Линия регрессии является графическим отражением взаимосвязи между явлениями. Очень наглядно можно построить линию регрессии в программе Excel.

Для этого необходимо:

1.Открыть программу Excel

2.Создать столбцы с данными. В нашем примере мы будем строить линию регрессии, или взаимосвязи, между агрессивностью и неуверенностью в себе у детей-первоклассников. В эксперименте участвовали 30 детей, данные представлены в таблице эксель:

1 столбик — № испытуемого

2 столбик — агрессивность в баллах

3 столбик — неуверенность в себе в баллах

3.Затем необходимо выделить оба столбика (без названия столбика), нажать вкладку вставка , выбрать точечная , а из предложенных макетов выбрать самый первый точечная с маркерами .

4.Итак у нас получилась заготовка для линии регрессии — так называемая — диаграмма рассеяния . Для перехода к линии регрессии нужно щёлкнуть на получившийся рисунок, нажать вкладку конструктор, найти на панели макеты диаграмм и выбрать Ма кет9 , на нем ещё написано f(x)

5.Итак, у нас получилась линия регрессии. На графике также указано её уравнение и квадрат коэффициента корреляции

6.Осталось добавить название графика, название осей. Также по желанию можно убрать легенду, уменьшить количество горизонтальных линий сетки (вкладка макет , затем сетка ). Основные изменения и настройки производятся во вкладке Макет

Линия регрессии построена в MS Excel. Теперь её можно добавить в текст работы.

Пакет MS Excel позволяет при построении уравнения линейной регрессии большую часть работы сделать очень быстро. Важно понять, как интерпретировать полученные результаты. Для построения модели регрессии необходимо выбрать пункт Сервис\Анализ данных\Регрессия (в Excel 2007 этот режим находится в блоке Данные/Анализ данных/Регрессия). Затем полученные результаты скопировать в блок для анализа.

Регрессионный анализ является одним из самых востребованных методов статистического исследования. С его помощью можно установить степень влияния независимых величин на зависимую переменную. В функционале Microsoft Excel имеются инструменты, предназначенные для проведения подобного вида анализа. Давайте разберем, что они собой представляют и как ими пользоваться.

Подключение пакета анализа

Но, для того, чтобы использовать функцию, позволяющую провести регрессионный анализ, прежде всего, нужно активировать Пакет анализа. Только тогда необходимые для этой процедуры инструменты появятся на ленте Эксель.

1. Перемещаемся во вкладку «Файл».
2. Переходим в раздел «Параметры».
3. Открывается окно параметров Excel. Переходим в подраздел «Надстройки».
4. В самой нижней части открывшегося окна переставляем переключатель в блоке «Управление» в позицию «Надстройки Excel», если он находится в другом положении. Жмем на кнопку «Перейти».
5. Открывается окно доступных надстроек Эксель. Ставим галочку около пункта «Пакет анализа». Жмем на кнопку «OK».

Теперь, когда мы перейдем во вкладку «Данные», на ленте в блоке инструментов «Анализ» мы увидим новую кнопку – «Анализ данных».

Виды регрессионного анализа

Существует несколько видов регрессий:

• параболическая;
• степенная;
• логарифмическая;
• экспоненциальная;
• показательная;
• гиперболическая;
• линейная регрессия.

О выполнении последнего вида регрессионного анализа в Экселе мы подробнее поговорим далее.

Линейная регрессия в программе Excel

Внизу, в качестве примера, представлена таблица, в которой указана среднесуточная температура воздуха на улице, и количество покупателей магазина за соответствующий рабочий день. Давайте выясним при помощи регрессионного анализа, как именно погодные условия в виде температуры воздуха могут повлиять на посещаемость торгового заведения.

Общее уравнение регрессии линейного вида выглядит следующим образом: У = а0 + а1х1 +…+акхк. В этой формуле Y означает переменную, влияние факторов на которую мы пытаемся изучить. В нашем случае, это количество покупателей. Значение x – это различные факторы, влияющие на переменную. Параметры a являются коэффициентами регрессии. То есть, именно они определяют значимость того или иного фактора. Индекс k обозначает общее количество этих самых факторов.

Разбор результатов анализа

Результаты регрессионного анализа выводятся в виде таблицы в том месте, которое указано в настройках.

Одним из основных показателей является R-квадрат. В нем указывается качество модели. В нашем случае данный коэффициент равен 0,705 или около 70,5%. Это приемлемый уровень качества. Зависимость менее 0,5 является плохой.

Ещё один важный показатель расположен в ячейке на пересечении строки «Y-пересечение» и столбца «Коэффициенты». Тут указывается какое значение будет у Y, а в нашем случае, это количество покупателей, при всех остальных факторах равных нулю. В этой таблице данное значение равно 58,04.

Значение на пересечении граф «Переменная X1» и «Коэффициенты» показывает уровень зависимости Y от X. В нашем случае - это уровень зависимости количества клиентов магазина от температуры. Коэффициент 1,31 считается довольно высоким показателем влияния.

Как видим, с помощью программы Microsoft Excel довольно просто составить таблицу регрессионного анализа. Но, работать с полученными на выходе данными, и понимать их суть, сможет только подготовленный человек.

Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.

Задайте свой вопрос в комментариях, подробно расписав суть проблемы. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.

Помогла ли вам эта статья?

Метод линейной регрессии позволяет нам описывать прямую линию, максимально соответствующую ряду упорядоченных пар (x, y). Уравнение для прямой линии, известное как линейное уравнение, представлено ниже:

ŷ - ожидаемое значение у при заданном значении х,

x - независимая переменная,

a - отрезок на оси y для прямой линии,

b - наклон прямой линии.

На рисунке ниже это понятие представлено графически:

На рисунке выше показана линия, описанная уравнением ŷ =2+0.5х. Отрезок на оси у - это точка пересечения линией оси у; в нашем случае а = 2. Наклон линии, b, отношение подъема линии к длине линии, имеет значение 0.5. Положительный наклон означает, что линия поднимается слева направо. Если b = 0, линия горизонтальна, а это значит, что между зависимой и независимой переменными нет никакой связи. Иными словами, изменение значения x не влияет на значение y.

Часто путают ŷ и у. На графике показаны 6 упорядоченных пар точек и линия, в соответствии с данным уравнением

На этом рисунке показана точка, соответствующая упорядоченной паре х = 2 и у = 4. Обратите внимание, что ожидаемое значение у в соответствии с линией при х = 2 является ŷ. Мы можем подтвердить это с помощью следу­ющего уравнения:

ŷ = 2 + 0.5х =2 +0.5(2) =3.

Значение у представляет собой фактическую точку, а значение ŷ - это ожидаемое значение у с использованием линейного уравнения при заданном значении х.

Следующий шаг - определить линейное уравнение, максимально соответствующее набору упорядоченных пар, об этом мы говорили в предыдущей статье, где определяли вид уравнения по методу наименьших квадратов.

Использование Excel для определения линейной регрессии

Для того, чтобы воспользоваться инструментом регрессионного анализа встроенного в Excel, необходимо активировать надстройку Пакет анализа . Найти ее можно, перейдя по вкладке Файл –> Параметры (2007+), в появившемся диалоговом окне Параметры Excel переходим во вкладку Надстройки. В поле Управление выбираем Надстройки Excel и щелкаем Перейти. В появившемся окне ставим галочку напротив Пакет анализа, жмем ОК.

Во вкладке Данные в группе Анализ появится новая кнопка Анализ данных.

Чтобы продемонстрировать работу надстройки, воспользуемся данными с предыдущей статьи, где парень и девушка делят столик в ванной. Введите данные нашего примера с ванной в столбцы А и В чистого листа.

Перейдите во вкладку Данные, в группе Анализ щелкните Анализ данных. В появившемся окне Анализ данных выберите Регрессия , как показано на рисунке, и щелкните ОК.

Установите необходимыe параметры регрессии в окне Рег­рессия , как показано на рисунке:

Щелкните ОК. На рисунке ниже показаны полученные результаты:

Эти результаты соответствуют тем, которые мы получили путем самостоя­тельных вычислений в предыдущей статье.

Регрессионный анализ - это статистический метод исследования, позволяющий показать зависимость того или иного параметра от одной либо нескольких независимых переменных. В докомпьютерную эру его применение было достаточно затруднительно, особенно если речь шла о больших объемах данных. Сегодня, узнав как построить регрессию в Excel, можно решать сложные статистические задачи буквально за пару минут. Ниже представлены конкретные примеры из области экономики.

Виды регрессии

Само это понятие было введено в математику Фрэнсисом Гальтоном в 1886 году. Регрессия бывает:

• линейной;
• параболической;
• степенной;
• экспоненциальной;
• гиперболической;
• показательной;
• логарифмической.

Пример 1

Рассмотрим задачу определения зависимости количества уволившихся членов коллектива от средней зарплаты на 6 промышленных предприятиях.

Задача. На шести предприятиях проанализировали среднемесячную заработную плату и количество сотрудников, которые уволились по собственному желанию. В табличной форме имеем:

Для задачи определения зависимости количества уволившихся работников от средней зарплаты на 6 предприятиях модель регрессии имеет вид уравнения Y = а0 + а1×1 +…+аkxk, где хi - влияющие переменные, ai - коэффициенты регрессии, a k - число факторов.

Для данной задачи Y - это показатель уволившихся сотрудников, а влияющий фактор - зарплата, которую обозначаем X.

Использование возможностей табличного процессора «Эксель»

Анализу регрессии в Excel должно предшествовать применение к имеющимся табличным данным встроенных функций. Однако для этих целей лучше воспользоваться очень полезной надстройкой «Пакет анализа». Для его активации нужно:

• с вкладки «Файл» перейти в раздел «Параметры»;
• в открывшемся окне выбрать строку «Надстройки»;
• щелкнуть по кнопке «Перейти», расположенной внизу, справа от строки «Управление»;
• поставить галочку рядом с названием «Пакет анализа» и подтвердить свои действия, нажав «Ок».

Если все сделано правильно, в правой части вкладки «Данные», расположенном над рабочим листом «Эксель», появится нужная кнопка.

Линейная регрессия в Excel

Теперь, когда под рукой есть все необходимые виртуальные инструменты для осуществления эконометрических расчетов, можем приступить к решению нашей задачи. Для этого:

• щелкаем по кнопке «Анализ данных»;
• в открывшемся окне нажимаем на кнопку «Регрессия»;
• в появившуюся вкладку вводим диапазон значений для Y (количество уволившихся работников) и для X (их зарплаты);
• подтверждаем свои действия нажатием кнопки «Ok».

В результате программа автоматически заполнит новый лист табличного процессора данными анализа регрессии. Обратите внимание! В Excel есть возможность самостоятельно задать место, которое вы предпочитаете для этой цели. Например, это может быть тот же лист, где находятся значения Y и X, или даже новая книга, специально предназначенная для хранения подобных данных.

Анализ результатов регрессии для R-квадрата

В Excel данные полученные в ходе обработки данных рассматриваемого примера имеют вид:

Прежде всего, следует обратить внимание на значение R-квадрата. Он представляет собой коэффициент детерминации. В данном примере R-квадрат = 0,755 (75,5%), т. е. расчетные параметры модели объясняют зависимость между рассматриваемыми параметрами на 75,5 %. Чем выше значение коэффициента детерминации, тем выбранная модель считается более применимой для конкретной задачи. Считается, что она корректно описывает реальную ситуацию при значении R-квадрата выше 0,8. Если R-квадрата tкр, то гипотеза о незначимости свободного члена линейного уравнения отвергается.

В рассматриваемой задаче для свободного члена посредством инструментов «Эксель» было получено, что t=169,20903, а p=2,89Е-12, т. е. имеем нулевую вероятность того, что будет отвергнута верная гипотеза о незначимости свободного члена. Для коэффициента при неизвестной t=5,79405, а p=0,001158. Иными словами вероятность того, что будет отвергнута верная гипотеза о незначимости коэффициента при неизвестной, равна 0,12%.

Таким образом, можно утверждать, что полученное уравнение линейной регрессии адекватно.

Задача о целесообразности покупки пакета акций

Множественная регрессия в Excel выполняется с использованием все того же инструмента «Анализ данных». Рассмотрим конкретную прикладную задачу.

Руководство компания «NNN» должно принять решение о целесообразности покупки 20 % пакета акций АО «MMM». Стоимость пакета (СП) составляет 70 млн американских долларов. Специалистами «NNN» собраны данные об аналогичных сделках. Было принято решение оценивать стоимость пакета акций по таким параметрам, выраженным в миллионах американских долларов, как:

• кредиторская задолженность (VK);
• объем годового оборота (VO);
• дебиторская задолженность (VD);
• стоимость основных фондов (СОФ).

Кроме того, используется параметр задолженность предприятия по зарплате (V3 П) в тысячах американских долларов.

Решение средствами табличного процессора Excel

Прежде всего, необходимо составить таблицу исходных данных. Она имеет следующий вид:

• вызывают окно «Анализ данных»;
• выбирают раздел «Регрессия»;
• в окошко «Входной интервал Y» вводят диапазон значений зависимых переменных из столбца G;
• щелкают по иконке с красной стрелкой справа от окна «Входной интервал X» и выделяют на листе диапазон всех значений из столбцов B,C, D, F.

Отмечают пункт «Новый рабочий лист» и нажимают «Ok».

Получают анализ регрессии для данной задачи.

Изучение результатов и выводы

«Собираем» из округленных данных, представленных выше на листе табличного процессора Excel, уравнение регрессии:

СП = 0,103*СОФ + 0,541*VO – 0,031*VK +0,405*VD +0,691*VZP – 265,844.

В более привычном математическом виде его можно записать, как:

y = 0,103*x1 + 0,541*x2 – 0,031*x3 +0,405*x4 +0,691*x5 – 265,844

Данные для АО «MMM» представлены в таблице:

Подставив их в уравнение регрессии, получают цифру в 64,72 млн американских долларов. Это значит, что акции АО «MMM» не стоит приобретать, так как их стоимость в 70 млн американских долларов достаточно завышена.

Как видим, использование табличного процессора «Эксель» и уравнения регрессии позволило принять обоснованное решение относительно целесообразности вполне конкретной сделки.

Теперь вы знаете, что такое регрессия. Примеры в Excel, рассмотренные выше, помогут вам в решение практических задач из области эконометрики.

28 Окт

Добрый день, уважаемые читатели блога! Сегодня мы поговорим о нелинейных регрессиях. Решение линейных регрессий можно посмотреть по ССЫЛКЕ .

Данный способ применяется, в основном, в экономическом моделировании и прогнозировании. Его цель – пронаблюдать и выявить зависимости между двумя показателями.

Основными типами нелинейных регрессий являются:

• полиномиальные (квадратичная, кубическая);
• гиперболическая;
• степенная;
• показательная;
• логарифмическая.

Также могут применяться различные комбинации. Например, для аналитики временных рядов в банковской сфере, страховании, демографических исследованиях используют кривую Гомпцера, которая является разновидностью логарифмической регрессии.

В прогнозировании с помощью нелинейных регрессий главное выяснить коэффициент корреляции, который покажет нам есть ли тесная взаимосвязь меду двумя параметрами или нет. Как правило, если коэффициент корреляции близок к 1, значит связь есть, и прогноз будет довольно точен. Ещё одним важным элементом нелинейных регрессий является средняя относительная ошибка (А ), если она находится в промежутке <8…10%, значит модель достаточно точна.

На этом, пожалуй, теоретический блок мы закончим и перейдём к практическим вычислениям.

У нас имеется таблица продаж автомобилей за промежуток 15 лет (обозначим его X), количество шагов измерений будет аргумент n, также имеется выручка за эти периоды (обозначим её Y), нам нужно спрогнозировать какова будет выручка в дальнейшем. Построим следующую таблицу:

Для исследования нам потребуется решить уравнение (зависимости Y от X): y=ax 2 +bx+c+e. Это парная квадратичная регрессия. Применим в этом случае метод наименьших квадратов, для выяснения неизвестных аргументов — a, b, c. Он приведёт к системе алгебраических уравнений вида:

Для решения этой системы воспользуемся, к примеру, методом Крамера. Видим, что входящие в систему суммы являются коэффициентами при неизвестных. Для их вычисления добавим в таблицу несколько столбцов (D,E,F,G,H) и подпишем соответственно смыслу вычислений — в столбце D возведём x в квадрат, в E в куб, в F в 4 степень, в G перемножим показатели x и y, в H возведём x в квадрат и перемножим с y.

Получится заполненная нужными для решения уравнения таблица вида.

Сформируем матрицу A системы, состоящую из коэффициентов при неизвестных в левых частях уравнений. Поместим её в ячейку А22 и назовём «А= «. Следуем той системе уравнений, которую мы избрали для решения регрессии.

То есть, в ячейку B21 мы должны поместить сумму столбца, где возводили показатель X в четвёртую степень — F17. Просто сошлёмся на ячейку — «=F17». Далее нам необходима сумма столбца где возводили X в куб — E17, далее идём строго по системе. Таким образом, нам необходимо будет заполнить всю матрицу.

В соответствии с алгоритмом Крамера наберём матрицу А1, подобную А, в которой вместо элементов первого столбца должны размещаться элементы правых частей уравнений системы. То есть сумма столбца X в квадрате умноженная на Y, сумма столбца XY и сумма столбца Y.

Также нам понадобятся ещё две матрицы — назовём их А2 и А3 в которых второй и третий столбцы будут состоять из коэффициентов правых частей уравнений. Картина будет такова.

Следуя избранному алгоритму, нам нужно будет вычислить значения определителей (детерминантов, D) полученных матриц. Воспользуемся формулой МОПРЕД. Результаты разместим в ячейках J21:K24.

Расчёт коэффициентов уравнения по Крамеру будем производить в ячейках напротив соответствующих детерминантов по формуле: a (в ячейке M22) — «=K22/K21»; b (в ячейке M23) — «=K23/K21»; с (в ячейке M24) — «=K24/K21».

Получим наше искомое уравнение парной квадратичной регрессии:

y=-0,074x 2 +2,151x+6,523

Оценим тесноту линейной связи индексом корреляции.

Для вычисления добавим в таблицу дополнительный столбец J (назовём его y*). Расчёта будет следующей (согласно полученному нами уравнению регрессии) — «=$m$22*B2*B2+$M$23*B2+$M$24». Поместим её в ячейку J2. Останется протянуть вниз маркер автозаполнения до ячейки J16.

Для вычисления сумм (Y-Y усредненное) 2 добавим в таблицу столбцы K и L с соответствующими формулами. Среднее по столбцу Y посчитаем с помощью функции СРЗНАЧ.

В ячейке K25 разместим формулу подсчёта индекса корреляции — «=КОРЕНЬ(1-(K17/L17))».

Видим, что значение 0,959 очень близко к 1, значит между продажами и годами есть тесная нелинейная связь.

Осталось оценить качество подгонки полученного квадратичного уравнения регрессии (индекс детерминации). Он рассчитывается по формуле квадрата индекса корреляции. То есть формула в ячейке K26 будет очень проста — «=K25*K25».

Коэффициент 0,920 близок к 1, что свидетельствует о высоком качестве подгонки.

Последним действием будет вычисление относительной ошибки. Добавим столбец и внесём туда формулу: «=ABS((C2-J2)/C2), ABS — модуль, абсолютное значение. Протянем маркером вниз и в ячейке M18 выведем среднее значение (СРЗНАЧ), назначим ячейкам процентный формат. Полученный результат — 7,79% находится в пределах допустимых значений ошибки <8…10%. Значит вычисления достаточно точны.

Если возникнет необходимость, по полученным значениям мы можем построить график.

Файл с примером прилагается — ССЫЛКА !

Пакет MS Excel позволяет при построении уравнения линейной регрессии большую часть работы сделать очень быстро. Важно понять, как интерпретировать полученные результаты.

Для работы необходима надстройка Пакет анализа , которую необходимо включить в пункте меню Сервис\Надстройки

В Excel 2007 для включения пакета анализа надо нажать перейти в блок Параметры Excel , нажав кнопку в левом верхнем углу, а затем кнопку «Параметры Excel » внизу окна:

Для построения модели регрессии необходимо выбрать пункт Сервис\Анализ данных\Регрессия . (В Excel 2007 этот режим находится в блоке Данные/Анализ данных/ Регрессия ). Появится диалоговое окно, которое нужно заполнить:

1) Входной интервал Y ¾ содержит ссылку на ячейки, которые содержат значения результативного признака y . Значения должны быть расположены в столбце;

2) Входной интервал X ¾ содержит ссылку на ячейки, которые содержат значения факторов . Значения должны быть расположены в столбцах;

3) Признак Метки ставится, если первые ячейки содержат пояснительный текст (подписи данных);

4) Уровень надежности ¾ это доверительная вероятность, которая по умолчанию считается равной 95%. Если это значение не устраивает, то нужно включить этот признак и ввести требуемое значение;

5) Признак Константа-ноль включается, если необходимо построить уравнение, в котором свободная переменная ;

6) Параметры вывода определяют, куда должны быть помещены результаты. По умолчанию строит режим Новый рабочий лист ;

7) Блок Остатки позволяет включать вывод остатков и построение их графиков.

В результате выводится информация, содержащая все необходимые сведения и сгруппированная в три блока: Регрессионная статистика , Дисперсионный анализ , Вывод остатка . Рассмотрим их подробнее.

1. Регрессионная статистика :

множественный R определяется формулой (коэффициент корреляции Пирсона );

R (коэффициент детерминации );

Нормированный R -квадрат вычисляется по формуле (используется для множественной регрессии);

Стандартная ошибка S вычисляется по формуле ;

Наблюдения ¾ это количество данных n .

2. Дисперсионный анализ , строка Регрессия :

Параметр df равен m (количество наборов факторов x );

Параметр SS определяется формулой ;

Параметр MS определяется формулой ;

Статистика F определяется формулой ;

Значимость F . Если полученное число превышает , то принимается гипотеза (нет линейной взаимосвязи), иначе принимается гипотеза (есть линейная взаимосвязь).

3. Дисперсионный анализ , строка Остаток :

Параметр df равен ;

Параметр SS определяется формулой ;

Параметр MS определяется формулой .

4. Дисперсионный анализ , строка Итого содержит сумму первых двух столбцов.

5. Дисперсионный анализ , строка Y-пересечение содержит значение коэффициента , стандартной ошибки и t -статистики .

P -значение ¾ это значение уровней значимости, соответствующее вычисленным t -статистикам. Определяется функцией СТЬЮДРАСП(t -статистика; ). Если P -значение превышает , то соответствующая переменная статистически незначима и ее можно исключить из модели.

Нижние 95% и Верхние 95% ¾ это нижние и верхние границы 95-процентных доверительных интервалов для коэффициентов теоретического уравнения линейной регрессии. Если в блоке ввода данных значение доверительной вероятности было оставлено по умолчанию, то последние два столбца будут дублировать предыдущие. Если пользователь ввел свое значение доверительной вероятности, то последние два столбца содержат значения нижней и верхней границы для указанной доверительной вероятности.

6. Дисперсионный анализ , строки содержат значения коэффициентов, стандартных ошибок, t -статистик, P -значений и доверительных интервалов для соответствующих .

7. Блок Вывод остатка содержит значения предсказанного y (в наших обозначениях это ) и остатки .