:

Решите уравнение: .

Решение:

При равенство не выполняется, поэтому. Разделим уравнение на:

Уравнение примет вид:

Его корни:

Произведем обратную замену:

Решим полученные уравнения:

Ответ: ; .

Еще пример:

Решите неравенство.

Решение:

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что не входит в решение этого неравенства. Разделим числитель и знаменатель каждой из дробей на:

Теперь очевидна замена переменной: .

Тогда неравенство примет вид:

Используем метод интервалов для нахождения y:

при всех, так как

Значит, неравенство равносильно следующему:

при всех, так как.

Значит, неравенство равносильно следующему: .

Итак, неравенство оказывается равносильно совокупности:

Ответ: .

Замена переменных - один из важнейших методов решения уравнений и неравенств.

Напоследок дам тебе пару важных советов :

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ.

Замена переменных - метод решения сложных уравнений и неравенств, который позволяет упростить исходное выражение и привести его к стандартному виду.

Виды замены переменной:

Степенная замена: за принимается какое-то неизвестное, возведенное в степень - .
Дробно-рациональная замена: за принимается какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную - , где и - многочлены степеней n и m, соответственно.
Замена многочлена: за принимается целое выражение, содержащее неизвестное - или, где - многочлен степени.

После решения упрощенного уравнения/неравенства, необходимо произвести обратную замену.

Замена переменной в неопределенном интеграле используется при нахождении интегралов, в которых одна из функций является производной другой функции. Пусть есть интеграл $ \int f(x) dx $, сделаем замену $ x=\phi(t) $. Отметим, что функция $ \phi(t) $ является дифференцируемой, поэтому можно найти $ dx = \phi"(t) dt $.

Теперь подставляем $ \begin{vmatrix} x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end{vmatrix} $ в интеграл и получаем, что:

$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$

Эта и есть формула замены переменной в неопределенном интеграле .

Алгоритм метода замены переменной

Таким образом, если в задаче задан интеграл вида: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ Целесообразно выполнить замену переменной на новую: $$ t = \phi(x) $$ $$ dt = \phi"(t) dt $$

После этого интеграл будет представлен в виде, который легко взять основными методами интегрирования: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t)dt $$

Не нужно забывать также вернуть замененную переменную назад к $ x $.

Примеры решений

Пример 1
Найти неопределенный интеграл методом замены переменной: $$ \int e^{3x} dx $$
Решение
Выполняем замену переменной в интеграле на $ t = 3x, dt = 3dx $: $$ \int e^{3x} dx = \int e^t \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int e^t dt = $$ Интеграл экспоненты всё такой же по таблице интегрирования, хоть вместо $ x $ написано $ t $: $$ = \frac{1}{3} e^t + C = \frac{1}{3} e^{3x} + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ \int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C $$

Интегрирование заменой переменной (метод подстановки) — один из самых часто встречающихся методов нахождения интегралов.

Цель введения новой переменной — упростить интегрирование. Лучший вариант — заменив переменную, получить относительно новой переменной табличный интеграл. Как определить, какую замену нужно сделать? Навыки приходят с опытом. Чем больше примеров решено, тем быстрее решаются следующие. На начальном этапе используем следующие рассуждения:

То есть. если под знаком интеграла мы видим произведение некоторой функции f(x) и ее производной f ‘(x), то то эту функцию f(x) нужно взять в качестве новой переменной t, поскольку дифференциал dt=f ‘(x)dx уже есть.

Рассмотрим, как работает метод замены переменной, на конкретных примерах.

Вычислить интегралы методом замены переменой:

Здесь 1/(1+x²) — производная от функции arctg x. Поэтому в качестве новой переменной t возьмем arctg x. Далее — воспользуемся :

После того, как нашли интеграл от t, выполняем обратную замену:

Если взять за t синус, то должна быть и его производная, косинус (с точностью до знака). Но косинуса в подынтегральном выражении нет. А вот если в качестве t взять экспоненту, все получается:

Чтобы получить нужный дифференциал dt, изменим знак в числителе и перед интегралом:

(Здесь (ln(cosx))’ — .)

А способы приведения интегралов к табличным мы Вам перечислили:

метод замены переменной;

метод интегирования по частям;

Метод непосредственного интегрирования

способы представления неопределенных интегралов через табличные для интегралов от рациональных дробей;

методы представления неопределенных интегралов через табличные интегралы для интегралов от иррациональных выражений;

способы выражения неопределенных интегралов через табличные для интегралов от тригонометрических функций.

Неопределенный интеграл степенной функции

Неопределенный интеграл експоненты показательной функции

А вот неопределенный интеграл логарифма не является табличным интегралом, вместо него табличной является формула:

Неопределенные интегралы тригонометрических функций: Интегралы синуса косинуса и тангенса

Неопределенные интегралы с обратными тригонометрическими функциями

Приведение к табличному виду или метод непосредственного интегрирования . С помощью тождественных преобразований подынтегральной функции интеграл сводится к интегралу, к которому применимы основные правила интегрирования и возможно использование таблицы основных интегралов.

Пример

Задание. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся свойствами интеграла и приведем данный интеграл к табличному виду.

Ответ.

Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:

– Подведение функции под знак дифференциала. – Собственно замена переменной.

Подведение функции под знак дифференциала

Пример 2

Выполнить проверку.

Анализируем подынтегральную функцию. Здесь у нас дробь, причем в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь: .

Подводим функцию под знак дифференциала:

Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: . Ага, получается , значит, чтобы ничего не изменилось, мне надо домножить интеграл на . Далее используем табличную формулу :

Проверка: Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Пример 5

Найти неопределенный интеграл.

В качестве примера я взял интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Как мы уже говорили, для решения интеграла нам приглянулась табличная формула , и всё дело хотелось бы свести к ней.

Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой. В данном случае напрашивается: Вторая по популярности буква для замены – это буква . В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.

Итак: Но при замене у нас остаётся ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу там совсем не место. Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от .

Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал . С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена.

Так как , то

После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко: Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :

В итоге: Таким образом: А это уже самый что ни на есть табличный интеграл (таблица, интегралов, естественно, справедлива и для переменной ).

В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .

Готово.

Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:

“

Проведем замену:

“

Значок не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.

При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.

Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала расписываться подробно не будет.

А теперь самое время вспомнить первый способ решения:

В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же. Но с точки зрения оформления задания метод подведения функции под знак дифференциала – гораздо короче. Возникает вопрос. Если первый способ короче, то зачем тогда использовать метод замены? Дело в том, что для ряда интегралов не так-то просто «подогнать» функцию под знак дифференциала.

Интегрирование по частям. Примеры решений

Интегралы от логарифмов

Пример 1

Найти неопределенный интеграл.

Классика. Время от времени данный интеграл можно встретить в таблицах, но пользоваться готовым ответом нежелательно, так как у преподавателя весенний авитаминоз и он сильно заругается. Потому что рассматриваемый интеграл отнюдь не табличный – он берётся по частям. Решаем:

Прерываем решение на промежуточные объяснения.

Используем формулу интегрирования по частям:

Формула применяется слева направо

Смотрим на левую часть: . Очевидно, что в нашем примере (и во всех остальных, которые мы рассмотрим) что-то нужно обозначить за , а что-то за .

В интегралах рассматриваемого типа за всегда обозначается логарифм.

Технически оформление решения реализуется следующим образом, в столбик записываем:

То есть, за мы обозначили логарифм, а за – оставшуюся часть подынтегрального выражения.

Следующий этап: находим дифференциал :

Дифференциал – это почти то же самое, что и производная, как его находить, мы уже разбирали на предыдущих уроках.

Теперь находим функцию . Для того чтобы найти функцию необходимо проинтегрироватьправую часть нижнего равенства :

Теперь открываем наше решение и конструируем правую часть формулы: . Вот кстати, и образец чистового решения с небольшими пометками:

Единственный момент, в произведении я сразу переставил местами и , так как множитель принято записывать перед логарифмом.

Как видите, применение формулы интегрирования по частям, по сути дела, свело наше решение к двум простым интегралам.

Обратите внимание, что в ряде случаев сразу после применения формулы, под оставшимся интегралом обязательно проводится упрощение – в рассматриваемом примере мы сократили подынтегральное выражение на «икс».

Выполним проверку. Для этого нужно взять производную от ответа:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл решён правильно.

В ходе проверки мы использовали правило дифференцирования произведения: . И это не случайно.

Формула интегрирования по частям и формула – это два взаимно обратных правила.