Задача о назначениях

Алгоритм решения задачи о назначении на узкие места

Задача о назначении на узкие места

ЛЕКЦИЯ 13. Задачи о назначении. Венгерский алгоритм

Эта задача решается описанным выше алгоритмом. Вот ее постановка.

Имеется n рабочих мест на некотором конвейере и n рабочих, которых нужно на эти рабочие места расставить; известна производительность c ij рабочего i на рабочем месте j . Тот факт, что при некотором распределении на рабочие места рабочий i k попадает на рабочее место j k можно описать следующей таблицей:

Имея способ s назначения на рабочие места, можно найти конкретную для этого способа минимальную производительность и заметить, что именно эта минимальная производительность и определяет скорость и производительность конвейера. То рабочее место, на котором реализуется минимальная производительность и называют узким местом в назначении.

Задача состоит в том, чтобы максимизировать

Шаг 0. Фиксируем матрицу производительностей и любое назначение на рабочие места. Пусть s - минимальная производительность при этом назначении. Построим рабочую таблицу тех же размеров, что и матрица C ; в клетку с номером (ij ) в этой таблице проставим символ «´», если ; в противном случае эту клетку оставим пустой.

Шаг 1. Рассматривая рабочую таблицу, построенную на предыдущем шагу, как рабочую таблицу в алгоритме для выбора наибольшего паросочетания в двудольном графе, найдем соответствующее наибольшее паросочетание. Если в нем окажется n ребер, то по ним восстанавливается новое назначение на рабочие места и с новой, более высокой, минимальной производительностью. Обозначим ее снова через s и вернемся к Шагу 0. Если же число ребер окажется меньше n , то имеющееся назначение на рабочие места уже оптимально.

Постановки задачи:

Пример 13.1 . Требуется распределить m работ (или исполнителей) по n станкам. Работа i (i =1,...,m ), выполняемая на станке j (j=1,...,n ), связана с затратами. Задача состоит в таком распределении работ по станкам (одна работа выполняется на одном станке), которое соответствует минимизации суммарных затрат c ij .

Пример 13.2. C= (c ij ) – стоимость производства детали i на станке j нужно найти распределение станков так чтобы суммарная стоимость производства была минимальной.

Пример 13.3. Транспортная задача. Заданы пункты производства товара, пункты потребления товара. Требуется определить оптимальное взаимно-однозначное соответствие между пунктами производства и пунктами потребления, исходя из матрицы стоимостей перевозок C между соответствующими пунктами (т.е. минимизировать суммарную стоимость перевозки).

Здесь работы представляют «исходные пункты», а станки – «пункты назначения». Предложение в каждом исходном пункте равно 1. Аналогично спрос в каждом пункте назначения равен 1. Стоимость «перевозки» (прикрепления) работы i к станку j равна c ij . Если какую-либо работу нельзя выполнять на некотором станке, то соответствующая стоимость берется равной очень большому числу.

Прежде чем решать такую задачу необходимо ликвидировать дисбаланс, добавив фиктивные работы или станки в зависимости от начальных условий. Поэтому без потери общности можно положить m = n .

Пусть = 0, если j -я работа не выполняется на i -м станке, = 1, если j -я работа выполняется на i -м станке. Таким образом, решение задачи может быть записано в виде двумерного массива . Допустимое решение называется назначением . Допустимое решение строится путем выбора ровно одного элемента в каждой строке матрицы и ровно одного элемента в каждом столбце этой матрицы.

Замечание 1. Для заданного значения n существует n ! допустимых решений.

Математическая модель задачи:

Минимизировать функцию , при ограничениях:

, (12.1)

, (12.2)

Ограничения (12.1) необходимы для того, чтобы каждая работа выполнялась ровно один раз. Ограничения (12.2) гарантируют, что каждому станку будет приписана ровно одна работа.

Пример 13.4. Для иллюстрации задачи о назначениях рассмотрим таблицу с тремя работами и тремя станками. Стоимость производства детали i на станке j :

Нужно найти распределение станков так чтобы суммарная стоимость производства была минимальной.

Специфическая структура задачи о назначениях позволяет использовать эффективный метод для ее решения.

Замечание 2 . Оптимальное решение задачи не изменится, если из любой строки или столбца матрицы стоимостей вычесть произвольную постоянную величину.

Приведенное замечание 2 показывает, что если можно построить новую матрицу с нулевыми элементами и эти нулевые элементы или их подмножество соответствуют допустимому решению, то такое решение будет оптимальным.

.

Оптимальное назначение: , , , остальные , .

К сожалению, не всегда удается определить решение так просто. Для таких случаев рассмотрим следующий алгоритм.

Шаг 1. (Редукция строк и столбцов). Цель данного шага состоит в получении максимально возможного числа нулевых элементов в матрице стоимостей. Для этого из всех элементов каждой строки вычитают минимальный элемент соответствующей строки, а затем из всех элементов каждого столбца полученной матрицы вычитают минимальный элемент соответствующего столбца. В результате получают редуцированную матрицу стоимостей и переходят к поиску назначений.

Шаг 2. (Определение назначений). На этом шаге можно использовать алгоритм поиска «наибольшего паросочетания с матрицей двудольного графа (существуют и другие возможности), если все =0 матрицы заменить на «1», а >0 на «0».

Если нельзя найти полного назначения, то необходима дальнейшая модификация матрицы стоимостей, т.е. перейти к шагу 3.

Шаг 3 . (Модификация редуцированной матрицы). Для редуцированной матрицы стоимостей:

а) Вычислить число нулей в каждой невычеркнутой строке и каждом невычеркнутом столбце.

б) Вычеркнуть строку или столбец с максимальным числом нулей.

в) Выполнять пункты а) и б) до тех пор, пока не будут вычеркнуты все нули.

г) Из всех невычеркнутых элементов вычесть минимальный невычеркнутый элемент и прибавить его к каждому элементу, расположенному на пересечении двух линий.

Перейти к шагу 2.

Замечание 3 .Если исходная задача является задачей максимизации, то все элементы матрицы стоимостей следует умножить на (-1) и сложить их с достаточно большим числом так, чтобы матрица не содержала бы отрицательных элементов. Затем задачу следует решать как задачу минимизации.

Пример 13.5. Покажем работу венгерского алгоритма на примере задачи о назначениях со следующей матрицей стоимостей:

.

Итерация 1

Шаг 1 . Редукция строк и столбцов.

Значения минимальных элементов строк 1, 2, 3 и 4 равны 2, 4, 11 и 4 соответственно. Вычитая из элементов каждой строки соответствующее минимальное значение, получим следующую матрицу:

.

Значения минимальных элементов столбцов 1, 2, 3 и 4 равны 0, 0, 5 и 0 соответственно. Вычитая из элементов каждого столбца соответствующее минимальное значение, получим следующую матрицу.

Получился - граф . Вершины слева – разработчики, вершины справа – технологии (задачи). Ребра, которые их соединяют – означают то, насколько разработчик в ней разбирается. Эти цифры, т.е. степень владения разработчиком данной технологией, очень важны, но к ним обратимся чуть позже. А пока мы уже верно наметили направление, в котором эффективно решается данная задача:

3. Графы

Двудольный граф – граф, у которого существует такое разбиение множества вершин на две части (доли), что концы каждого ребра принадлежат разным долям. В нашей задаче тоже есть четкое разделение: одни вершины – это разработчики, другие – задачи, и связи (эффективность владения) есть только между разработчиками и задачами.
Паросочетанием неориентированного графа G называется подмножество M его ребер E, выбранное так, что никакие два ребра из M не являются смежными, т.е. не имеют общей вершины. В терминах нашей задачи синонимом этому будет «назначение» , чтобы каждый задействованный разработчик взял на себя отдельную задачу. И не получилось такого, что два разработчика прорабатывают одну проблему, или один «бедняга» отвечал за две задачи.

В теории графов наша проблема, как это ни странно, называется Задачей о Назначениях (ЗН) . =) Она является частным случаем задачи нахождения максимального паросочетания. В самом деле, мы ведь стремимся максимально задействовать ресурсы, чтобы одновременно прорабатывалось максимальное число технологий, поэтому в терминах графов - пытаемся найти «максимальное паросочетание», составить максимальное количество пар разработчик-задача.

4. Максимальное паросочетание

Как же увеличить паросочетания (назначения)?

• если нашли свободную – поиск завершен
• если задача уже кому-то назначена, то пройдя по этому ребру паросочетания, попытаемся «переназначить» технологию разработчику, участвующему в данном назначении

Добавим еще немного терминологии из теории графов, простыми словами:

Экспонированная вершина – это вершина, которая не участвует в текущем паросочетании. Т.е. либо «незадействованный разработчик», либо «свободная задача».
Альтернирующая цепь – это цепь, ребра которой попеременно лежат или не лежат в паросочетании. (…- владение технологией – назначенная задача – владение технологией – назначенная задача - …)
Альтернирующее дерево – дерево, состоящее из альтернирующих цепей
Аугментальная цепь – это такая альтернирующая цепь, начальная и конечная вершины которой экспонированы. Вот как называется то, что мы и ищем! =)
Аугментальное дерево – соответственно дерево, в котором хотя бы одна из веток – это аугментальная цепь.

Вот и нашли способ наращивать паросочетание, стремясь получить максимальное. Нужно строить альтенирующее дерево. Когда оно станет аугментальным, искать аугментальные цепи из «незадействованного разработчика» в «свободную задачу» и потом «переназначать» задачи вдоль них. Это выгодно, т.к. увеличивает количество «задач в обработке» на 1:

Теперь мы уже сможем задействовать наибольшее количество технологий в проекте. Самое время принять во внимание еще одно важное условие поставленной перед нами проблемы: эффективность владения технологиями. Мы ведь хотим оптимально назначить всем задачи.

5. Венгерский метод.

Мы бы для начала всем разработчикам до упора назначили задачи в соответствии с их максимальными способностями. Если всем разработчикам удалось сразу же распределить задачи - отлично. Но такое происходит не часто. Вдруг два человека, оптимально владеют одной и той же технологией, кому она достанется и что делать в этой ситуации? Одному из разработчиков нужно будет подыскать иную свободную задачу, так же наиболее соответствующую его способностям. Если при текущих (максимальных требованиях) условиях не найдется свободной задачи, то нужно будет попробовать подыскать среди задач, предварительно немного занизив наши требования. Как бы искусственно занизить способности разработчиков в графе. Если в таких условиях обнаружим свободную задачу – получим аугментальное дерево. «Поменяем» по цепочке паросочетания, после чего будет +1. И продолжим назначать таким вот оптимальным образом, пока всем не подыщем работу.

Стратегия ясна.

Вся «фишка» этого алгоритма заключается в следующем. Нам дан всего один параметр в графе – эффективность решения определенной задачи разработчиком, что указано на ребрах. Эта величина присвоена парам разработчик-задача. Мы же «разделим» (отделим от пар) эти величины на две. Искусственно добавим два дополнительных параметра. Одни величины будут приписаны вершинам задач, другие - вершинам разработчиков.

Попробую привести такую интерпретацию:

• у разработчиков мы укажем их «способности» , допустим в единицах «сил», просто указывающие на то, насколько эффективно мы можем их задействовать или задействовали.
• у задач мы укажем их «изученность» , или, если можно так выразиться, «переизбыток внимания». Этот параметр будем так же измерять в «силе». Переизбыток внимания к задаче возникает в следующей ситуации. Если мы какого-то разработчика «недогрузили», т.е. он способен решать задачу на 5, а ему досталась всего на 3. То у него остается еще 2 «силы» которые он, в принципе, может уделить какой-то из знакомых ему задач. Бегать между кабинетов, консультировать по телефону, давать советы тем, кто занимается любимой ему технологией.

Таким образом, величины указанные на ребрах мы «разделим» на 2 значения, приписанных уже вершинам: эффективность решения задачи = способность разработчика + изученность задачи. В принципе, логично. Чем способней разработчик или чем более известна технология, тем лучше будет реализована эта часть в проекте. Эффективней.

В конце, после того как мы найдем решение, мы конечно будем учитывать только величины на ребрах, но сейчас эта «фишка» поможет нам найти решение. =)

6. Описание алгоритма

При поиске «свободной задачи» для «незадействованного разработчика» мы ограничимся теперь только (назовем их) оптимальными ребрами графа, т.е. теми, для которых выполняется равенство: эффективность решения задачи (ребро) = способность разработчика (вершина) + изученность задачи (вершина) .

Далее мы поступаем так же, как и при поиске максимального паросочетания. Хватаем по очереди незадействованных разработчиков и, подыскивая им свободные задачи, строим альтернирующее дерево (состоящее из чередующихся цепей), но уже только по оптимальным ребрам. Далее возможно 2 ситуации:

• Удалось обнаружить свободную задачу. Дерево стало аугментальным. «Переназначаем» задачи, наращиваем паросочетание. Начинаем строить альтернирующее дерево заново, т.к. мало ли как там граф изменился
• Мы не нашли (не достигли) свободную задачу по оптимальным ребрам. А она есть, т.к. начинали ведь мы со свободного разработчика, а в графе у нас одинаковое количество задач и разработчиков. Полученное альтернирующее дерево становится, так называемым, Венгерским (весь метод так же называется). В данном случае нам нужно будет немного понизить наши требования к разработчикам и начать поиски заново. Failure is simply the opportunity to begin again, this time more intelligently (с) .

Вот и подошли к последнему моменту Венгерского метода для чего все эти дополнительные параметры и «способности» задумывались. Допустим, что, наращивая альтернирующее дерево, мы в конечном итоге получили - Венгерское дерево. Рассмотрим, какие вершины попадут в это дерево:

• Незадействованные разработчики, т.к. именно с них мы начинаем стоить дерево
• Разработчики и задачи, до которых можно дотянуться по оптимальным ребрам из незадействованных разработчиков. Т.к. именно через их «переназначение» мы пытаемся трудоустроить последних.

• Разработчики и задачи, находящиеся в паросочетании, но недоступные из свободных вершин (разработчиков). Нашли им работу – нечего их пока трогать.
• Задачи, недостижимые по оптимальным ребрам – до них нам и нужно будет добраться. Поэтому при построении дерева мы будем отмечать вершины, в которые удалось попасть. А эти задачи, соответственно, останутся неотмеченными.

После чего внутри венгерского дерева мы:

• Понизим способности разработчиков на delta, чтобы «присоединить» наименее безболезненным способом, по крайней мере, одно ребро к альтернирующему дереву, по которому в следующий раз будем продолжать поиски свободной задачи
• Повысим «изученность» задач на delta, чтобы внутри уже сейчас построенного аугментального графа ребра - остались оптимальными. Т.е. чтобы сохранилось равенство: эффективность решения задачи (ребро) = способность разработчика (вершина) + изученность задачи (вершина)

Все. Все шаги данного метода рассмотрены. Продолжаем в том же духе… Success is not final, failure is not fatal: it is the courage to continue that counts .

7. Алгоритм словами, очень кратко

• Инициализация. Разработчикам – max способности. Задачи – не изучены.
• Пока не всем разработчикам нашли задачи.
  • Пока удается построить аугментальное дерево (находить свободные задачи) по оптимальным ребрам
    • «Переназначаем» задачи, увеличивая паросочетания
  • Не достигли свободной задачи. Венгерское дерево.
    • Понижаем способности разработчиков на min величину

8. Листинг

Я взял его . На мой взгляд, очень хорошая реализация. Единственное отличие, у автора приведен код метода минимизации назначений (если, допустим, на ребрах – зарплата), а в статье мы распределяли задачи с целью получения максимальной эффективности. Поэтому, слегка модифицировав код, приведу ниже реализацию максимального метода:

int n;
vector < vector > a; // Матрица эффективности a[разраб][задача]
vector xy, yx; // Паросочетания: xy[разраб], yx[задача]
vector vx, vy; // Альтернирующее дерево vx[разраб], vy[задача]
vector maxrow, mincol; // Способности, изученность

bool dotry (int i) {
if (vx[i]) return false ;
vx[i] = true ;
for (int j=0; jif (a[i][j]-maxrow[i]-mincol[j] == 0)
vy[j] = true ;
for (int j=0; jif (a[i][j]-maxrow[i]-mincol[j] == 0 && yx[j] == -1) {
xy[i] = j;
yx[j] = i;
return true ;
}
for (int j=0; jif (a[i][j]-maxrow[i]-mincol[j] == 0 && dotry (yx[j])) {
xy[i] = j;
yx[j] = i;
return true ;
}
return false ;
}

int main() {

// ... чтение a ...

Mincol.assign (n, 0);
minrow.assign (n, 0);
for (int i=0; ifor (int j=0; j maxrow[i] = max (maxrow[i], a[i][j]);

Xy.assign (n, -1);
yx.assign (n, -1);
for (int c=0; c vx.assign (n, 0);
vy.assign (n, 0);
int k = 0;
for (int i=0; iif (xy[i] == -1 && dotry (i))
++k;
c += k;
if (k == 0) {
int z = INF;
for (int i=0; iif (vx[i])
for (int j=0; jif (!vy[j])
z = min (z, maxrow[i]+mincol[j]-a[i][j]);
for (int i=0; iif (vx[i]) maxrow[i] -= z;
if (vy[i]) mincol[i] += z;
}
}
}

int ans = 0;
for (int i=0; i ans += a[i]];
printf ("%d\n" , ans);
for (int i=0; i printf ("%d " , xy[i]+1);
}

* This source code was highlighted with Source Code Highlighter .

9. Итого

Теги:

• задача о назначениях
• венгерский алгоритм
• алгоритм Куна

Рассмотрим следующий пример. Пусть для выполнения пяти различных работ имеется пять человек. Из отчетных данных известно, какое время требуется каждому из них для выполнения каждой работы. Эти данные приведены в таблице.

В данном случае величины представляют собой затраты времени каждого работника на выполнение каждой из работ, а величины равны либо 1, либо 0, причем равен 1, если работник i назначен на работу j, и 0 во всех остальных случаях. Таким образом задача сводится к минимизации функции. стоимость маршрут линейный программирование

при следующих ограничениях.

Ясно, что если отбросить последнее условие и заменить его условием

То получается транспортная задача, в которой все потребности и все ресурсы равны единице. В оптимальном решении все равны либо целому числу, либо нулю, причем единственным возможным целым является единица. Таким образом, решение транспортной задачи при этих условиях всегда приводит к равенству.

Однако вследствие вырожденности методы решения транспортных задач в случае задачи о назначении оказываются малоэффективными. При любом назначении всегда автоматически совпадают поставки по строке со спросом по столбцу и поэтому вместо 2n-1 получаем n ненулывых значений. В связи с этим необходимо заполнить матрицу n-1 величинами е, и может оказаться, что ненулевые значения определяют оптимальное решение, однако проверка его не обнаруживает, так как величины е расставлены неверно.

Метод решения задачи о назначении основан на двух довольно очевидных теоремах. Первая из них утверждает, что решение не изменится, если прибавить к любому столбцу или строке матрицы некоторую константу или вычесть ее из них. Эта теорема точно формулируется следующим образом:

Теорема 1.

Если минимизирует

по всем, таким что и

то минимизирует также функционал

где при всех

Теорема 2.

Если все и можно отыскать набор такой, что

то это решение оптимально.

Вторая теорема очевидна. Для доказательства первой теоремы заметим, что

Вследствие того что величины, вычитаемые из Z с целью получения, не зависят от, достигает минимума всегда, когда минимизируется Z, и наоборот.

Разработанный метод решения сводится к прибавлению констант к строкам и столбцам и вычитанию их из строк и столбцов до тех пор, пока достаточное число величин не обращается в нуль, что дает решение, равное нулю.

Отыскание решения начинают, вычитая наименьший элемент из каждой строки, а затем из каждого столбца. В таблице даны результаты для приведенного выше примера.

Таблица А)

Таблица Б)

Из столбцов и строк было вычтено всего 10 единиц. Поэтому для правильной оценки любого решения, получаемого при использовании таблицы (Б), необходимо прибавить к результату 10 единиц

Прежде всего стремятся отыскать решение, включающее лишь те клетки таблицы (Б),в которых стоят нулевые элементы, поскольку такое решение, если его удается найти, будет наилучшим из всех возможных. Однако встречаются случаи, когда несколько решений имеют одинаковое качество. Допустимое решение помечено в таблице (Б) скобками. Однако, для того чтобы определить, возможно ли улучшение решения, применяется следующий алгоритм.

Заметим предварительно, что любое дальнейшее вычитание из строки или столбца, хотя и может приводить к появлению новых нулей, неизбежно приводит в появлению отрицательных элементов, так что нулевое решение теперь не обязательно будет оптимальным. Однако отрицательные элементы можно исключить, прибавляя соответствующие числа к строкам или столбцам. Так например, если вычесть 2 из столбца 1 в таблице (Б), то в строке 1 появится элемент - 2. Если теперь прибавить 2 к строке 1, то вновь получим матрицу с неотрицательными элементами. Задача заключается в том, чтобы получать новые нули указанным способом, но вместе с тем в конечном счете получить матрицу, содержащую решение среди одних нулей. Можно доказать, что описываемый ниже алгоритм обеспечивает решение этой задачи.

1. Провести минимальное число горизонтальных и вертикальных прямых, пересекающих по крайней мере один раз все нули. Выполнение этого шага для таблицы (Б) дает результат в таблице 1.

Таблица 1

Заметим, что в данном случае используется только четыре линии, а следовательно, нулевые клетки не содержат оптимального решения.

• 2. Выбрать наименьший элемент, через который не проведена линия. В примере это 1 в клетке (5,2).
• 3. Вычесть это число из всех элементов, через которые не проведена ни одна линия, и прибавить его ко всем элементам, через которые проведены две линии. В данном примере получается результат, показанный в таблице 2.

Таблица 2

Этот шаг должен приводить к появлению нуля в клетке, где его ранее не было. В рассматриваемом примере это клетка (5,2).

4. Определить, имеется ли решение среди нового набора нулей. Если решение не обнаруживается (в данном примере оно отсутствует), то вернуться к шагу 1 и выполнить все последующие шаги, пока не будет найдено решение. продолжая рассматривать данный пример, получаем результат, приведенный в таблице 3.

Таблица 3

В этой таблице уже содержится решение, помеченное скобками и имеющее значение 13, что на 1 лучше исходного допустимого решения. , .

Пример 2.

Представлено четыре студента и четыре вида работ. Следующая таблица соответствует матрице стоимостей для этой задачи.

Выполним первый шаг алгоритма.

Теперь вычтем минимальные стоимости из элементов соответствующих строк.

На втором шаге алгоритма находим минимальные значения по столбцам и вычитаем их из элементов соответствующих столбцов. В результате получим матрицу, представленную в следующей таблице.

В последней матрице расположение нулевых элементов не позволяет назначить каждому ребенку одну работу. Например, если мы назначим Даше уборку гаража, из дальнейшего рассмотрения исключается первый столбец и тогда, в строке Аллы не окажется нулевых элементов.

• 1) В последней матрице проведем минимальное число горизонтальных и вертикальных прямых по строкам и столбцам с тем, чтобы вычеркнуть все нулевые элементы.
• 2) Найдем наименьший невычеркнутый элемент и вычтем его из остальных невычеркнутых элементов и прибавим к элементам, стоящим на пересечении проведенных прямых.

В задаче данного примера требуется провести три прямых, это приводит к следующей таблице:

Наименьший невычеркнутый элемент равен 1. Этот элемент вычитаем из остальных невычеркнутых элементов и прибавляем к элементам, стоящим на пересечении прямых. В результате получим матрицу, представленную в следующей таблице.

Оптимальное решение, показанное в таблице, предлагает Даше убрать гараж, Кате стричь газоны, Алле мыть машины, а Саше выгуливать собак. Соответствующее значение целевой функции равно 1+10+5+5=21. Такое же значение можно получить путем суммирования значений и и значения элемента, наименьшего среди всех невычеркнутых.

Метод представляет собой процедуру, состоящую из следующих шагов:

1.Находим в каждой строке матрицы С минимальный элемент и вычитаем его из каждого элемента этой строки. Если в полученной матрице окажутся столбцы, не содержащие нулевых элементов, то в каждом из них находим минимальный элемент и вычитаем его из всех элементов этого столбца. Таким образом, приходим к матрице, каждая строка и каждый столбец которой содержат, по меньшей мере, один нулевой элемент.

2.Если в полученной матрице можно выбрать по одному нулевому элементу так, чтобы соответствующие этим элементам решение было допустимым(то есть каждому исполнителю назначена была одна работа и каждая работа выполнялась одним исполнителем), то данное (нулевое) назначение будет оптимальным. Иначе переходим к следующему пункту.

3.Ищется минимальное множество строк и столбцов, содержащие нули. Далее вне этого множества находим минимальный элемент и вычитаем его из всех элементов приведенной матрицы. Затем преобразуем матрицу таким образом, чтобы не было отрицательных элементов. Эта процедура эквивалентна следующей: минимальный элемент вычитаем из элементов, не содержащих нулевые строки и столбцы. На пересечении этих вычеркнутых строк и столбцов, содержащих нулевые элементы, этот минимальный элемент прибавляется элементам приведенной матрицы, а остальные элементы вычеркнутых столбцов и строк берутся без изменения.

III.Практическая часть. Задача о назначениях.

Решение венгерским методом

Некоторая компания имеет четыре сбытовые базы и четыре заказа, которые необходимо доставить различным потребителям. Складские помещения каждой базы вполне достаточны, для, того, чтобы вместить один из этих заказов. В нижеприведенной таблице содержится информация о расстоянии между каждой базой и каждым потребителем. Как следует распределить заказы по сбытовым базам, чтобы общая дальность транспортировки была минимальной?

Для нахождения оптимального решения воспользоваться «венгерским методом».

Строим матрицу:

Решим ее венгерским методом.

1. Найдем в каждой строке минимальное значение и вычтем его из каждого элемента данной строки,(отмечены полужирным курсивом).

68 72 74 83 0 4 6 15

56 60 58 63 Получим 0 4 2 7

38 40 35 45матрицу: 3 5 0 10

47 42 40 45 7 2 0 5

2.Выберем в каждом столбце матрицы минимальный элемент и вычтем его из каждого элемента данного столбца: (отмечены полужирным курсивом).

0 4 6 15 0 2 6 10

3 5 0 10 3 3 0 5

7 2 0 5 7 0 0 0

3.Определяем число нулей в каждой строке: 1-1, 2-1, 3-1, 4-3и в каждом столбце: 1-2, 2-1, 3-2, 4-1. Максимальное число нулей (3) содержит 4-я строка и 1-й и 3-й столбец. Минимальным числом прямых вычеркнем все нули в матрице. Среди не вычеркнутых элементов выберем минимальный (выделен полужирным курсивом и подчеркнут – 2).

0 2 6 10

Прибавим его к элементам, стоящим на пересечении прямых и вычтем из всех не вычеркнутых элементов. Теперь перераспределим соответствующие назначения сбытовых баз и потребителей.

Получим скорректированную матрицу с назначениями для нулевых клеток:

Вычеркнем из матрицы ненужные нули:

0 0 7 8

0 0 2 0

3 1 0 3

9 0 2 0

Теперь требование о размещении четырех назначений в клетки с нулевой стоимостью выполняется, следовательно полученное решение является оптимальным. Перевозки осуществляются со сбытовой базы 1-к потребителю 1, с базы 2- к потребителю 2, с базы 3 – к потребителю 3 и с базы 4 – к потребителю 4. В результате в начальной таблице суммируются клетки, соответствующие выбранным элементам итоговой таблицы(по диагонали – 68+60+35+45=208), это и будет минимальное решение данной задачи.

Ответ: заказы по сбытовым базам распределены оптимально, общая дальность минимальна – 208 км.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Линейное программирование, математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных неравенств и равенств. Линейное программирование является одним из разделов математического программирования. В данном курсовом проекте был рассмотрен метод линейного программирования,на примере задачи: венгерский метод.

Суть венгерского метода состоит в следующем: путем прибавления определенным образом найденных чисел к некоторым столбцам и вычитания из них некоторых чисел находят систему так называемых независимых нулей. Набор нулей называется системой независимых нулей, если какие два9или больше) нуля не лежат на одной линии (в строке или столбце). Если число независимых нулей равно n, то приняв соответствующие им переменные xij равными 1, а все остальные – равными 0, получаем оптимальный план назначения.

Алгоритм венгерского метода состоит из предварительного шага и не более чем (n-2) последовательно повторяющихся итераций. На предварительном этапе в случае решения задачи на максимум, ее преобразуют в эквивалентную задачу на минимум. На этом же этапе выделяется система независимых нулей. Каждая последующая итерация направлена на увеличение хотя бы на 1 числа независимых нулей. Как только число независимых нулей k станет равным размерности матрицы (k=n), задача решена. Оптимальный план назначения определится положением независимых нулей на последней итерации.

Разработанная программа позволяет контролировать процесс ввода исходных данных путем вывода на экран соответствующих комментариев о некорректности вводимых показателей, что помогает своевременно устранить заведомо неверный исход решения задачи. У пользователя имеется возможность наблюдать за процессом решения, поскольку на экран выводятся результаты каждого этапа, согласно методике решения данного типа задач. Программный продукт можно использовать при изучении курса экономико-математические методы и модели в целях контроля правильности решения задач о назначениях венгерским методом, а также на предприятиях, где необходимо решить проблему по размещению кадров для осуществления экономически целесообразной деятельности.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И ИСТОЧНИКОВ

1. Агальцов, В.П. «Математические методы в программировании»: учебник. В.П. Агальцов, И.В. Волдайская. - М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2009 г.

2. Акулич И. А. «Математическое программирование в примерах и задачах». - М.: «Высшая школа», 2010.

3. Ашманов С.А. «Линейное программирование»,- М.: 2011г.

4. Балдин.К.В. «Математическое программирование»/ К.В.Балдин – М: Издательство «Дашков и К», 2009.

5. Васильев Ф.П., «Линейное программирование»/ Ф.П., Васильев, А.Ю. Иваницкий,2009.

6. Вершик А.М. «О Л.В. Канторовиче и линейном программировании»,2010г

7. Глебова Н.В. «Применение методов линейного программирования для решения экономических задач»: учебно –методическое пособие для студентов 3 курса ВВАГС, 2001 г.

8. Карасев А.Н. «Математические методы в экономике»/ А.Н.Карасев,Н.Ш.Кремер,Т.Н.Савельева,2010.

9. Лищенко А.В., «Линейное и нелинейное программирование»,2011.

10. Партыка, Т.Л. «Математические методы»: учебник. / Т.Л. Партыка, И.И.2009г.

11. Цирель, С. В. «Венгерский способ»/ С. Цирель. Москва: УРСС, 2007 г.

12. Шапкин, А.С. «Математические методы» / А. Шапкин. Учебник. Москва, 2010 г.

Вершик А.М. «О Л.В. Канторовиче и линейном программировании»,2010г.,с.45

Агальцов, В.П. «Математические методы в программировании»: учебник. В.П. Агальцов, И.В. Волдайская. - М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2009 г. - 224 с.: ил.

Шапкин, А.С. «Математические методы» / А. Шапкин. Учебник. Москва, 2010.- 104 с.

Ашманов С.А. «Линейное программирование»,- М.: 2011г,с.235

Балдин.К.В. «Математическое программирование»/ К.В.Балдин – М: Издательство «Дашков и К», 2009.с.67

Васильев Ф.П., «Линейное программирование»/ Ф.П., Васильев, А.Ю. Иваницкий,2009,с.76

Шапкин, А.С. «Математические методы» / А. Шапкин. Учебник. Москва, 2010- 100 с

Лищенко А.В., «Линейное и нелинейное программирование»,2011.С.84

Хазанова Л.Э. «Математическое программирование в экономике»: Учебное пособие. - М.: Издательство БЕК, 2008. - 141с.

Акулич И. А. «Математическое программирование в примерах и задачах». - М.: «Высшая школа», 2010.с 319

Карасев А.Н. «Математические методы в экономике»/ А.Н.Карасев,Н.Ш.Кремер,Т.Н.Савельева,2010.с.35

Акулич И. А. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.: «Высшая школа», 2010- 319 с.

Цирель, С. В. «Венгерский способ»/ С. Цирель. Москва: УРСС, 2007.- 120 с.

Цирель, С. В. Венгерский способ/ С. Цирель. Москва: УРСС, 2007.- 120 с.

Глебова Н.В. «Применение методов линейного программирования для решения экономических задач»: учебно –методическое пособие для студентов 3 курса ВВАГС, 2001.,с.53

Специфические особенности задач о назначениях послужили поводом к появлению эффективного венгерского метода их решения. Основная идея венгерского метода заключается в переходе от исходной квадратной матрицы стоимости С к эквивалентной ей матрице С э с неотрицательными элементами и системой п независимых нулей, из которых никакие два не принадлежат одной и той же строке или одному и тому же столбцу. Для заданного п существует п допустимых решений. Если в матрице назначения X расположить п единиц так, что в каждой строке и каждом столбце находится только по одной единице, расставленных в соответствии с расположенными п независимыми нулями эквивалентной матрицы стоимости С э, то получим допустимые решения задачи о назначениях.

Алгоритм венгерского метода рассмотрим па примере решения задачи по заданной матрице стоимости

Следует иметь в виду, что для любого недопустимого назначения соответствующая ему стоимость условно полагается равной достаточно большому числу М в задачах на минимум. Если исходная матрица не является квадратной, то следует ввести дополнительно необходимое количество строк или столбцов, а их элементам присвоить значения, определяемые условиями задачи, возможно, после редукции, а доминирующие альтернативы, дорогие или дешевые, исключить.

А. Решение задач на минимум затрат

1. Проводим редукцию матрицы по строкам и столбцам, как и в методе ветвей и границ

• 2. Методом проб и ошибок проводим поиск допустимого решения, для которого все назначения имеют нулевую стоимость. Поскольку расположение нулевых элементов в матрице не позволяет образовать систему из четырех независимых нулей, то решение недопустимое.
• 3. Проводим модификацию матрицы. Вычеркиваем строки и столбцы с возможно большим количеством нулевых элементов - строки 2 и 3, столбец 1, и получаем сокращенную матрицу

Минимальный элемент сокращенной матрицы (2) вычитаем из всех ее элементов и складываем его с элементами, расположенными на пересечениях вычеркнутых строк и столбцов: 12 + 2 = 14; 3 + 2 = 5 редуцированной матрицы. В результате получаем эквивалентную матрицу

4. Метолом проб и ошибок определяем матрицу назначения X, которая позволяет по аналогично расположенным элементам исходной матрицы (в прямоугольниках) вычислить минимальную стоимость назначения

В. Решение задач на максимум прибыли

1. Модифицируем матрицу умножением всех элементов на (-1) и затем сложением их с максимальным элементом матрицы (17) так, чтобы матрица не содержала бы отрицательных элементов:

2. Редуцируя матрицу по строкам и столбцам, получим эквивалентную матрицу

3. Методом проб и ошибок строим матрицу назначения X и но ней вычисляем максимальную (в исходной матрице значения в прямоугольниках) прибыль:

Пример 4.6. Распределить производство трех видов товара Т|, Т 2 , Т3 среди пяти предприятий П|, П 2 , П:(, П 4 , П-, с целью получения максимальной прибыли от продажи товаров по следующим данным:

Издержки производства с,у единицы товара (долл.)

Годовой спрос (шт.) и цепа товара (долл.)

Формируем матрицу годовой прибыли с учетом спроса (тыс. долл.)

2. Модифицируем матрицу умножением всех элементов на (-1) и сложением с максимальным числом матрицы (8000) и для устранения дисбаланса вводим два вида Т 4 , Т Г) фиктивной продукции с нулевой прибылью, поскольку матрица должна быть квадратной:

3. Редуцируем матрицу по строкам и столбцам:

4. Модифицируем матрицу путем исключения строк 4, 5 и столбцов 3, 4, получим сокращенную матрицу

Затем определяем в ней минимальный элемент 180, вычитаем его из всех элементов этой матрицы и суммируем его с элементами, находящимися на пересечениях исключаемых строк и столбцов редуцированной матрицы (выделена в прямоугольниках), объединяем результаты и получаем эквивалентную матрицу

по которой строим матрицу назначения

и по ней, наложив на матрицу исходных данных, определяем максимальное значение прибыли

Таким образом, венгерским методом можно решать многие задачи коммерческой деятельности. Следует заметить, что наиболее сложной и тонкой работой является постановка задач, связанных с вычислением элементов матрицы стоимости претендентов по должностям. Затем необходимо определить каким-либо методом эффективность проявления личности на каждой вакантной должности, например бухгалтера, менеджера, коммерсанта или финансиста. При этом можно воспользоваться сравнением требуемого перечня необходимых и достаточных должностных качеств - эталона (табл. 4.18), например коммерсанта, и фактически имеющихся качеств у претендента. Вычислить элемент матрицы с,у как разность интегральных критериев эталона и личности с учетом еще и отрицательных качеств претендента.

Таблица 4.18

Для примера в качестве претендентов воспользуемся такими известными литературными персонажами, как Гобсек, Чичиков, Собакевич, Плюшкин, Остап Бендер, положительные и отрицательные качества которых описаны в известных произведениях (табл. 4.19).

Таблица 4.19

Решение начинаем с определения веса - значимости должностных качеств (см. табл. 4.18) методом парных сравнений (см. п. 1.3), начиная с директора (табл. 4.20).

Определяем правильность заполнения матрицы:

Вес качеств определяем по формуле М; = 5,-/и 2 , результаты заносим в табл. 4.20.

Затем, сравнивая необходимые качества должности директора (см. табл. 4.20) с качествами претендентов (табл. 4.21), строим матрицу наличия качеств директора у претендентов (см. табл. 4.21) и вычисляем значения коэффициентов эффективности Су.

Наиболее подходящим кандидатом на эту должность является Гобсек, Су = 0,6224.

По результатам сравнения определяем коэффициенты эффективности су и заносим в табл. 4.22.

Аналогичным образом проводим операции сравнения по другим должностям, а полученные значения Су представим в виде матрицы эффективности (см. табл. 4.22).

Решая полученную матрицу венгерским методом на максимум, получим матрицу оптимального распределения претендентов по должностям (табл. 4.23).

Следует заметить, что должность менеджера остается вакантной. Можно продолжить решение задачи с учетом влияния отрицательных качеств претендентов, которые уменьшают значения коэффициентов эффективности.

Таблица 4.20

Таблица 4.22