В данной теме рассмотрим понятия алгебраического дополнения и минора. Изложение материала опирается на термины, пояснённые в теме "Матрицы. Виды матриц. Основные термины" . Также нам понадобятся некоторые формулы для вычисления определителей . Так как в данной теме немало терминов, относящихся к минорам и алгебраическим дополнениям, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.

Минор $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$

$M_{ij}$ элемента $a_{ij}$ матрицы $A_{n\times n}$ именуют определитель матрицы, полученной из матрицы $A$ вычёркиванием i-й строки и j-го столбца (т.е. строки и столбца, на пересечении которых находится элемент $a_{ij}$).

Для примера рассмотрим квадратную матрицу четвёртого порядка: $A=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end{array} \right)$. Найдём минор элемента $a_{32}$, т.е. найдём $M_{32}$. Сперва запишем минор $M_{32}$, а потом вычислим его значение. Для того, чтобы составить $M_{32}$, вычеркнем из матрицы $A$ третью строку и второй столбец (именно на пересечении третьей строки и второго столбца расположен элемент $a_{32}$). Мы получим новую матрицу, определитель которой и есть искомый минор $M_{32}$:

Этот минор несложно вычислить, используя формулу №2 из темы вычисления :

$$ M_{32}=\left| \begin{array} {ccc} 1 & -3 & 9\\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \end{array} \right|= 1\cdot 11\cdot 58+(-3)\cdot 5\cdot 3+2\cdot (-5)\cdot 9-9\cdot 11\cdot 3-(-3)\cdot 2\cdot 58-5\cdot (-5)\cdot 1=579. $$

Итак, минор элемента $a_{32}$ равен 579, т.е. $M_{32}=579$.

Часто вместо словосочетания "минор элемента матрицы" в литературе встречается "минор элемента определителя". Суть остается неизменной: чтобы получить минор элемента $a_{ij}$ нужно вычеркнуть из исходного определителя i-ю строку и j-й столбец. Оставшиеся элементы записывают в новый определитель, который и является минором элемента $a_{ij}$. Например, найдём минор элемента $a_{12}$ определителя $\left| \begin{array} {ccc} -1 & 3 & 2\\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \end{array} \right|$. Чтобы записать требуемый минор $M_{12}$ нам понадобится вычеркнуть из заданного определителя первую строку и второй столбец:

Чтобы найти значение данного минора используем формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков :

$$ M_{12}=\left| \begin{array} {ccc} 9 & -5\\ 4 & 7 \end{array} \right|=9\cdot 7-(-5)\cdot 4=83. $$

Итак, минор элемента $a_{12}$ равен 83, т.е. $M_{12}=83$.

Алгебраическое дополнение $A_{ij}$ элемента $a_{ij}$

Пусть задана квадратная матрица $A_{n\times n}$ (т.е. квадратная матрица n-го порядка).

Алгебраическое дополнением $A_{ij}$ элемента $a_{ij}$ матрицы $A_{n\times n}$ находится по следующей формуле: $$ A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij}, $$

где $M_{ij}$ - минор элемента $a_{ij}$.

Найдем алгебраическое дополнение элемента $a_{32}$ матрицы $A=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end{array} \right)$, т.е. найдём $A_{32}$. Ранее мы уже находили минор $M_{32}=579$, поэтому используем полученный результат:

Обычно при нахождении алгебраических дополнений не вычисляют отдельно минор, а уж потом само дополнение. Запись минора опускают. Например, найдем $A_{12}$, если $A=\left(\begin{array} {ccc} -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \end{array} \right)$. Согласно формуле $A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot M_{12}=-M_{12}$. Однако чтобы получить $M_{12}$ достаточно вычеркнуть первую строку и второй столбец матрицы $A$, так зачем же вводить лишнее обозначение для минора? Сразу запишем выражение для алгебраического дополнения $A_{12}$:

Минор k-го порядка матрицы $A_{m\times n}$

Если в предыдущих двух пунктах мы говорили лишь о квадратных матрицах, то здесь поведём речь также и о прямоугольных матрицах, у которых количество строк вовсе не обязательно равняется количеству столбцов. Итак, пусть задана матрица $A_{m\times n}$, т.е. матрица, содержащая m строк и n столбцов.

Минором k-го порядка матрицы $A_{m\times n}$ называется определитель, элементы которого расположены на пересечении k строк и k столбцов матрицы $A$ (при этом предполагается, что $k≤ m$ и $k≤ n$).

Например, рассмотрим матрицу $A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ 0 & 1 & 19 & 8\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end{array} \right)$ и запишем для неё какой-либо минор третьего порядка. Чтобы записать минор третьего порядка нам потребуется выбрать какие-либо три строки и три столбца данной матрицы. Например, возьмём строки с номерами 2, 4, 6 и столбцы с номерами 1, 2, 4. На пересечении этих строк и столбцов будут располагаться элементы требуемого минора. На рисунке элементы минора показаны синим цветом:

Миноры первого порядка находятся на пересечении одной строки и одного столбца, т.е. миноры первого порядка равны элементам заданной матрицы.

Минор k-го порядка матрицы $A_{m\times n}=(a_{ij})$ называется главным , если на главной диагонали данного минора находятся только главные диагональные элементы матрицы $A$.

Напомню, что главными диагональными элементами именуют те элементы матрицы, у которых индексы равны: $a_{11}$, $a_{22}$, $a_{33}$ и так далее. Например, для рассмотренной выше матрицы $A$ такими элементами будут $a_{11}=-1$, $a_{22}=7$, $a_{33}=18$, $a_{44}=8$. На рисунке они выделены розовым цветом:

Например, если в матрице $A$ мы вычеркнем строки и столбцы с номерами 1 и 3, то на их пересечении будут расположены элементы минора второго порядка, на главной диагонали которого будут находиться только диагональные элементы матрицы $A$ (элементы $a_{11}=-1$ и $a_{33}=18$ матрицы $A$). Следовательно, мы получим главный минор второго порядка:

Естественно, что мы могли взять иные строки и столбцы, - например, с номерами 2 и 4, получив при этом иной главный минор второго порядка.

Пусть некий минор $M$ k-го порядка матрицы $A_{m\times n}$ не равен нулю, т.е. $M\neq 0$. При этом все миноры, порядок которых выше k, равны нулю. Тогда минор $M$ называют базисным , а строки и столбцы, на которых расположены элементы базисного минора, именуют базисными строками и базисными столбцами .

Для примера рассмотрим матрицу $A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$. Звапишем минор этой матрицы, элементы которого расположены на пересечении строк с номерами 1, 2, 3 и столбцов с номерами 1, 3, 4. Мы получим минор третьего порядка:

Найдём значение этого минора, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков :

$$ M=\left| \begin{array} {ccc} -1 & 3 & 0\\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end{array} \right|=4+3+6-2=11. $$

Итак, $M=11\neq 0$. Теперь попробуем составить любой минор, порядок которого выше трёх. Чтобы составить минор четвёртого порядка, нам придётся использовать четвёртую строку, однако все элементы этой строки равны нулю. Следовательно, в любом миноре четвёртого порядка будет нулевая строка, а это означает, что все миноры четвёртого порядка равны нулю. Миноры пятого и более высоких порядков составить мы не можем, так как матрица $A$ имеет всего 4 строки.

Мы нашли минор третьего порядка, не равный нулю. При этом все миноры высших порядков равны нулю, следовательно, рассмотренный нами минор - базисный. Строки матрицы $A$, на которых расположены элементы этого минора (первая, вторая и третья), - базисные строки, а первый, третий и четвёртый столбцы матрицы $A$ - базисные столбцы.

Данный пример, конечно, тривиальный, так как его цель - наглядно показать суть базисного минора. Вообще, базисных миноров может быть несколько, и обычно процесс поиска такого минора куда сложнее и объёмнее.

Введём ещё одно понятие - окаймляющий минор.

Пусть некий минор k-го порядка $M$ матрицы $A_{m\times n}$ расположен на пересечении k строк и k столбцов. Добавим к набору этих строк и столбцов ещё одну строку и столбец. Полученный минор (k+1)-го порядка именуют окаймляющим минором для минора $M$.

Для примера обратимся к матрице $A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end{array} \right)$. Запишем минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2 и №5, а также столбцов №2 и №4.

Добавим к набору строк, на которых лежат элементы минора $M$, ещё строку №1, а к набору столбцов - столбец №5. Получим новый минор $M"$ (уже третьего порядка), элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №5 и столбцов №2, №4, №5. Элементы минора $M$ на рисунке выделены розовым цветом, а элементы, которые мы добавляем к минору $M$ - зелёным:

Минор $M"$ является окаймляющим минором для минора $M$. Аналогично, добавляя к набору строк, на которых лежат элементы минора $M$, строку №4, а к набору столбцов - столбец №3, получим минор $M""$ (минор третьего порядка):

Минор $M""$ также является окаймляющим минором для минора $M$.

Минор k-го порядка матрицы $A_{n\times n}$. Дополнительный минор. Алгебраическое дополнение к минору квадратной матрицы.

Вновь вернёмся к квадратным матрицам. Введём понятие дополнительного минора.

Пусть задан некий минор $M$ k-го порядка матрицы $A_{n\times n}$. Определитель (n-k)-го порядка, элементы которого получены из матрицы $A$ после вычеркивания строк и столбцов, содержащих минор $M$, называется минором, дополнительным к минору $M$.

Для примера рассмотрим квадратную матрицу пятого порядка: $A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end{array} \right)$. Выберем в ней строки №1 и №3, а также столбцы №2 и №5. На пересечении оных строк и столбцов будут элементы минора $M$ второго порядка:

Теперь уберём из матрицы $A$ строки №1 и №3 и столбцы №2 и №5, на пересечении которых находятся элементы минора $M$ (убираемые строки и столбцы показаны красным цветом на рисунке ниже). Оставшиеся элементы образуют минор $M"$:

Минор $M"$, порядок которого равен $5-2=3$, является минором, дополнительным к минору $M$.

Алгебраическим дополнением к минору $M$ квадратной матрицы $A_{n\times n}$ называется выражение $(-1)^{\alpha}\cdot M"$, где $\alpha$ - сумма номеров строк и столбцов матрицы $A$, на которых расположены элементы минора $M$, а $M"$ - минор, дополнительный к минору $M$.

Словосочетание "алгебраическое дополнение к минору $M$" часто заменяют словосочетанием "алгебраическое дополнение минора $M$".

Для примера рассмотрим матрицу $A$, для которой мы находили минор второго порядка $ M=\left| \begin{array} {ccc} 2 & -14 \\ -6 & 41 \end{array} \right| $ и дополнительный к нему минор третьего порядка: $M"=\left| \begin{array} {ccc} 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end{array} \right|$. Обозначим алгебраическое дополнение минора $M$ как $M^*$. Тогда согласно определению:

$$ M^*=(-1)^\alpha\cdot M". $$

Параметр $\alpha$ равен сумме номеров строк и столбцов, на которых находится минор $M$. Этот минор расположен на пересечении строк №1, №3 и столбцов №2, №5. Следовательно, $\alpha=1+3+2+5=11$. Итак:

$$ M^*=(-1)^{11}\cdot M"=-\left| \begin{array} {ccc} 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end{array} \right|. $$

В принципе, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков , можно довести вычисления до конца, получив значение $M^*$:

$$ M^*=-\left| \begin{array} {ccc} 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end{array} \right|=-30. $$

Определение. Если в определителе n-го порядка выбрать произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении указанных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k. Определитель такой квадратной матрицы называют минором k-го порядка .

Обозначается M k . Если k=1, то минор первого порядка - это элемент определителя.

Элементы, стоящие на пересечении оставшихся (n-k) строк и (n-k) столбцов, составляют квадратную матрицу порядка (n-k). Определитель такой матрицы называется минором, дополнительным к минору M k . Обозначается M n-k .

Алгебраическим дополнением минора M k будем называть его дополнительный минор, взятый со знаком “+” или “-” в зависимости от того, четна или нечетна сумма номеров всех строк и столбцов, в которых расположен минор M k .

Если k=1, то алгебраическое дополнение к элементу a ik вычисляется по формуле

A ik =(-1) i+k M ik , где M ik - минор (n-1) порядка.

Теорема . Произведение минора k-го порядка на его алгебраическое дополнение равно сумме некоторого числа членов определителя D n .

Доказательство

1. Рассмотрим частный случай. Пусть минор M k занимает левый верхний угол определителя, то есть располагается в строках с номерами 1, 2, ..., k, тогда минор M n-k будет занимать строки k+1, k+2, ..., n.

Вычислим алгебраическое дополнение к минору M k . По определению,

A n-k =(-1) s M n-k , где s=(1+2+...+k) +(1+2+...+k)= 2(1+2+...+k), тогда

(-1) s =1 и A n-k = M n-k . Получим

M k A n-k = M k M n-k . (*)

Берем произвольный член минора M k

, (1)

где s - число инверсий в подстановке

и произвольный член минора M n-k

где s * - число инверсий в подстановке

(4)

Перемножая (1) и (3), получим

Произведение состоит из n элементов, расположенных в различных строках и столбцах определителя D. Следовательно, это произведение является членом определителя D. Знак произведения (5) определяется суммой инверсий в подстановках (2) и (4), а знак аналогичного произведения в определителе D определяется числом инверсий s k в подстановке

Очевидно, что s k =s+s * .

Таким образом, возвращаясь к равенству (*), получим, что произведение M k A n-k состоит только из членов определителя.

2. Пусть минор M k расположен в строках с номерами i 1 , i 2 , ..., i k и в столбцах с номерами j 1 , j 2 , ..., j k , причем i 1 < i 2 < ...< i k и j 1 < j 2 < ...< j k .

Используя свойства определителей, с помощью транспозиций сместим минор в левый верхний угол. Получим определитель D ¢ , в котором минор M k занимает левый верхний угол, а дополнительный к нему минор M¢ n-k - правый нижний угол, тогда, по доказанному в пункте 1, получим, что произведение M k M¢ n-k является суммой некоторого количества элементов определителя D ¢ , взятых со своим знаком. Но D ¢ получен из D с помощью (i 1 -1)+(i 2 -2)+ ...+(i k -k)=(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k) транспозиций строк и (j 1 -1)+(j 2 -2)+ ...+(j k -k)=(j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k) транспозиций столбцов. То есть всего было выполнено

(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k)= (i 1 + i 2 + ...+ i k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- 2(1+2+...+k)=s-2(1+2+...+k). Поэтому члены определителей D и D ¢ отличаются знаком (-1) s-2(1+2+...+k) =(-1) s , следовательно, произведение (-1) s M k M¢ n-k будет состоять из некоторого количества членов определителя D, взятых с теми же знаками, какие они имеют в этом определителе.

Теорема Лапласа . Если в определителе n-го порядка выбрать произвольно k строк (или k столбцов) 1£k£n-1, тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю D.

Доказательство

Выберем произвольно строки i 1 , i 2 , ..., i k и докажем, что

Ранее было доказано, что все элементы в левой части равенства содержатся в качестве слагаемых в определителе D. Покажем, что каждый член определителя D попадает только в одно из слагаемых . Действительно, всякое t s имеет вид t s = . если в этом произведении отметить сомножители, у которых первые индексы i 1 , i 2 , ..., i k , и составить их произведение , то можно заметить, что полученное произведение принадлежит минору k-го порядка. Следовательно, оставшиеся члены, взятые из оставшихся n-k строк и n-k столбцов, образуют элемент, принадлежащий дополнительному минору, а с учетом знака - алгебраическому дополнению, следовательно, любое t s попадает только в одно из произведений , что доказывает теорему.

Следствие (теорема о разложении определителя по строке). Сумма произведений элементов некоторой строки определителя на соответствующие алгебраические дополнения равна определителю.

(Доказательство в качестве упражнения.)

Теорема . Сумма произведений элементов i-ой строки определителя на соответствующие алгебраические дополнения к элементам j-ой строки (i¹j) равна 0.

Миноры матрицы

Пусть дана квадратная матрица А, n - ого порядка. Минором некоторого элемента а ij , определителя матрицы n - ого порядка называется определитель (n - 1) - ого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент а ij . Обозначается М ij .

Рассмотрим на примере определителя матрицы 3 - его порядка:

Тогда согласно определению минора , минором М 12 , соответствующим элементу а 12 , будет определитель :

При этом, с помощью миноров можно облегчать задачу вычисления определителя матрицы . Надо разложить определитель матрицы по некоторой строке и тогда определитель будет равен сумме всех элементов этой строки на их миноры. Разложение определителя матрицы 3 - его порядка будет выглядеть так:

Знак перед произведением равен (-1) n , где n = i + j.

Алгебраические дополнения:

Алгебраическим дополнением элемента а ij называется его минор , взятый со знаком "+", если сумма (i + j) четное число, и со знаком "-", если эта сумма нечетное число. Обозначается А ij . А ij = (-1) i+j × М ij .

Тогда можно переформулировать изложенное выше свойство. Определитель матрицы равен сумме произведение элементов некторого ряда (строки или столбца) матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения . Пример:

4. Обратная матрица и её вычисление.

Пусть А - квадратная матрица n - ого порядка.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель матрицы (Δ = det A) не равен нулю (Δ = det A ≠ 0). В противном случае (Δ = 0) матрица А называется вырожденной.

Матрицей , союзной к матрице А, называется матрица

Где А ij - алгебраическое дополнение элемента а ij данной матрицы (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя матрицы ).

Матрица А -1 называется обратной матрице А, если выполняется условие: А × А -1 = А -1 × А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица А -1 имеет те же размеры, что и матрица А.

Обратная матрица

Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию: X × A = A × X = E , где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной матрицей к матрице А и обозначается А -1 . Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу и притом только одну, т. е. для того чтобы квадратная матрица A имела обратную матрицу , необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Для получения обратной матрицы используют формулу:

Где М ji дополнительный минор элемента а ji матрицы А.

5. Ранг матрицы. Вычисление ранга с помощью элементарных преобразований.

Рассмотрим прямоугольную матрицу mхn. Выделим в этой матрице какие-нибудь k строк и k столбцов, 1 £ k £ min (m, n) . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами матрицы. Например, для матрицы можно составить миноры второго порядкаи миноры первого порядка 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Обозначают ранг матрицы r (A).

В приведенном примере ранг матрицы равен двум, так как, например, минор

Ранг матрицы удобно вычислять методом элементарных преобразований. К элементарным преобразованиям относят следующие:

1) перестановки строк (столбцов);

2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.

Эти преобразования не меняют ранга матрицы, так как известно, что 1) при перестановке строк определитель меняет знак и, если он не был равен нулю, то уже и не станет; 2) при умножении строки определителя на число, не равное нулю, определитель умножается на это число; 3) третье элементарное преобразование вообще не изменяет определитель. Таким образом, производя над матрицей элементарные преобразования, можно получить матрицу, для которой легко вычислить ранг ее и, следовательно, исходной матрицы.

Определение. Матрица , полученная из матрицыпри помощи элементарных преобразований, называется эквивалентной и обозначаетсяА В .

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда.

Матрица называется ступенчатой если она имеет вид:

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк , т.к. имеется минор -го порядка, не равный нулю:

.

Продолжаем разговор о действиях с матрицами. А именно – в ходе изучения данной лекции вы научитесь находить обратную матрицу. Научитесь. Даже если с математикой туго.

Что такое обратная матрица? Здесь можно провести аналогию с обратными числами: рассмотрим, например, оптимистичное число 5 и обратное ему число . Произведение данных чисел равно единице: . С матрицами всё похоже! Произведение матрицы на обратную ей матрицу равно – единичной матрице , которая является матричным аналогом числовой единицы. Однако обо всём по порядку – сначала решим важный практический вопрос, а именно, научимся эту самую обратную матрицу находить.

Что необходимо знать и уметь для нахождения обратной матрицы? Вы должны уметь решать определители . Вы должны понимать, что такое матрица и уметь выполнять некоторые действия с ними.

Существует два основных метода нахождения обратной матрицы:
с помощью алгебраических дополнений и с помощью элементарных преобразований .

Сегодня мы изучим первый, более простой способ.

Начнем с самого ужасного и непонятного. Рассмотрим квадратную матрицу . Обратную матрицу можно найти по следующей формуле :

Где – определитель матрицы , – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц , матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Обозначения : Как вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом

Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения.

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы

Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

1) Сначала находим определитель матрицы .

Если с пониманием сего действа плоховато, ознакомьтесь с материалом Как вычислить определитель?

Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ .

В рассматриваемом примере, как выяснилось, , а значит, всё в порядке.

2) Находим матрицу миноров .

Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор, однако, желательно ознакомиться со статьей Как вычислить определитель .

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , то есть в данном случае .
Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.

Возвращаемся к нашей матрице
Сначала рассмотрим левый верхний элемент:

Как найти его минор ?
А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшееся число и является минором данного элемента , которое записываем в нашу матрицу миноров:

Рассматриваем следующий элемент матрицы :

Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:

То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:

Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:


Готово.

Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел:

Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!

– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

И всего-то лишь…

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

5) Ответ .

Вспоминаем нашу формулу
Всё найдено!

Таким образом, обратная матрица:

Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНО делить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа. Более подробно данный нюанс рассмотрен в той же статье Действия с матрицами .

Как проверить решение?

Необходимо выполнить матричное умножение либо

Проверка:

Получена уже упомянутая единичная матрица – это матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах.

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Если провести действие , то в результате тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно, более подробную информацию можно найти в статье Свойства операций над матрицами. Матричные выражения . Также заметьте, что в ходе проверки константа (дробь) выносится вперёд и обрабатывается в самом конце – после матричного умножения. Это стандартный приём.

Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три»:

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы

Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».

Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

1) Находим определитель матрицы .

Здесь определитель раскрыт по первой строке .

Также не забываем, что , а значит, всё нормально – обратная матрица существует .

2) Находим матрицу миноров .

Матрица миноров имеет размерность «три на три» , и нам нужно найти девять чисел.

Я подробно рассмотрю парочку миноров:

Рассмотрим следующий элемент матрицы:

МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два»

Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента . Его нужно вычислить:


Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:

Как вы, наверное, догадались, необходимо вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже.

Ну и для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках:

Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно.

Окончательный результат:
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений .

В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ строго у следующих элементов:

В данном случае:

Нахождение обратной матрицы для матрицы «четыре на четыре» не рассматриваем, так как такое задание может дать только преподаватель-садист (чтобы студент вычислил один определитель «четыре на четыре» и 16 определителей «три на три»). В моей практике встретился только один такой случай, и заказчик контрольной работы заплатил за мои мучения довольно дорого =).

В ряде учебников, методичек можно встретить несколько другой подход к нахождению обратной матрицы, однако я рекомендую пользоваться именно вышеизложенным алгоритмом решения. Почему? Потому что вероятность запутаться в вычислениях и знаках – гораздо меньше.