Тема: «Функция: понятие, способы задания, основные характеристики. Обратная функция. Суперпозиция функций.»

Эпиграф урока:

«Изучать что-либо и не задумываться над

выученным - абсолютно бесполезно.

Задумываться над чем-либо, не изучив

предварительно предмет раздумий-

Конфуций.

Цель и психолого-педагогические задачи урока :

1) Общеобразовательная (нормативная) цель : повторить со студентами определение и свойства функции. Ввести понятие суперпозиции функций.

2) Задачи математического развития студентов : на нестандартном учебно-математическом материале продолжить развитие ментального опыта учащихся, содержательной когнитивной структуры их математического интеллекта, в том числе, способностей к логико-дедуктивному и индуктивному, аналитическому и синтетическому обратимому мышлению, к алгебраическому и образно-графическому мышлению, к содержательному обобщению и конкретизации, к рефлексии и самостоятельности как метакогнитивной способности студентов; продолжить развитие культуры письменной и устной речи как психологических механизмов учебно-математического интеллекта.

3) Воспитательные задачи : продолжить личностное воспитание у студентов познавательного интереса к математике, ответственности, чувства долга, академической самостоятельности, коммуникативного умения сотрудничать с группой, преподавателем, согруппниками; аутогогической способности к соревновательной учебно-математической деятельности , стремления к высоким и высшим ее результатам (акмеический мотив).

Тип урока : изучение нового материала; по критерию ведущего математического содержания - урок-практикум; по критерию типа информационного взаимодействия учащихся и преподавателя – урок сотрудничества.

Оборудование урока:

1. Учебная литература:

1) Кудрявцев математического анализа: Учеб. для студентов университетов и вузов. В 3 т. Т. 3. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1989. – 352 с. : ил.

2) Демидович задач и упражнений по математическому анализу. – 9-е изд. – М.: Издательство «Наука», 1977.

2. Иллюстрации.

Ход урока .

1.Объявление темы и главной образовательной цели урока; стимулирование чувства долга, ответственности, познавательного интереса студентов при подготовке к сессии .

2.Повторение материала по вопросам.

a) Дать определение функции.

Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств.

Пусть даны два непустых множества и . Соответствие f, которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент , называется функцией и записывается y = f(x). Говорят еще, что функция f отображает множество на множество .

https://pandia.ru/text/79/018/images/image003_18.gif" width="63" height="27">.gif" width="59" height="26"> называется множеством значений функции f и обозначается E(f).

б) Числовые функции. График функции. Способы задания функций.

Пусть задана функция .

Если элементами множеств и являются действительные числа, то функцию f называют числовой функцией . Переменная x при этом называется аргументом или независимой переменной, а y – функцией или зависимой переменной (от x). Относительно самих величин x и y говорят, что они находятся в функциональной зависимости .

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости Oxy, для каждой из которых x является значением аргумента, а y – соответствующим значением функции.

Чтобы задать функцию y = f(x), необходимо указать правило, позволяющее, зная x, находить соответствующее значение y.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ : функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Например:

Если область определения функции y = f(x) не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл.

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию y = f(x).

Графический способ : задается график функции.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность.

Табличный способ : функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

в) Основные характеристики функции.

1. Функция y = f(x),определенная на множестве D, называется четной , если выполняются условия и f(-x) = f(x); нечетной , если выполняются условия и f(-x) = -f(x).

График четной функции симметричен относительно оси Oy, а нечетной – относительно начала координат. Например, – четные функции; а y = sinx, https://pandia.ru/text/79/018/images/image014_3.gif" width="73" height="29"> – функции общего вида, т. е. не четные и не нечетные.

2.Пусть функция y = f(x) определена на множестве D и пусть . Если для любых значений аргументов из неравенства вытекает неравенство: , то функция называется возрастающей на множестве ; если , то функция называется неубывающей на https://pandia.ru/text/79/018/images/image021_1.gif" width="117" height="28 src=">то функция наз. убывающей на ; - невозрастающей .

Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве https://pandia.ru/text/79/018/images/image023_0.gif" width="13" height="13">D значение (x+T)D и выполняется равенство f(x+T) = f(x).

Для построения графика периодической функции периода T достаточно построить его на любом отрезке длины T и периодически продолжить его во всю область определения.

Отметим основные свойства периодической функции.

1) Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и тот же период T, есть периодическая функция с периодом T.

2) Если функция f(x) имеет период T, то функция f(ax) имеет период T/a.

г) Обратная функция.

Пусть задана функция y = f(x) с областью определения D и множеством значений E..gif" width="48" height="22">, то определена функция x = z(y) с областью определения E и множеством значений D. Такая функция z(y) называется обратной к функции f(x) и записывается в следующем виде: . Про функции y = f(x) и x = z(y) говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию x = z(y), обратную к функции y = f(x), достаточно решить уравнение f(x) = y относительно x.

Примеры :

1. Для функции y = 2x обратной функцией является функция x = ½ y;

2. Для функции обратной функцией является функция .

Из определения обратной функции вытекает, что функция y = f(x) имеет обратную тогда и только тогда, когда f(x) задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и E. Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную . При этом, если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

3. Изучение нового материала.

Сложная функция.

Пусть функция y = f(u) определена на множестве D, а функция u = z(x) на множестве , причем для соответствующее значение . Тогда на множестве определена функция u = f(z(x)), которая называется сложной функцией от x (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции ).

Переменную u = z(x) называют промежуточным аргументом сложной функции.

Например, функция y = sin2x есть суперпозиция двух функций y = sinu и u = 2x. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

4. Решение нескольких примеров у доски.

5. Заключение урока.

1) теоретико-прикладные итоги практического занятия; дифференцированная оценка уровня ментального опыта учащихся; уровня усвоения ими темы, компетентности, качества устной и письменной математической речи; уровня проявленного творчества; уровня самостоятельности и рефлексии; уровня инициативы, познавательного интереса к отдельным методам математического мышления; уровней сотрудничества, интеллектуальной состязательности, стремления к высоким показателям учебно-математической деятельности и др.;

2) объявление аргументированных отметок, поурочного балла.

Суперпозиция функций

Суперпозицией функций f1, …, fm называется функция f, полученная с помощью подстановок этих функций друг в друга и переименования переменных.

Пусть имеются два отображения и, причем непустое множество. Тогда супер позицией или композицией функций и называется функция, определенная равенством для всякого.

Областью определения суперпозиции является множество.

Функция называется внешней, а -внутренней функцией для суперпозиции.

Функции, представленные в виде композиции "более простых", называются сложными функциями.

Примерами использования суперпозиции являются: решение системы уравнений методом подстановки; нахождение производной от функции; нахождение значения алгебраического выражения с помощью подстановки в него значения заданных переменных.

Рекурсивные функции

Рекурсией называется такой способ задания функции, при котором значения определяемой функции для произвольных значений аргументов выражаются известным образом через значения определяемой функции для меньших значений аргументов.

Примитивно рекурсивная функция

Определение понятия примитивно рекурсивной функции является индуктивным. Оно состоит из указания класса базовых примитивно рекурсивных функций и двух операторов (суперпозиции и примитивной рекурсии), позволяющих строить новые примитивно рекурсивные функции на основе уже имеющихся.

К числу базовых примитивно рекурсивных функций относятся функции следующих трёх видов:

Нулевая функция-- функция без аргументов, всегда возвращающая0 .

Функция следованияодного переменного, сопоставляющая любому натуральному числунепосредственно следующее за ним натуральное число.

Функции, где, от n переменных, сопоставляющие любому упорядоченному набору натуральных чисел число из этого набора.

Операторы подстановки и примитивной рекурсии определяются следующим образом:

Оператор суперпозиции (иногда--оператор подстановки). Пусть -- функция от m переменных, а -- упорядоченный набор функций отпеременных каждая. Тогда результатом суперпозиции функцийв функцию называется функцияотпеременных, сопоставляющая любому упорядоченному набору натуральных чисел число.

Оператор примитивной рекурсии. Пусть -- функция от n переменных, а -- функция от переменных. Тогда результатом применения оператора примитивной рекурсии к паре функций и называется функция от переменной вида;

В данном определении переменнуюможно понимать как счётчик итераций, -- как исходную функцию в начале итерационного процесса, выдающего некую последовательность функцийпеременных, начинающуюся с, и -- как оператор, принимающий на входпеременных, номер шага итерации, функцию на данном шаге итерации, и возвращающий функцию на следующем шаге итерации.

Множество примитивно рекурсивных функций -- это минимальное множество, содержащее все базовые функции и замкнутое относительно указанных операторов подстановки и примитивной рекурсии.

В терминах императивного программирования -- примитивно рекурсивные функции соответствуют программным блокам, в которых используется только арифметические операции, а также условный оператор и оператор арифметического цикла (оператор цикла, в котором число итераций известно на момент начала цикла). Если же программист начинает использовать оператор цикла while, в котором число итераций заранее неизвестно и, в принципе, может быть бесконечным, то он переходит в класс частично рекурсивных функций.

Укажем на ряд широко известных арифметических функций, являющихся примитивно рекурсивными.

Функция сложения двух натуральных чисел () может быть рассмотрена в качестве примитивно рекурсивной функции двух переменных, получаемой в результате применения оператора примитивной рекурсии к функциям и, вторая из которых получается подстановкой основной функции в основную функцию:

Умножение двух натуральных чисел может быть рассмотрено в качестве примитивно рекурсивной функции двух переменных, получаемой в результате применения оператора примитивной рекурсии к функциям и, вторая из которых получается подстановкой основных функций и в функцию сложения:

Симметрическая разность(абсолютная величина разности) двух натуральных чисел () может быть рассмотрена в качестве примитивно рекурсивной функции двух переменных, получаемой в результате применения следующих подстановок и примитивных рекурсий:

Однотактные (не содержащие элементов памяти) дискретные логические устройства реализуют на выходе некоторый набор функций алгебры логики `F m = (F 1 ,F 2 ,…,F m ), которые в каждый момент времени зависят только от состояния входов устройства `х n = (x 1 ,x 2 ,…,x n ): `F m = `F m (`х n ). Практически такие устройства проектируют и изготавливают из отдельных неделимых элементов, реализующих некоторый набор (систему) {f } элементарных функций алгебры путем присоединения выходов одних элементов ко входам других.

При проектировании логических устройств актуальными являются следующие вопросы.

1. Задана система элементарных функций {f }. Какие выходные функции F i можно получить, используя функции из {f }?

2. Задано множество выходных булевых функций {F } (в частности, равное всему множеству функций алгебры логики Р 2). Какой должна быть исходная система элементарных функций {f }, обеспечивающая возможность получения на выходе любой из функций множества {F }?

Для обоснованного ответа на данные вопросы используют понятия суперпозиции, замкнутости и полноты систем функций.

Определение. Рассмотрим множество логических связок {F }, соответствующее некоторой системе функций {f }. Суперпозицией над {f } называется любая функция j, которую можно реализовать формулой над {F }.

Практически суперпозицию можно представить как результат подстановки функций из {f } в качестве аргументов в функции из этого же множества.

Пример 1 . Рассмотрим систему функций {f }= {f 1 (х ) =`х, f 2 (х,у )= х &у, f 3 (х,у )= х Úу } . Подставляя в функцию f 3 (х,у ) вместо первого аргумента х функцию f 1 (х ), вместо второго - f 2 (х,у ), получим суперпозицию h (х,у )= f 3 (f 1 (х ), f 2 (х,у ))=`х Ú х & у . Физическая реализация подстановки дана на рис.1.18.

Определение. Пусть М -некоторое множество функций алгебры логики(P 2). Множество всех суперпозиций над М называется замыканием множества М и обозначается [М ]. Получение [М ]по исходному множеству М называется операцией замыкания . Множество М называется функционально замкнутым классом , если [М ] = М . Подмножество m Í M называется функционально полной системой в М , если [m ] = М .

Замыкание [М ]представляет собой все множество функций, которое можно получить из М путем применения операции суперпозиции, т.е. всех возможных подстановок.

Замечания. 1. Очевидно, любая система функций {f } является функционально полной в себе самой.

2 . Без ограничения общности можно считать, что тождественная функция f (х )=х , не изменяющая значений истинности переменных, изначально входит в состав любой системы функций.

Пример 2 . Для рассмотренных ниже систем функций {f } выполнить следующие действия:

1) найти замыкание [f ],

2) выяснить, будет ли система {f } замкнутым классом,

3) найти функционально полные системы в {f }.

Решение .

I. {f }={0}. При подстановке функции {fº 0} в саму себя получаем ее же, т.е. никаких новых функций не образуется. Отсюда следует: [f ] = {f }. Рассмотренная система является функционально замкнутым классом. Функционально полная система в ней одна и равна всей {f }.

II. {f }= {0,Ø }. Подстановка Ø (Ø х )дает тождественную функцию, которая формально не расширяет исходную систему. Однако при подстановке Ø (0) получим тождественную единицу - новую функцию, которой не было в исходной системе: Ø (0)=1. Применение всех других подстановок не приводит к появлению новых функций, например: ØØ 0= 0, 0(Ø х )=0.

Таким образом, применение операции суперпозиции позволило получить более широкое по сравнению с исходным множество функций [f ]={0,Ø ,1}. Отсюда следует строгое вхождение: {f } Ì [f ]. Исходная система {f }не является функционально замкнутым классом. Кроме самой системы {f }других функционально полных систем в ней нет, поскольку в случае её сужения из одной функции f= 0 нельзя путем подстановки получить отрицание, а из одной функции отрицания нельзя получить тождественный нуль.

III. {f } = {& ,Ú ,Ø }.Замыканием данной системы является все множество функций алгебры логики P 2 , так как формулу любой из них можно представить в виде ДНФ либо КНФ, в которых используются элементарные функции {f } = {& ,Ú ,Ø}. Данный факт является конструктивным доказательством полноты рассмотренной системы функций в P 2: [f ] =P 2 .

Поскольку в P 2 содержится бесконечное множество других функций, отличных от {f } = {& ,Ú ,Ø }, то отсюда следует строгое вхождение: {f }Ì[f ]. Рассмотренная система не является функционально замкнутым классом.

Помимо самой системы функционально полными в ней будут подсистемы {f } 1 = {& ,Ø } и {f } 2 = {Ú ,Ø }. Это следует из того, что при помощи правил де Моргана функцию логического сложения Úможно выразить через {& ,Ø},а функцию логического умножения & - через {Ú, Ø}:

(х & у ) = Ø (`х Ú`у ), (х Ú у ) = Ø (х &`у ).

Других функционально полных подсистем в {f } нет.

Проверку полноты подсистемы функций {f } 1 Ì {f }во всей системе {f }можно производить путем сведения {f } 1 к другой, заведомо полной в {f }системе.

Неполноту подсистемы {f } 1 в {f }можно проверить, доказав строгое вхождение [f 1 ] Ì [f ].

Определение. Подмножество m Í M называют функциональным базисом (базисом ) системы М , если [m ] = М , а после исключения из нее любой функции множество оставшихся не полно в М .

Замечание . Базисами системы функций {f} являются все ее функционально полные подсистемы {f} 1 , которые невозможно уменьшить без потери полноты в {f} .

Пример 3 . Для всех систем, рассмотренных в Примере 2, найти базисы.

Решение .В случаях 1 и 2 функционально полными являются только сами системы и сузить их невозможно. Следовательно, они же являются и базисами.

В случае 3 есть две функционально полные в {f }подсистемы {f } 1 = {&,Ø } и {f } 2 ={Ú,Ø }, которые невозможно сократить без потери полноты. Они будут базисами системы {f } = {&,Ú,Ø}.

Определение. Пусть система {f }является замкнутым классом. Ее подмножество {f } 1 Ì {f }называют предполным классом в {f }, если {f } 1 не полно в {f } ([f 1 ] Ì [f ]), а для любой функции jиз системы{f }, не входящей в {f } 1 (jÎ{f } \ {f } 1) справедливо: [j È {f } 1 ] = [f ], т.е. прибавление jк {f } 1 делает ее полной в {f }.

Задачи

1. Проверить замкнутость множеств функций:

а) {Ø }; б) {1, Ø }; в) {(0111); (10)};г) {(11101110); (0110)};д) {(0001); (00000001); (0000000000000001); … }.

2. Проверить полноту систем функций в P 2:

а) {0,Ø }; б) {(0101) , (1010) }; в) {¯ }; г) {(0001) , (1010) }.

3. Найти замыкание системы функций и ее базис:

а) {0 , 1 , Ø }; б) {(1000) , (1010), (0101) }; в) {(0001) , (1110), (10) }; г) {(1010) , (0001), (0111) }.

1.10.2 Функции, сохраняющие константы. Классы Т 0 и Т 1

Определение. Функция f (`х n ) сохраняет 0, если f (0,..., 0) = 0. Функция f (`х n ) сохраняет 1, если f (1, ... , 1) = 1.

Множества функций n переменных, сохраняющих 0 и 1, обозначают, соответственно, Т 0 n и Т 1 n . Все множества функций алгебры логики, сохраняющих 0 и 1, обозначают Т 0 и Т 1 . Каждое из множеств Т 0 и Т 1 является замкнутым предполным классом в Р 2 .

Из элементарных функций в Т 0 и Т 1 одновременно входят, например, &и Ú. Принадлежность любой функции к классам Т 0 , Т 1 можно проверить по первому и последнему значению ее вектора значений в таблице истинности либо непосредственной подстановкой нулей и единиц в формулу при аналитическом задании функции.

Определение. Дублирующей называют такую подстановку, при которой вместо нескольких независимых переменных в функцию подставляют одну и ту же переменную. При этом величины переменных в наборах, которые раньше принимали значения независимо друг от друга, всегда будут одинаковыми.

ЗАДАЧИ

1.Проверить принадлежность к классам Т 0 и Т 1 функций:

а) обощенного сложения, б) обощенного умножения, в) констант, г) ху Ú yz , д) х ® у ® ху , е) х Å у , ж)( х 1 Å… Å х n) ® ( y 1 Å… Å y m) при n,m Î N.

2. Доказать замкнутость каждого из классов Т 0 и Т 1 .

3. Доказать, что если f (`х n ) ÏТ 0 , то из нее путем дублирующей подстановки можно получить константу 1 либо отрицание.

4. Доказать, что если f (`х n ) ÏТ 1 , то из нее путем дублирующей подстановки можно получить константу 0 либо отрицание.

5. Доказать предполноту каждого из классов Т 0 и Т 1 (например, сведением дополненной системы к {f } = {& ,Ú ,Ø }).

6. Найти мощность классов Т 0 n и Т 1 n .

Определение функции, области задания и множества значений. Определения, связанные с обозначением функции. Определения сложной, числовой, действительной, монотонной и многозначной функции. Определения максимума, минимума, верхней и нижней граней для ограниченных функций.

Функцией y = f(x) называется закон (правило, отображение), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .

Множество X называется областью определения функции .
Множество элементов y ∈ Y , которые имеют прообразы во множестве X , называется множеством значений функции (или областью значений ).

Область определения функции иногда называют множеством определения или множеством задания функции.

Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной .
Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной .

Само отображение f называется характеристикой функции .

Характеристика f обладает тем свойством, что если два элемента и из множества определения имеют равные значения: , то .

Символ, обозначающий характеристику, может совпадать с символом элемента значения функции. То есть можно записать так: . При этом стоит помнить, что y - это элемент из множества значений функции, а - это правило, по которому для элемента x ставится в соответствие элемент y .

Сам процесс вычисления функции состоит из трех шагов. На первом шаге мы выбираем элемент x из множества X . Далее, с помощью правила , элементу x ставится в соответствие элемент множества Y . На третьем шаге этот элемент присваивается переменной y .

Частным значением функции называют значение функции при выбранном (частном) значении ее аргумента.

Графиком функции f называется множество пар .

Сложные функции

Определение
Пусть заданы функции и . Причем область определения функции f содержит множество значений функции g . Тогда каждому элементу t из области определения функции g соответствует элемент x , а этому x соответствует y . Такое соответствие называют сложной функцией : .

Сложную функцию также называют композицией или суперпозицией функций и иногда обозначают так: .

В математическом анализе принято считать, что если характеристика функции обозначена одной буквой или символом, то она задает одно и то же соответствие. Однако, в других дисциплинах, встречается и другой способ обозначений, согласно которому отображения с одной характеристикой, но разными аргументами, считаются различными. То есть отображения и считаются различными. Приведем пример из физики. Допустим мы рассматриваем зависимость импульса от координаты . И пусть мы имеем зависимость координаты от времени . Тогда зависимость импульса от времени является сложной функцией . Но ее, для краткости, обозначают так: . При таком подходе и - это различные функции. При одинаковых значениях аргументов они могут давать различные значения. В математике такое обозначение не принято. Если требуется сокращение, то следует ввести новую характеристику. Например . Тогда явно видно, что и - это разные функции.

Действительные функции

Область определения функции и множество ее значений могут быть любыми множествами.
Например, числовые последовательности - это функции, областью определения которых является множество натуральных чисел, а множеством значений - вещественные или комплексные числа.
Векторное произведение тоже функция, поскольку для двух векторов и имеется только одно значение вектора . Здесь областью определения является множество всех возможных пар векторов . Множеством значений является множество всех векторов.
Логическое выражение является функцией. Ее область определения - это множество действительных чисел (или любое множество, в котором определена операция сравнения с элементом “0”). Множество значений состоит из двух элементов - “истина” и “ложь”.

В математическом анализе большую роль играют числовые функции.

Числовая функция - это функция, значениями которой являются действительные или комплексные числа.

Действительная или вещественная функция - это функция, значениями которой являются действительные числа.

Максимум и минимум

Действительные числа имеют операцию сравнения. Поэтому множество значений действительной функции может быть ограниченным и иметь наибольшее и наименьшее значения.

Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу) , если существует такое число M , что для всех выполняется неравенство:
.

Числовая функция называется ограниченной , если существует такое число M , что для всех :
.

Максимумом M (минимумом m ) функции f , на некотором множестве X называют значение функции при некотором значении ее аргумента , при котором для всех ,
.

Верхней гранью или точной верхней границей действительной, ограниченной сверху функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′ : .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.

Верхней гранью неограниченной сверху функции

Нижней гранью или точной нижней границей действительной, ограниченной снизу функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′ : .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.

Нижней гранью неограниченной снизу функции является бесконечно удаленная точка .

Таким образом, любая действительная функция, на не пустом множестве X , имеет верхнюю и нижнюю грани. Но не всякая функция имеет максимум и минимум.

В качестве примера рассмотрим функцию , заданную на открытом интервале .
Она ограничена, на этом интервале, сверху значением 1 и снизу - значением 0 :
для всех .
Эта функция имеет верхнюю и нижнюю грани:
.
Но она не имеет максимума и минимума.

Если мы рассмотрим туже функцию на отрезке , то она на этом множестве ограничена сверху и снизу, имеет верхнюю и нижнюю грани и имеет максимум и минимум:
для всех ;
;
.

Монотонные функции

Определения возрастающей и убывающей функций
Пусть функция определена на некотором множестве действительных чисел X . Функция называется строго возрастающей (строго убывающей)
.
Функция называется неубывающей (невозрастающей) , если для всех таких что выполняется неравенство:
.

Определение монотонной функции
Функция называется монотонной , если она неубывающая или невозрастающая.

Многозначные функции

Пример многозначной функции. Различными цветами обозначены ее ветви. Каждая ветвь является функцией.

Как следует из определения функции, каждому элементу x из области определения, ставится в соответствие только один элемент из множества значений. Но существуют такие отображения, в которых элемент x имеет несколько или бесконечное число образов.

В качестве примера рассмотрим функцию арксинус : . Она является обратной к функции синус и определяется из уравнения:
(1) .
При заданном значении независимой переменной x , принадлежащему интервалу , этому уравнению удовлетворяет бесконечно много значений y (см. рисунок).

Наложим на решения уравнения (1) ограничение. Пусть
(2) .
При таком условии, заданному значению , соответствует только одно решение уравнения (1). То есть соответствие, определяемое уравнением (1) при условии (2) является функцией.

Вместо условия (2) можно наложить любое другое условие вида:
(2.n) ,
где n - целое. В результате, для каждого значения n , мы получим свою функцию, отличную от других. Множество подобных функций является многозначной функцией . А функция, определяемая из (1) при условии (2.n) является ветвью многозначной функции .

Это совокупность функций, определенных на некотором множестве.

Ветвь многозначной функции - это одна из функций, входящих в многозначную функцию.

Однозначная функция - это функция.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Пусть имеется некоторый набор K , состоящий из конечного числа булевых функций. Суперпозицией функций из этого набора называются новые функции, полученные с помощью конечного числа применения двух операций;

можно переименовать любую переменную, входящую в функцию из K ;

вместо любой переменной можно поставить функцию из набора K или уже образованную ранее суперпозицию.

Суперпозицию еще иначе называют сложной функцией.

Пример 7. 1. Если дана одна функция х |y (штрих Шеффера), то ее суперпозициями, в частности, будут следующие функции x|x , x| (x|y ), x| (y|z ) и т. д.

Замыканием набора функций из K называется множество всех суперпозиций. Класс функций K называется замкнутым , если его замыкание совпадает с ним самим.

Набор функций называется полным , если его замыкание совпадает со всеми логическими функциями. Иначе говоря, полный набор - это множество таких функций, через которые можно выразить все остальные булевы функции.

Неизбыточный полный набор функций называется базисом (“неизбыточный” означает, что если какую-то функцию удалить из набора, то этот набор перестанет быть полным).

Пример 7.2. Конъюнкция, дизъюнкция и отрицание являются полным набором (в этом убедились в разд. 5), но не являются базисом, так как это набор избыточен, поскольку с помощью правил де Моргана можно удалить конъюнкцию или дизъюнкцию. Любую функцию можно представить в виде полинома Жегалкина (разд. 6). Ясно, что функции конъюнкция, сложение по модулю 2 и константы 0 и 1 являются полным набором, но эти четыре функции также не являются базисом, поскольку 1+1=0, и поэтому константу 0 можно исключить из полного набора (для построения полиномов Жегалкина константа 0 необходима, поскольку выражение “1+1” не является полиномом Жегалкина).

Легко видеть, что одним из способов проверки полноты какого-то набора К является проверка того, что через функции из этого набора выражаются функции другого полного набора (можно проверить, что через функции из К можно выразить конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и отрицание.

Существуют такие функции, что одна такая функция сама является базисом (здесь достаточно проверить только полноту, неизбыточность очевидна). Такие функции называются шефферовскими функциями. Это название связано с тем, что штрих Шеффера является базисом. Напомним, что штрих Шеффера определяется следующей таблицей истинности:

Так как очевидно , т. е. отрицание является суперпозицией штриха Шеффера, а дизъюнкция тогда , штрих Шеффера сам является базисом. Аналогично, стрелка Пирса является шефферовской функцией (студенты могут проверить это сами). Для функций 3-х или более переменных шефферовских функций очень много (конечно, выражение других булевых функций через шефферовскую функцию большого числа переменных сложно, поэтому в технике они редко используются).

Заметим, что вычислительное устройство чаще всего базируется на полном наборе функций (часто на базисах). Если в основе устройства лежат конъюнкция, дизъюнкция и отрицание, то для этих устройств важна проблема минимизации ДНФ; если в основе устройства лежат другие функции, то полезно уметь алгоритмически минимизировать выражения через эти функции.

Перейдем теперь к выяснению полноты конкретных наборов функций. Для этого перечислим 5 важнейших классов функций:

• Т 0 - это набор всех тех логических функций, которые на нулевом наборе принимают значение 0 (Т 0 - это класс функций, сохраняющих 0);
• Т 1 - это набор всех логических функций, которые на единичном наборе принимают значение 1 (Т 1 - это класс функций, сохраняющих единицу ) (заметим, что число функций от п переменных принадлежащих классам Т 0 и Т 1 равно 2 2n-1);
• L - класс линейных функций т. е. функций, для которых полином Жегалкина содержит только первые степени переменных;
• М - класс монотонных функций. Опишем класс этих функций более подробно. Пусть имеются 2 набора из п переменных: s1 = (x 1 , x 2 ,..., x n)

s 1 = (х 1 , х 2 , … , х п ) и s 2 = (y 1 , y 2, … , y п) . Будем говорить, что набор s 1 меньше набора s 2 (s 1 £ s 2 ), если все х i £ y i . Очевидно, что не все наборы из п переменных сравнимы между собой (например, при п = 2 наборы (0,1) и (1,0) не сравнимы между собой). Функция от п переменных называется монотонной , если на меньшем наборе она принимает меньшее или равное значение. Разумеется, эти неравенства должны проверяться только на сравнимых наборах. Понятно, что несравнимые наборы - это те, в которых есть некоторые координаты типа (0,1) в одном наборе и (1,0) в другом на соответствующих местах (в дискретной математике монотонные функции это только как бы “монотонно возрастающие функции”, “монотонно убывающие” функции здесь не рассматриваются).

Пример. В нижеследующей таблице функции f 1 , f 2 являются монотонными функциями, а функции f 3 , f 4 - нет.

Естественный порядок переменных обеспечивает тот факт, что если какой-то набор меньше другого набора, то он обязательно расположен в таблице истинности выше “большего” набора. Поэтому если в таблице истинности () вверху стоят нули , а затем единицы , то эта функция точно является монотонной . Однако возможны инверсии, т. е. единица стоит до каких-то нулей , но функция является все равно монотонной (в этом случае наборы, соответствующие “верхней” единице и “нижнему” нулю должны быть несравнимы ; можно проверить, что функция, задаваемая таблицей истинности при естественном порядке набора переменных (00010101), является монотонной);

Теорема . Классы функций Т 0 , Т 1 , L , M , S замкнуты .

Это утверждение следует непосредственно из определения самих этих классов, а также из определения замкнутости.

В теории булевых функций очень большое значение имеет следующая теорема Поста.

Теорема Поста . Для того чтобы некоторый набор функций K был полным, необходимо и достаточно, чтобы в него входили функции, не принадлежащие каждому из классов T 0 , T 1 , L , M , S .

Заметим, что необходимость этого утверждения очевидна, так как если бы все функции из набора К входили в один из перечисленных классов, то и все суперпозиции, а значит, и замыкание набора входило бы в этот класс и класс К не мог быть полным.

Достаточность этого утверждения доказывается довольно сложно, поэтому здесь не приводится.

Из этой теоремы следует довольно простой способ выяснения полноты некоторого набора функций. Для каждой из этих функций выясняется принадлежность к перечисленным выше классам. Результаты заносятся в так называемую таблицу Поста (в нашем примере эта таблица составлена для 4-х функций, причем знаком “+” отмечается принадлежность функции соответствующему классу, знак “-” означает, что функция в него не входит).

В соответствии с теоремой Поста набор функций будет полным тогда и только тогда, когда в каждом столбце таблицы Поста имеется хотя бы один минус. Таким образом, из приведенной таблицы следует, что данные 4 функции образуют полный набор, но эти функции не являются базисом. Из этих функций можно образовать 2 базиса: f 3 , f 1 и f 3 , f 2 . Полными наборами будут любые наборы содержащие, какой-либо базис.

Непосредственно из таблицы Поста следует, что число базисных функций не может быть больше 5. Нетрудно доказать, что на самом деле это число меньше или равно 4.