Фраза о том, что все новое - это не что иное, как хорошо забытое старое, в полной мере относится к Оказывается, что еще в древнем Китае уже применяли нечто, напоминающее наши «единичка-нолик», правда не для арифметики, а для написания текстов книги Перемен. Ближе всех к пониманию разных систем счисления были инки: они использовали и десятичную, и двоичную системы, правда, последнюю только для текстовых и кодированных сообщений. Можно предположить, что уже тогда, 4 тыс. лет назад, инки знали, как делается перевод из двоичной в десятичную систему.

Современный вариант был предложен Лейбницем всего-то около 300 лет назад, а спустя еще полтора века оставил свое имя в памяти потомков работой по алгебре логики. Двоичная арифметика совместно с алгеброй логики стала фундаментом нынешней цифровой техники. А началось все в 1937 году, когда был предложен метод символического анализа релейных и переключательных схем. Эта работа Клода Шенона стала «мамой» для релейного компьютера, выполнявшего двоичное сложение уже в 1937 году. И, конечно же, одной из задач этого «прадедушки» современных компьютеров был перевод из двоичной в десятичную систему.

Прошло всего три года и очередная модель релейного «компьютера» посылала команды калькулятору используя телефонную линию и телетайп - ну прямо древний интернет в действии.

Что же представляют собой двоичная, десятичная, шестнадцатеричная и, вообще говоря, любая N-ичная система? Да ничего сложного. Возьмем трехзначное число в нашей любимой десятичной системе, оно изображается при помощи 10 знаков - от 0 до 9 с учетом их расположения. Определимся, что цифры этого числа находятся на позициях 0, 1, 2 (порядок идет от последней цифры к первой). На каждой из позиций может находиться любое из чисел системы, однако величина этого числа определяется не только его начертанием, но и местом положения. Например, для числа 365 (соответственно, позиция 0 - цифра 5, позиция 1 - цифра 6, и позиция 2 - цифра 3) значение числа на нулевой позиции - просто 5, на первой позиции - 6*10, и на второй - 3*10*10. Здесь любопытно, что начиная с первой позиции, число содержит значащую цифру (от 0 до 9) и основание системы в степени равной номеру позиции, т.е. можно записать, что 345 = 3*10*10 + 6*10 +3 = 3*102 + 6*101 + 5*100.

Еще пример:

260974 = 2*105 + 6*104 + 0*103 + 9*102 + 7*101 + 4*100.

Как видим, каждое позиционное место содержит значащее число из набора данной системы, и множитель из основания системы в степени равной позиции данного числа (разрядность числа это есть количество позиций, но на +1 больше).

С точки зрения представления числа, его двоичная форма озадачивает своей простотой - только 2 числа в системе - 0 и 1. Но красота математики в том, что даже в усеченном виде, как может показаться, двоичные числа такие же полноценные и равноправные, как и их более «рослые товарищи». Но как же их сравнивать, например, с десятичным числом? Как вариант, нужно сделать, и не торопясь, перевод из двоичной в десятичную. Задачу не назовешь трудной, но эта кропотливая работа требует внимания. Итак, начнем.

Исходя из сказанного выше о порядке представления чисел в любой системе, и имея в виду простейшую из них - двоичную, возьмем любую последовательность «единичек-ноликов». Назовем это число VO (по-русски ВО), и попробуем узнать, что это такое - перевод из двоичной в десятичную систему. Пусть это будет VO=11001010010. На первый взгляд, число как число. Посмотрим!

В первой строке расположим само число в растянутом виде, а вторую распишем как сумму каждой позиции в виде сомножителей - значащей цифры (здесь выбор небольшой - 0 или 1) и числа 2 в степени, равной позиционному числу в десятичной системе, мы же делаем перевод из двоичной в десятичную. Теперь во второй строке нужно просто выполнить вычисления. Для наглядности можно дописать еще и третью строку с промежуточными вычислениями.

VO = 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0;

VO = 1*210 + 1*29 + 0*28 + 0*27 + 1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20;

VO=1*1024 + 1*512+0*256+0*128+ 1*64 + 0*32 + 1*16 + 0*8 +0*4 + 1*2 + 0*1.

Вычисляем «арифметику» в третьей строке и имеем то, что искали: VO = 1618. Ну и что же тут замечательного? А то, что это число - самое знаменитое из всех, которые известны людям: с ним связаны пропорции египетских пирамид, знаменитой Джоконды, музыкальных нот и человеческого тела, но… Но с небольшим уточнением - зная, что хорошего должно быть много, его величество случай дал нам это число в 1000 раз больше настоящего значения - 1,618. Наверное, чтобы всем досталось. А попутно перевод из двоичной системы в десятичную помог из бесконечного моря чисел «выловить» самое замечательное - его еще называют «золотая пропорция».

Самой короткой системой счисления является двоичная. Она полностью основана на позиционной форме записи числа. Основной характеристикой считается принцип удвоения цифры при выполнении перехода от определённой позиции к последующей. Из одной системы счисления в другую можно осуществить перевод как при помощи специальной программы, так и вручную.

Вконтакте

Историческое признание

Появление двоичной СС в истории связано с учёным математиком В.Г. Лейбницем. Именно он впервые заговорил о правилах выполнения операций с числовыми значениями данного рода. Но первоначально этот принцип остался невостребованным . Мировое признание и применение алгоритм получил на заре возникновения вычислительных машин.

Удобство и несложность выполнения операций привели к необходимости более детального изучения данного подраздела арифметики, который стал незаменимым при развитии компьютерной технологии с программным обеспечением. Впервые такие механизмы появились на немецком и французском рынках.

Внимание! Конкретную точку над превосходством двоичной системы по отношению десятичной, именно в данной отрасли, было поставлено в 1946 году и обосновано в статье А. Бекса, Х. Гольдстайна и Дж.Фон Неймана.

Перевод числа из десятичной системы счисления в двоичную.

Особенности двоичной арифметики

Вся двоичная СС основана на применении только двух символов , которые очень точно совпадают с особенностями цифровой схемы. Каждый из символов отвечает за определённое действие, которое зачастую подразумевает два состояния:

• наличие отверстия или его отсутствие, к примеру, перфокарты или перфоленты;
• на магнитных носителях отвечает за состояние намагничивания или размагничивания;
• по уровню сигнала, высокий или низкий.

В науке, в которой применяется СС, введена определённая терминология, суть ее состоит в следующем:

• Бит – двоичный разряд , который состоит из двух составляющих, несущих в себе определённый смысл. Размещённый слева, определяется как старший и является приоритетным, а справа – младшим, являющийся менее весомым.
• Байт – это единица, которая состоит из восьми битов .

Многие модули воспринимают и обрабатывают информацию порциями или словами . Каждое слово имеет разный вес и может состоять из 8-ми, 16-ти или 32-х битов .

Правила переводов из одной системы в другую

Одним из важнейших факторов арифметики машин является перевод из одной СС в другую . Поэтому обратим внимание на основные алгоритмы выполнения процесса, который покажет, как перевести число в двоичную систему.

Переводим десятичную систему в двоичную

Первоначально обратимся к вопросу, как осуществить перевод системы из десятичной в двоичную систему счисления. Для этого существует правило перевода из десятичных чисел в двоичный код, которое подразумевает математические действия .

Необходимо число, записанное в десятичном виде разделить на 2 . Деление выполнять до тех пор, пока в частном не останется единица . Если необходима двоичная система счисления перевод осуществляется так:

186:2=93 (ост. 0)

93:2=46 (ост. 1)

46:2=23 (ост. 0)

23:2=11 (ост. 1)

11:2=5 (ост. 1)

5:2=2 (ост.1)

После того, как процесс деления закончен, то единицу в частном и все остатки записываем последовательно в обратном делению порядке . То есть, 18610=1111010. Правило перевода десятичных чисел в СС надо соблюдать всегда.

Перевод числа из десятичной системы в двоичную.

Перевод из десятичной СС в восьмеричную

Аналогичный процесс проводится при переводе из десятичной СС в восьмеричную. Его ещё называют «правилом замещения ». Если в предыдущем примере деление данных осуществлялось на 2, то здесь необходимо делить на 8. Алгоритм перевода числа X10 в восьмеричную состоит из следующих шагов:

1. Число X10 начинают делить на 8. Полученное частное берём для следующего деления, а остаток записывается, как бит младшего порядка .
2. Продолжаем деление до тех пор, пока не получим в результат частного равного нулю или остаток, который по своему значению меньше восьми . При этом все остатки записываем, как младшие порядки бита .

К примеру, необходимо перевести число 160110 в восьмеричное.

1601:8=200 (ост. 1)

200:8=25 (ост. 0)

25:8=3 (ост.1)

Итак, получим: 161010=31018.

Перевод из десятичной системы в восьмеричную.

Записываем десятичное число шестнадцатеричным

Перевод из десятичной в шестнадцатиричную СС осуществляется аналогично с использованием системы замещения. Но кроме цифр применяют ещё и буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F. Где A обозначает остаток 10, а F остаток 15. Десятичное число делят на 16. К примеру, переводим 10710 в шестнадцатеричную:

107:16=6 (ост. 11 – заменяем В)

6 – меньше, чем шестнадцать. Деление прекращаем и записываем 10710=6В16.

Переходим из другой системы в двоичную

Следующий вопрос, как преобразовать из восьмеричной в двоичную запись числа. Перевод чисел из любой системы в двоичную выполняется достаточно просто. Помощником в этом деле выступает таблица для систем счисления .

Запишите число в двоичной системе счисления, а степени двойки справа налево. Например, мы хотим преобразовать двоичное число 10011011 2 в десятичное. Сначала запишем его. Затем запишем степени двойки справа налево. Начнем с 2 0 , что равно "1". Увеличиваем степень на единицу для каждого следующего числа. Останавливаемся, когда число элементов в списке равно числу цифр в двоичном числе. Наше число для примера, 10011011, включает в себя восемь цифр, поэтому список из восьми элементов будет выглядеть так: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

Запишите цифры двоичного числа под соответствующими степенями двойки. Теперь просто запишите 10011011 под числами 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, и 1, с тем чтобы каждая двоичная цифра соответствовала своей степени двойки. Самая правая "1" двоичного числа должна соответствовать самой правой "1" из степеней двоек, и так далее. Если вам удобнее, вы можете записать двоичное число над степенями двойки. Самое важное – чтобы они соответствовали друг другу.

Соедините цифры в двоичном числе с соответствующими степенями двойки. Нарисуйте линии (справа налево), которые соединяют каждую последующую цифру двоичного числа со степенью двойки, находящейся над ней. Начните построение линий с соединения первой цифры двоичного числа с первой степенью двойки над ней. Затем нарисуйте линию от второй цифры двоичного числа ко второй степени двойки. Продолжайте соединять каждую цифру с соответствующей степенью двойки. Это поможет вам визуально увидеть связь между двумя различными наборами чисел.

Запишите конечное значение каждой степени двойки. Пройдитесь по каждой цифре двоичного числа. Если эта цифра 1, запишите соответствующую степень двойки под цифрой. Если эта цифра 0, запишите под цифрой 0.

• Так как "1" соответствует "1", она остается "1". Так как "2" соответствует "1", она остается "2". Так как "4" соответствует "0", она становится "0". Так как "8" соответствует "1", она становится "8", и так как "16" соответствует "1" она становится "16". "32" соответствует "0" и становится "0", "64" соответствует "0" и поэтому становится "0", в то время как "128" соответствует "1" и становится 128.

В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.)

Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.

В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни.

Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд, а старый обнуляется.

Попробуем считать в двоичной системе:
0 – это ноль
1 – это один (и это предел разряда)
10 – это два
11 – это три (и это снова предел)
100 – это четыре
101 – пять
110 – шесть
111 – семь и т.д.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

Не трудно заметить, что в двоичной системе счисления длины чисел с увеличением значения растут быстрыми темпами. Как определить, что значит вот это: 10001001? Непривычный к такой форме записи чисел человеческий мозг обычно не может понять сколько это. Неплохо бы уметь переводить двоичные числа в десятичные.

В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д. Например:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0

Посмотрите на эту запись внимательно. Здесь цифры 1, 4, 7 и 6 - это набор цифр из которых состоит число 1476. Все эти цифры поочередно умножаются на десять возведенную в ту или иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы.

Аналогично можно разложить и любое двоичное число. Только основание здесь будет 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Т.е. число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10. Записать это можно так:

10001001 2 = 137 10

Почему двоичная система счисления так распространена?

Дело в том, что двоичная система счисления – это язык вычислительной техники. Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе. Если это десятичная система, то придется создать такое устройство, которое может быть в десяти состояниях. Это сложно. Проще изготовить физический элемент, который может быть лишь в двух состояниях (например, есть ток или нет тока). Это одна из основных причин, почему двоичной системе счисления уделяется столько внимания.

Перевод десятичного числа в двоичное

Может потребоваться перевести десятичное число в двоичное. Один из способов – это деление на два и формирование двоичного числа из остатков. Например, нужно получить из числа 77 его двоичную запись.

Замечание 1

Если вы хотите перевести число из одной системы счисления в другую, то удобнее для начала перевести его в десятичную систему счисления, и уже только потом из десятичной перевести в любую другую систему счисления.

Правила перевода чисел из любой системы счисления в десятичную

В вычислительной технике, использующей машинную арифметику, большую роль играет преобразование чисел из одной системы счисления в другую. Ниже приведем основные правила таких преобразований (переводов).

При переводе двоичного числа в десятичное требуется представить двоичное число в виде многочлена , каждый элемент которого представлен в виде произведения цифры числа и соответствующей степени числа основания, в данном случае $2$, а затем нужно вычислить многочлен по правилам десятичной арифметики:

$X_2=A_n \cdot 2^{n-1} + A_{n-1} \cdot 2^{n-2} + A_{n-2} \cdot 2^{n-3} + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Рисунок 1. Таблица 1

Пример 1

Число $11110101_2$ перевести в десятичную систему счисления.

Решение. Используя приведенную таблицу $1$ степеней основания $2$, представим число в виде многочлена:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_{10}$

Для перевода числа из восьмеричной системы счисления в десятичную требуется представить его в виде многочлена, каждый элемент которого представлен в виде произведения цифры числа и соответствующей степени числа основания, в данном случае $8$, а затем нужно вычислить многочлен по правилам десятичной арифметики:

$X_8 = A_n \cdot 8^{n-1} + A_{n-1} \cdot 8^{n-2} + A_{n-2} \cdot 8^{n-3} + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Рисунок 2. Таблица 2

Пример 2

Число $75013_8$ перевести в десятичную систему счисления.

Решение. Используя приведенную таблицу $2$ степеней основания $8$, представим число в виде многочлена:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_{10}$

Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную необходимо его представить в виде многочлена, каждый элемент которого представлен в виде произведения цифры числа и соответствующей степени числа основания, в данном случае $16$, а затем нужно вычислить многочлен по правилам десятичной арифметики:

$X_{16} = A_n \cdot 16^{n-1} + A_{n-1} \cdot 16^{n-2} + A_{n-2} \cdot 16^{n-3} + ... + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Рисунок 3. Таблица 3

Пример 3

Число $FFA2_{16}$ перевести в десятичную систему счисления.

Решение. Используя приведенную таблицу $3$ степеней основания $8$, представим число в виде многочлена:

$FFA2_{16} = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_{10}$

Правила перевода чисел из десятичной системы счисления в другую

• Для перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную его необходимо последовательно делить на $2$ до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный $1$. Число в двоичной системе представить как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример 4

Число $22_{10}$ перевести в двоичную систему счисления.

Решение:

Рисунок 4.

$22_{10} = 10110_2$

• Для перевода числа из десятичной системы счисления в восьмеричную его необходимо последовательно делить на $8$ до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный $7$. Число в восьмеричной системе счисления представить как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример 5

Число $571_{10}$ перевести в восьмеричную систему счисления.

Решение:

Рисунок 5.

$571_{10} = 1073_8$

• Для перевода числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на $16$ до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный $15$. Число в шестнадцатеричной системе представить как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример 6

Число $7467_{10}$ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

Рисунок 6.

$7467_{10} = 1D2B_{16}$

Для того чтобы перевести правильную дробь из десятичной системы счисления в недесятичную, необходимо дробную часть преобразуемого числа последовательно умножить на основание той системы, в которую ее требуется перевести. Дробь в новой системе будет представлена в виде целых частей произведений, начиная с первого.

Например: $0,3125_{(10)}$ в восьмеричной системе счисления будет выглядеть как $0,24_{(8)}$.

В данном случае можно столкнуться с проблемой, когда конечной десятичной дроби может соответствовать бесконечная (периодическая) дробь в недесятичной системе счисления. В данном случае количество знаков в дроби, представленной в новой системе, будет зависеть от требуемой точности. Также нужно отметить, что целые числа остаются целыми, а правильные дроби - дробями в любой системе счисления.

Правила перевода чисел из двоичной системы счисления в другую

• Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в восьмеричную, его необходимо разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, затем каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой согласно таблице 4.

Рисунок 7. Таблица 4

Пример 7

Число $1001011_2$ перевести в восьмеричную систему счисления.

Решение . Используя таблицу 4, переведем число из двоичной системы счисления в восьмеричную:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, его следует разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, затем каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой согласно таблице 4.