В настоящее время разработано множество различных алгоритмов решения Т.з. распределительный метод , метод потенциалов, дельта-метод, венгерский метод, метод дифференциальных рент , способ двойного предпочтения , различные сетевые методы. Они относительно просты, по ним составлены десятки программ для различных вычислительных машин . Во многих снабженческих, транспортных и других организациях во всем мире с их помощью рассчитываются маршруты доставки материалов на строительные площадки, планы длительного прикрепления поставщиков металлопроката к потребителям, планы перевозок топлива. Задачи эти часто усложняются разного рода дополнительными условиями напр., в них включается расчет не только себестоимости перевозок, но и себестоимости производства продукции (производственно-транспортная задача), оптимизируется совместно доставка взаимозаменяемых видов продукции (скажем, различных кровельных материалов), оптимизируется доставка грузов с промежуточными базами (складами). Кроме того, следует учитывать, что экономико-математическая модель Т.з. позволяет описывать множество ситуаций, весьма далеких от проблемы перевозок, в частности, находить оптимальное размещение заказов на производство изделий с разной себестоимостью.  

Полученные с помощью этого алгоритма сбалансированные планы поставок ресурсов и услуг могут быть в дальнейшем оптимизированы стандартными методами (потенциалов, венгерским и др.)  

Венгерский метод в классическом варианте применим только для замкнутой модели транспортной задачи. Поэтому при разработке алгоритмов решения транспортной задачи с открытой или полуоткрытой системой ограничений исследовались и были определены эффективные методы предварительного построения замыкания исходной модели с последующим применением венгерского метода. В общем случае схема решения такой задачи представляет собой двухэтапную процедуру, где на первом этапе определяется замыкание модели, а на втором по замыканию модели отыскивается оптимум задачи.  

Описание алгоритма венгерского метода  

После конечного числа построений очередной первый этап обязательно закончится переходом на второй этап и количество независимых нулей увеличится на единицу, т. е. (к + 1)-я итерация будет завершена. Обоснование отдельных этапов алгоритма венгерского метода для задачи выбора приведено в .  

Количество возможных вариантов назначений равно факториалу числа работ и ресурсов и огромно даже в небольшой задаче. Поэтому для нахождения оптимального варианта применяют специальные алгоритмы. Среди них особенно эффективен при решении 3. о н. вручную т.н. венгерский метод.  

Оптимизация цены, объема выпуска и постоянных затрат предприятия при освоении нового продукта чисто математически может быть осуществлена на основе постановки следующий оптимизационной задачи , которая, будучи выражена линейными уравнениями выручки, переменных и совокупных издержек предприятия, а также зависимости между располагаемыми инвестициями и максимально возможным объемом выпуска продукта, обусловленным созданием на средства этих инвестиций соответствующих новых производственных и торговых мощностей. Эта задача поддается решению методами линейного целочисленного программирования (например, симплекс-методом или так называемым венгерским методом)  

Известны различные способы решения этой задачи - распределительный, венгерский, метод потенциалов и др. Как правило, для расчетов применяется ЭВМ.  

В то же время в книге изложено немало организационных решений , с успехом применяемых на венгерских промышленных предприятиях , представляющих интерес и для наших условий. К таким решениям можно отнести обоснование механизма выявления новых назревших организационных проблем, подлежащих решению процедуру разработки вариантов организационной концепции при подготовке проектов рационализации организационных систем обоснование многофакторного подхода при выборе форм и методов организации производства применение гибких методов организации и диверсификации производства и др.  

Венгерские специалисты разработали методики комплексного исследования рынка для новых товаров как производственного назначения, так и народного потребления. Различие методов обусловлено назначением товаров, в силу чего, например, точнее можно определить круг потребителей изделий производственного назначения, так как покупателями являются определенные предприятия. А это, в свою очередь, говорит производителю о довольно ограниченном объеме выпуска. Маркетинг изделий производственного назначения характерен и тем, что практически возможен опрос всех будущих потребителей, т. v процедура выяснения запросов покупателей проще, чем в случае потребительских товаров.  

Рассматриваемый метод получения ацетилена успешно изучался венгерскими и румынскими химиками в Венгрии и Румынии были построены не только лабораторные, но и опытно-промышленные установки, на которых проводились интенсивные работы по промышленному освоению метода. Промышленные установки, работающие по этому методу, имеются также в ФРГ и в Канаде.  

Существует много частных способов (например, способ Фогеля, методы потенциалов, дифференциальных рент , способ Лебедева - Тихомирова, венгерский метод и др.), а также универсальных методов (например, алгоритм симплекс-метода) решения задач линейного программирования с такого рода условиями. Представляет интерес, как сам результат вычисления, так и его интерпретация.  

Корнай (Kornai) Янош (р. 1928), венгерский экономист-математик, академик АН Венгерской республики. Окончил Будапештский университет (1955), работал в АН, Институте текстильной промышленности , вычислительном центре Академии наук с 1967 г. - профессор и руководитель отдела АН Венгрии, с 1986 г. - профессор экономики в Гарвардском университете. В конце 50-х гг. вместе с Т. Липтаком разработал метод решения задач блочного программирования - метод планирования на двух уровнях (см. Корнай-Липтака метод). Исследовал проблемы функционирования экономики в условиях неравновесия, взаимоотношения между дефицитом и инфляцией. Был одним из идеологов венгерской экономической реформы конца 60-х гг. Иностранный член Британской, Шведской, Финляндской академий наук , почетный член Американской академии искусств и наук, Американской экономической ассоциации почетный доктор университетов многих стран мира . Государственная премия ВНР - 1983 г.  

Большинство конфликтов является ситуациями для торга, сделки, но существуют и такие, в которых возможность выигрыша одной строны в значительной степени зависит от поведения и принимаемых решений другой стороны. Это возможно продемонстрировать на примере, приведенном венгерским социологом Э. Ханкишем. Последний назвал этот метод дилеммой арестанта. Суть его в том, что, добиваясь признания от двух подозреваемых, следователь ставит следующие условия  

Особое место в программе уделяется методам, чувствительным к разладке технологического процесса , в частности, методу регулирования с предупреждающими границами и методу кумулятивных сумм . В программу включены документы по контрольным картам кумулятивных сумм для средних арифметических значений, дисперсий и размахов, числа дефектов и дефектных единиц продукции. По предложению Венгерской Народной Республики в программу внесено общее методическое руководство по применению контрольных карт . Разработка методов регулирования предусмотрена на основе использования критерия проверки гипотез Кеймана-Пирсона или, когда критерий Неймана-Пирсона оказывается неприемлемым, принципа

Содержательная постановка задачи. В объединении находится n автомобилей, способных каждый перевозить в месяц Q i тонн груза (i = 1,2,…, n). С их помощью необходимо обеспечить перевозку грузов (пиломатериал, шурупы и т.д.) от поставщиков к потребителям по n маршрутам в количестве R j тонн в месяц (j = 1,2,…, n).
Задача заключается в том, чтобы перевезти все грузы с минимальными издержками, для этого надо каждый автомобиль пустить по одному и только его маршруту. Если возможность автомобиля в перевозке груза ниже потребности потребителя этого груза, то на данный маршрут автомобиль не может быть назначен. Поэтому составляется матрицу С, характеризующую издержки i-го автомобиля, в случае, если он будет назначен на j-й маршрут.

Венгерский метод решения задач о назначениях

Задача о назначениях является частным случаем транспортной задачи , поэтому для ее решения можно воспользоваться любым алгоритмом линейного программирования, однако более эффективным является венгерский метод .

Специфические особенности задач о назначениях послужили поводом к появлению эффективного венгерского метода их решения. Основная идея венгерского метода заключается в переходе от исходной квадратной матрицы стоимости С к эквивалентной ей матрице Сэ с неотрицательными элементами и системой n независимых нулей, из которых никакие два не принадлежат одной и той же строке или одному и тому же столбцу. Для заданного n существует n! допустимых решений. Если в матрице назначения X расположить n единиц так, что в каждой строке и столбце находится только по одной единице, расставленных в соответствии с расположенными n независимыми нулями эквивалентной матрицы стоимости Сэ, то получим допустимые решения задачи о назначениях.

Следует иметь в виду, что для любого недопустимого назначения соответствующая ему стоимость условно полагается равной достаточно большому числу М в задачах на минимум. Если исходная матрица не является квадратной, то следует ввести дополнительно необходимое количество строк или столбцов, а их элементам присвоить значения, определяемые условиями задачи, возможно после редукции, а доминирующие альтернативы дорогие или дешевые исключить.

Метод представляет собой процедуру, состоящую из следующих шагов:

1.Находим в каждой строке матрицы С минимальный элемент и вычитаем его из каждого элемента этой строки. Если в полученной матрице окажутся столбцы, не содержащие нулевых элементов, то в каждом из них находим минимальный элемент и вычитаем его из всех элементов этого столбца. Таким образом, приходим к матрице, каждая строка и каждый столбец которой содержат, по меньшей мере, один нулевой элемент.

2.Если в полученной матрице можно выбрать по одному нулевому элементу так, чтобы соответствующие этим элементам решение было допустимым(то есть каждому исполнителю назначена была одна работа и каждая работа выполнялась одним исполнителем), то данное (нулевое) назначение будет оптимальным. Иначе переходим к следующему пункту.

3.Ищется минимальное множество строк и столбцов, содержащие нули. Далее вне этого множества находим минимальный элемент и вычитаем его из всех элементов приведенной матрицы. Затем преобразуем матрицу таким образом, чтобы не было отрицательных элементов. Эта процедура эквивалентна следующей: минимальный элемент вычитаем из элементов, не содержащих нулевые строки и столбцы. На пересечении этих вычеркнутых строк и столбцов, содержащих нулевые элементы, этот минимальный элемент прибавляется элементам приведенной матрицы, а остальные элементы вычеркнутых столбцов и строк берутся без изменения.

III.Практическая часть. Задача о назначениях.

Решение венгерским методом

Некоторая компания имеет четыре сбытовые базы и четыре заказа, которые необходимо доставить различным потребителям. Складские помещения каждой базы вполне достаточны, для, того, чтобы вместить один из этих заказов. В нижеприведенной таблице содержится информация о расстоянии между каждой базой и каждым потребителем. Как следует распределить заказы по сбытовым базам, чтобы общая дальность транспортировки была минимальной?

Для нахождения оптимального решения воспользоваться «венгерским методом».

Строим матрицу:

Решим ее венгерским методом.

1. Найдем в каждой строке минимальное значение и вычтем его из каждого элемента данной строки,(отмечены полужирным курсивом).

68 72 74 83 0 4 6 15

56 60 58 63 Получим 0 4 2 7

38 40 35 45матрицу: 3 5 0 10

47 42 40 45 7 2 0 5

2.Выберем в каждом столбце матрицы минимальный элемент и вычтем его из каждого элемента данного столбца: (отмечены полужирным курсивом).

0 4 6 15 0 2 6 10

3 5 0 10 3 3 0 5

7 2 0 5 7 0 0 0

3.Определяем число нулей в каждой строке: 1-1, 2-1, 3-1, 4-3и в каждом столбце: 1-2, 2-1, 3-2, 4-1. Максимальное число нулей (3) содержит 4-я строка и 1-й и 3-й столбец. Минимальным числом прямых вычеркнем все нули в матрице. Среди не вычеркнутых элементов выберем минимальный (выделен полужирным курсивом и подчеркнут – 2).

0 2 6 10

Прибавим его к элементам, стоящим на пересечении прямых и вычтем из всех не вычеркнутых элементов. Теперь перераспределим соответствующие назначения сбытовых баз и потребителей.

Получим скорректированную матрицу с назначениями для нулевых клеток:

Вычеркнем из матрицы ненужные нули:

0 0 7 8

0 0 2 0

3 1 0 3

9 0 2 0

Теперь требование о размещении четырех назначений в клетки с нулевой стоимостью выполняется, следовательно полученное решение является оптимальным. Перевозки осуществляются со сбытовой базы 1-к потребителю 1, с базы 2- к потребителю 2, с базы 3 – к потребителю 3 и с базы 4 – к потребителю 4. В результате в начальной таблице суммируются клетки, соответствующие выбранным элементам итоговой таблицы(по диагонали – 68+60+35+45=208), это и будет минимальное решение данной задачи.

Ответ: заказы по сбытовым базам распределены оптимально, общая дальность минимальна – 208 км.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Линейное программирование, математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных неравенств и равенств. Линейное программирование является одним из разделов математического программирования. В данном курсовом проекте был рассмотрен метод линейного программирования,на примере задачи: венгерский метод.

Суть венгерского метода состоит в следующем: путем прибавления определенным образом найденных чисел к некоторым столбцам и вычитания из них некоторых чисел находят систему так называемых независимых нулей. Набор нулей называется системой независимых нулей, если какие два9или больше) нуля не лежат на одной линии (в строке или столбце). Если число независимых нулей равно n, то приняв соответствующие им переменные xij равными 1, а все остальные – равными 0, получаем оптимальный план назначения.

Алгоритм венгерского метода состоит из предварительного шага и не более чем (n-2) последовательно повторяющихся итераций. На предварительном этапе в случае решения задачи на максимум, ее преобразуют в эквивалентную задачу на минимум. На этом же этапе выделяется система независимых нулей. Каждая последующая итерация направлена на увеличение хотя бы на 1 числа независимых нулей. Как только число независимых нулей k станет равным размерности матрицы (k=n), задача решена. Оптимальный план назначения определится положением независимых нулей на последней итерации.

Разработанная программа позволяет контролировать процесс ввода исходных данных путем вывода на экран соответствующих комментариев о некорректности вводимых показателей, что помогает своевременно устранить заведомо неверный исход решения задачи. У пользователя имеется возможность наблюдать за процессом решения, поскольку на экран выводятся результаты каждого этапа, согласно методике решения данного типа задач. Программный продукт можно использовать при изучении курса экономико-математические методы и модели в целях контроля правильности решения задач о назначениях венгерским методом, а также на предприятиях, где необходимо решить проблему по размещению кадров для осуществления экономически целесообразной деятельности.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И ИСТОЧНИКОВ

1. Агальцов, В.П. «Математические методы в программировании»: учебник. В.П. Агальцов, И.В. Волдайская. - М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2009 г.

2. Акулич И. А. «Математическое программирование в примерах и задачах». - М.: «Высшая школа», 2010.

3. Ашманов С.А. «Линейное программирование»,- М.: 2011г.

4. Балдин.К.В. «Математическое программирование»/ К.В.Балдин – М: Издательство «Дашков и К», 2009.

5. Васильев Ф.П., «Линейное программирование»/ Ф.П., Васильев, А.Ю. Иваницкий,2009.

6. Вершик А.М. «О Л.В. Канторовиче и линейном программировании»,2010г

7. Глебова Н.В. «Применение методов линейного программирования для решения экономических задач»: учебно –методическое пособие для студентов 3 курса ВВАГС, 2001 г.

8. Карасев А.Н. «Математические методы в экономике»/ А.Н.Карасев,Н.Ш.Кремер,Т.Н.Савельева,2010.

9. Лищенко А.В., «Линейное и нелинейное программирование»,2011.

10. Партыка, Т.Л. «Математические методы»: учебник. / Т.Л. Партыка, И.И.2009г.

11. Цирель, С. В. «Венгерский способ»/ С. Цирель. Москва: УРСС, 2007 г.

12. Шапкин, А.С. «Математические методы» / А. Шапкин. Учебник. Москва, 2010 г.

Вершик А.М. «О Л.В. Канторовиче и линейном программировании»,2010г.,с.45

Агальцов, В.П. «Математические методы в программировании»: учебник. В.П. Агальцов, И.В. Волдайская. - М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2009 г. - 224 с.: ил.

Шапкин, А.С. «Математические методы» / А. Шапкин. Учебник. Москва, 2010.- 104 с.

Ашманов С.А. «Линейное программирование»,- М.: 2011г,с.235

Балдин.К.В. «Математическое программирование»/ К.В.Балдин – М: Издательство «Дашков и К», 2009.с.67

Васильев Ф.П., «Линейное программирование»/ Ф.П., Васильев, А.Ю. Иваницкий,2009,с.76

Шапкин, А.С. «Математические методы» / А. Шапкин. Учебник. Москва, 2010- 100 с

Лищенко А.В., «Линейное и нелинейное программирование»,2011.С.84

Хазанова Л.Э. «Математическое программирование в экономике»: Учебное пособие. - М.: Издательство БЕК, 2008. - 141с.

Акулич И. А. «Математическое программирование в примерах и задачах». - М.: «Высшая школа», 2010.с 319

Карасев А.Н. «Математические методы в экономике»/ А.Н.Карасев,Н.Ш.Кремер,Т.Н.Савельева,2010.с.35

Акулич И. А. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.: «Высшая школа», 2010- 319 с.

Цирель, С. В. «Венгерский способ»/ С. Цирель. Москва: УРСС, 2007.- 120 с.

Цирель, С. В. Венгерский способ/ С. Цирель. Москва: УРСС, 2007.- 120 с.

Глебова Н.В. «Применение методов линейного программирования для решения экономических задач»: учебно –методическое пособие для студентов 3 курса ВВАГС, 2001.,с.53

Теорема 1.

Для того чтобы вариант назначения был оптимальным, необходимо и достаточно существование чисел таких, что

для из базиса

Метод потенциалов

Значения переменных можно расставить произвольно, например, методом максимального элемента или методом Фогеля. Для вычисления потенциалов необходимо, чтобы число базисных переменных было равно . Поэтому в число базисных переменных введем базисных нулей. Последние должны быть расставлены так, чтобы базисные элементы матрицы не образовывали циклов.

Вычисляются потенциалы, затем для небазисных пар индексов определяются оценки по формуле

Если все оценки неотрицательны , то процесс окончен: совокупность переменных соответствует оптимальному варианту назначения. Если имеются отрицательные оценки , то вариант выбора не является оптимальным и его следует улучшить. Для этого находим наименьшую отрицательную оценку (пусть это будет и строим цикл пересчета, который замыкается на разрешающей клетке .

Означим вершины цикла: начиная с вершины в разрешающей клетке, ставим знак «+», следующей вершине присваиваем знак «-» и так далее, поочередно, пока не пройдем все вершины. Определяем величину корректировки , которая равна минимальному значению переменной из переменных , принадлежащих вершинам отрицательного полуцикла. Далее вносим изменения в наш вариант назначения: переменные из отрицательного полуцикла уменьшаем на , переменные из положительного полуцикла увеличиваем на эту же величину; остальные переменные остаются без изменения. В результате получим новое назначение.

Задача является сильно вырожденной, в которой число базисных нулей равно . Критерий оптимальности предъявляет одинаковые требования к положительным переменным и к базисным нулям, поэтому в процессе решения результативные итерации часто чередуются холостыми.

Венгерский метод

Рассмотри задачу о назначениях с матрицей эффективностей

В соответствии с постановкой этой задачи, решить её - значит, иными словами, выбрать в матрице С элементов, по одному из каждой строки и каждого столбца так, чтобы сумма выбранных элементов, равная общей эффективности, соответствующей данному выбору, была наибольшей по сравнению с её значениями при всех других таких выборах. Эту задачу можно свести к выбору нулевых элементов, по одному в каждом столбце и каждой строке, в некоторой матрице с неотрицательными элементами, в которой в каждой строке и каждом столбце есть нули.

Две матрицы и назовем эквивалентными , если одна из них получается из другой прибавлением к элементам каждой строки одного и того же числа (для разных строк эти числа могут быть разными) и прибавлением к элементам каждого столбца одного и того же числа (для разных столбцов эти числа могут быть различны)

Теорема 2 (Эгервари).

Множества оптимальных назначений двух задач выбора с эквивалентными матрицами совпадают.

Приведённая теорема позволяет, если это требуется, переходить от данной задачи выбора с матрицей к задаче выбора с любой другой матрицей , при условии, что эквивалентна .

Алгоритм венгерского метода

Предварительный этап

Шаг 1. Переходим от задачи на максимум к задаче на минимум, т.е. . Теперь перейдем от задачи на минимум с матрицей к задаче на минимум с эквивалентной ей матрицей, которая имела бы только неотрицательные элементы, и в каждой строке и каждом столбце которой было бы хотя бы по одному нулевому элементу. Для этого сначала из большего элемента каждого столбца матрицы вычтем элементы того же столбца матрицы , результат поместим на место вычитаемого:

Получится неотрицательная матрица , в каждом столбце которой есть хотя бы один нуль.

Шаг 2. Теперь вычтем из элементов каждой строки матрицы минимальный элемент той же строки матрицы , результат остаётся на месте уменьшаемых элементов:

Полученная матрица и будет неотрицательной матрицей, в каждом столбце и в каждой строке которой есть хотя бы один нуль.

Наименьшее возможное значение суммы элементов неотрицательной матрицы равно, очевидно, нулю. Таким образом, наша задача сводится теперь к выбору в матрице , или эквивалентной ей матрице с неотрицательными элементами нулевых элементов, по одному в каждой строке и каждом столбце. Покажем, как это сделать. Неформальный смысл приводимого ниже алгоритма заключается в последовательных переходах от одного правильного неполного выбора нулей к другому, содержащему на один нуль больше, чем предыдущий, до тех пор, пока не получится полный правильный выбор. При этом на отдельных этапах может потребоваться переход к новой матрице, эквивалентной предыдущей.

Пусть уже проделаны предварительные преобразования матрицы эффективностей данной задачи и получена неотрицательная матрица , содержащая хотя бы по одному нулевому элементу в каждой строке и каждом столбце.

Основной этап

1. Отмечаем звездочкой () какой-нибудь нуль в первом столбце матрицы ;отмечаем звездочкой какой-нибудь нуль во втором столбце, не лежащий в той строке, в которой находится из первого столбца (если такой нуль во втором столбце найдется); отмечаем звездочкой один из нулей третьего столбца, лежащий в строке, где нет еще нуля со звездочкой (если такой нуль в третьем столбце найдется); и так далее, пока не пройдем все столбцы матрицы.

Если число отмеченных звездочкой нулей равно , то процесс окончен: места, занимаемые нулями со звездочкой, соответствуют переменным равным 1, в оптимальном варианте назначения.

Если нулей со звездочкой меньше , то

2. Помечаем знаком «+» сверху столбцы матрицы, в которых есть , и считаем эти столбцы занятыми.

В процессе решения будут появляться и занятые строки. Элементы, стоящие на пересечении незанятой строки и незанятого столбца будем считать незанятыми; остальные элементы - занятыми.

Если в матрице нет незанятых нулей, то переходим к пункту 5.

Если незанятые нули есть, то выбираем первый из них (просматривая поочередно строки слева направо). Отмечаем его каким-нибудь промежуточным значком (например, штрихом ). Если в его строке нет нуля со звездочкой, то переходим к п.4; если в его строке есть, то

3. Столбец, в котором находится , лежащий в той же строке, что и только что отмеченный штрихом нуль, считаем снова незанятым и знак «+» сверху снимаем. Строку, в которой находится наш объявляем занятой и помечаем знаком «+» справа. Возвращаемся к третьему абзацу пункта 2.

4. Строим цепочку из нулей: начинаем с только что отмеченного штрихом нуля (), идем по столбцу до , от него по строке к , и т.д., пока это возможно. Цепочка оборвется на каком-то (возможно на первом же ). Звездочки у нулей в цепочке снимаем, а вместо штрихов у нулей в цепочке ставим звездочки. Получим новый набор нулей со звездочкой, который содержит на один нуль больше, чем предыдущий набор.

Снимаем все пометки, кроме звездочек, и возвращаемся ко второму абзацу пункта 1.

5. Находим минимальный элемент среди незанятых элементов матрицы (пусть он будет равен ) и вычитаем его из всех незанятых элементов, а затем прибавляем ко всем дважды занятым элементам. Остальные элементы переписываем без изменения. Никакие пометки при этом не снимаются. Получается матрица, эквивалентная предыдущей, и содержащая незанятые нули. Возвращаемся к четвертому абзацу п.2.

Рассмотрим следующий пример. Пусть для выполнения пяти различных работ имеется пять человек. Из отчетных данных известно, какое время требуется каждому из них для выполнения каждой работы. Эти данные приведены в таблице.

В данном случае величины представляют собой затраты времени каждого работника на выполнение каждой из работ, а величины равны либо 1, либо 0, причем равен 1, если работник i назначен на работу j, и 0 во всех остальных случаях. Таким образом задача сводится к минимизации функции. стоимость маршрут линейный программирование

при следующих ограничениях.

Ясно, что если отбросить последнее условие и заменить его условием

То получается транспортная задача, в которой все потребности и все ресурсы равны единице. В оптимальном решении все равны либо целому числу, либо нулю, причем единственным возможным целым является единица. Таким образом, решение транспортной задачи при этих условиях всегда приводит к равенству.

Однако вследствие вырожденности методы решения транспортных задач в случае задачи о назначении оказываются малоэффективными. При любом назначении всегда автоматически совпадают поставки по строке со спросом по столбцу и поэтому вместо 2n-1 получаем n ненулывых значений. В связи с этим необходимо заполнить матрицу n-1 величинами е, и может оказаться, что ненулевые значения определяют оптимальное решение, однако проверка его не обнаруживает, так как величины е расставлены неверно.

Метод решения задачи о назначении основан на двух довольно очевидных теоремах. Первая из них утверждает, что решение не изменится, если прибавить к любому столбцу или строке матрицы некоторую константу или вычесть ее из них. Эта теорема точно формулируется следующим образом:

Теорема 1.

Если минимизирует

по всем, таким что и

то минимизирует также функционал

где при всех

Теорема 2.

Если все и можно отыскать набор такой, что

то это решение оптимально.

Вторая теорема очевидна. Для доказательства первой теоремы заметим, что

Вследствие того что величины, вычитаемые из Z с целью получения, не зависят от, достигает минимума всегда, когда минимизируется Z, и наоборот.

Разработанный метод решения сводится к прибавлению констант к строкам и столбцам и вычитанию их из строк и столбцов до тех пор, пока достаточное число величин не обращается в нуль, что дает решение, равное нулю.

Отыскание решения начинают, вычитая наименьший элемент из каждой строки, а затем из каждого столбца. В таблице даны результаты для приведенного выше примера.

Таблица А)

Таблица Б)

Из столбцов и строк было вычтено всего 10 единиц. Поэтому для правильной оценки любого решения, получаемого при использовании таблицы (Б), необходимо прибавить к результату 10 единиц

Прежде всего стремятся отыскать решение, включающее лишь те клетки таблицы (Б),в которых стоят нулевые элементы, поскольку такое решение, если его удается найти, будет наилучшим из всех возможных. Однако встречаются случаи, когда несколько решений имеют одинаковое качество. Допустимое решение помечено в таблице (Б) скобками. Однако, для того чтобы определить, возможно ли улучшение решения, применяется следующий алгоритм.

Заметим предварительно, что любое дальнейшее вычитание из строки или столбца, хотя и может приводить к появлению новых нулей, неизбежно приводит в появлению отрицательных элементов, так что нулевое решение теперь не обязательно будет оптимальным. Однако отрицательные элементы можно исключить, прибавляя соответствующие числа к строкам или столбцам. Так например, если вычесть 2 из столбца 1 в таблице (Б), то в строке 1 появится элемент - 2. Если теперь прибавить 2 к строке 1, то вновь получим матрицу с неотрицательными элементами. Задача заключается в том, чтобы получать новые нули указанным способом, но вместе с тем в конечном счете получить матрицу, содержащую решение среди одних нулей. Можно доказать, что описываемый ниже алгоритм обеспечивает решение этой задачи.

1. Провести минимальное число горизонтальных и вертикальных прямых, пересекающих по крайней мере один раз все нули. Выполнение этого шага для таблицы (Б) дает результат в таблице 1.

Таблица 1

Заметим, что в данном случае используется только четыре линии, а следовательно, нулевые клетки не содержат оптимального решения.

• 2. Выбрать наименьший элемент, через который не проведена линия. В примере это 1 в клетке (5,2).
• 3. Вычесть это число из всех элементов, через которые не проведена ни одна линия, и прибавить его ко всем элементам, через которые проведены две линии. В данном примере получается результат, показанный в таблице 2.

Таблица 2

Этот шаг должен приводить к появлению нуля в клетке, где его ранее не было. В рассматриваемом примере это клетка (5,2).

4. Определить, имеется ли решение среди нового набора нулей. Если решение не обнаруживается (в данном примере оно отсутствует), то вернуться к шагу 1 и выполнить все последующие шаги, пока не будет найдено решение. продолжая рассматривать данный пример, получаем результат, приведенный в таблице 3.

Таблица 3

В этой таблице уже содержится решение, помеченное скобками и имеющее значение 13, что на 1 лучше исходного допустимого решения. , .

Пример 2.

Представлено четыре студента и четыре вида работ. Следующая таблица соответствует матрице стоимостей для этой задачи.

Выполним первый шаг алгоритма.

Теперь вычтем минимальные стоимости из элементов соответствующих строк.

На втором шаге алгоритма находим минимальные значения по столбцам и вычитаем их из элементов соответствующих столбцов. В результате получим матрицу, представленную в следующей таблице.

В последней матрице расположение нулевых элементов не позволяет назначить каждому ребенку одну работу. Например, если мы назначим Даше уборку гаража, из дальнейшего рассмотрения исключается первый столбец и тогда, в строке Аллы не окажется нулевых элементов.

• 1) В последней матрице проведем минимальное число горизонтальных и вертикальных прямых по строкам и столбцам с тем, чтобы вычеркнуть все нулевые элементы.
• 2) Найдем наименьший невычеркнутый элемент и вычтем его из остальных невычеркнутых элементов и прибавим к элементам, стоящим на пересечении проведенных прямых.

В задаче данного примера требуется провести три прямых, это приводит к следующей таблице:

Наименьший невычеркнутый элемент равен 1. Этот элемент вычитаем из остальных невычеркнутых элементов и прибавляем к элементам, стоящим на пересечении прямых. В результате получим матрицу, представленную в следующей таблице.

Оптимальное решение, показанное в таблице, предлагает Даше убрать гараж, Кате стричь газоны, Алле мыть машины, а Саше выгуливать собак. Соответствующее значение целевой функции равно 1+10+5+5=21. Такое же значение можно получить путем суммирования значений и и значения элемента, наименьшего среди всех невычеркнутых.