Проектные параметры. Этим термином обозначают независимые переменные параметры, которые полностью и однозначно определяют решаемую задачу проектирования. Проектные параметры - неизвестные величины, значения которых вычисляются в процессе оптимизации. В качестве проектных параметров могут служить любые основные или производные величины, служащие для количественного описания системы. Так, это могут быть неизвестные значения длины, массы, времени, температуры. Число проектных параметров характеризует степень сложности данной задачи проектирования. Обычно число проектных параметров обозначают через п, а сами проектные параметры через х с соответствующими индексами. Таким образом п проектных параметров данной задачи будем обозначать через

Х1,Х2,Х3,…Хп.

Следует отметить, что проектные параметры в некоторых источниках могут называться внутренними управляемыми параметрами.

Целевая функция. Это - выражение, значение которого инженер стремиться сделать максимальным или минимальным. Целевая функция позволяет количественно сравнить два альтернативных решения. С математической точки зрения целевая функция описывает некоторую (п+1) - мерную поверхность. Ее значение определяется проектными параметрами

М = М (х1,х2,…,хп).

Примерами целевой функции, часто встречающимися в инженерной практике, являются стоимость, вес, прочность, габариты, КПД. Если имеется только один проектный параметр, то целевую функцию можно представить кривой на плоскости (рис.1). Если проектных параметров два, то целевая функция будет изображаться поверхностью в пространстве трех измерений (рис.2). При трех и более проектных параметрах поверхности, задаваемые целевой функцией, называются гиперповерхностями и не поддаются изображению обычными средствами. Топологические свойства поверхности целевой функции играют большую роль в процессе оптимизации, так как от них зависит выбор наиболее эффективного алгоритма.

Рисунок 1. Одномерная целевая функция.

Рисунок 2. Двумерная целевая функция.

Целевая функция в ряде случаев может принимать самые неожиданные формы. Например, ее не всегда удается выразить в замкнутой математической форме, в других случаях она может представлять собой кусочно-линейную функцию. Для задания целевой функции иногда может потребоваться таблица технических данных (например, таблица состояния водяного пара) или может понадобиться провести эксперимент. В ряде случаев проектные параметры принимают только целые значения. Примером может служить число зубьев в зубчатой передаче или число болтов во фланце. Иногда проектные параметры имеют только два значения - да или нет. Качественные параметры, такие как удовлетворение, которое испытывает приобретший изделие покупатель, надежность, эстетичность, трудно учитывать в процессе оптимизации, так как их практически невозможно охарактеризовать количественно. Однако в каком бы виде ни была представлена целевая функция, она должна быть однозначной функцией проектных параметров.

В ряде задач оптимизации требуется введение более одной целевой функции. Иногда одна из них может оказаться несовместимой с другой. Примером служит проектирование самолетов, когда одновременно требуется обеспечить максимальную прочность, минимальный вес и минимальную стоимость. В таких случаях конструктор должен ввести систему приоритетов и поставить в соответствие каждой целевой функции некоторый безразмерный множитель. В результате появляется «функция компромисса», позволяющая в процессе оптимизации пользоваться одной составной целевой функцией.

Поиск минимума и максимума. Одни алгоритмы оптимизации приспособлены для поиска максимума, другие - для поиска минимума. Однако независимо от типа решаемой задачи на экстремум можно пользоваться одним и тем же алгоритмом, так как задачу минимизации можно легко превратить в задачу на поиск максимума, поменяв знак целевой функции на обратный. Этот прием иллюстрируется на рис.3.

Рисунок 3. При изменении знака целевой функции на противоположный в задаче на минимум, превращает ее в задачу на максимум.

Пространство проектирования. Так называется область, определяемая всеми п, проектными параметрами. Пространство проектирования не столь велико, как может показаться, поскольку оно обычно ограничено рядом условий, связанных с физической сущностью задачи. Ограничения могут быть столь сильными, что задача не будет иметь ни одного удовлетворительного решения. Ограничения делятся на две группы: ограничения - равенства и ограничения - неравенства.

Ограничения-равенства - это зависимость между проектными параметрами, которые должны учитываться при отыскании решения. Они отражают законы природы, экономики, права, господствующие вкусы и наличие необходимых материалов. Число ограничений - равенств может быть любым. Они имеют вид

С1 (X1, X2, Х3, . . ., Хп) = 0,

С2 (X1, X2, Х3, . . ., Х п) = 0,

..……………………………..

Сj(X1, X2, Х 3, . . ., Хп) = 0.

Ограничения-неравенства - это особый вид ограничений, выражаемых неравенствами. В общем случае их может быть сколько угодно много, причем все они имеют вид

z1 ?r1(X1, X2, Х3, . . ., Хп) ?Z1

z2 ?r2(X1, X2, Х3, . . ., Хп) ?Z2

………………………………………

zk ?rk(X1, X2, Х3, . . ., Хп) ?Zk

Следует отметить, что очень часто в связи с ограничениями оптимальное значение целевой функции достигается не там, где ее поверхность имеет нулевой градиент. Нередко лучшее решение соответствует одной из границ области проектирования.

Прямые и функциональные ограничения. Прямые ограничения имеют вид

xнi ? xi ? xвi при i ? ,

где xнi , xвi - минимально и максимально допустимые значения i-го управляемого параметра; п - размерность пространства управляемых параметров. Например для многих объектов параметры элементов не могут быть отрицательными: xнi ? 0 (геометрические размеры, электрические сопротивления, массы и т.п.).

Функциональные ограничения, как правило, представляют собой условия работоспособности выходных параметров, не вошедших в целевую функцию. Функциональные ограничения могут быть:

• 1) типа равенств
• ш (Х) = 0; (2.1)
• 2) типа неравенств

ц (Х) › 0, (2.2)

где ш (Х) и ц (Х) - вектор-функции.

Прямые и функциональные ограничения формируют допустимую область поиска:

ХД = {Х | ш(Х) = 0, ц (Х)›0, xi › xнi ,

xi ‹ xвi при i ? }.

Если ограничения (2.1) и (2.2) совпадают с условиями работоспособности, то допустимую область называют также областью работоспособности ХР.

Любая из точек Х принадлежащая ХД является допустимым решением задачи. Часто параметрический синтез ставится как задача определения любого из допустимых решений. Однако гораздо важнее решить задачу оптимизации - найти оптимальное решение среди допустимых.

Локальный оптимум. Так называется точка пространства проектирования, в которой целевая функция имеет наибольшее значение по сравнению с ее значениями во всех других точках ее ближайшей окрестности. На рис.4 показана одномерная целевая функция, имеющая два локальных оптимума. Часто пространство проектирования содержит много локальных оптимумов и следует соблюдать осторожность, чтобы не принять первый из них за оптимальное решение задачи.

Рисунок 4. Произвольная целевая функция может иметь несколько локальных оптимумов.

Глобальный оптимум - это оптимальное решение для всего пространства проектирования. Оно лучше всех других решений соответствующих локальным оптимумам, и именно его ищет конструктор. Возможен случай нескольких равных глобальных оптимумов, расположенных в разных частях пространства проектирования. Это позволяет выбрать наилучший вариант из равных оптимальных вариантов по целевой функции. В данном случае проектировщик может выбрать вариант интуитивно либо на основе сравнения полученных вариантов.

Выбор критериев. Основная проблема постановки экстремальных задач заключается в формулировке целевой функции. Сложность выбора целевой функции состоит в том, что любой технический объект первоначально имеет векторный характер критериев оптимальности (многокритериальность). Причем улучшение одного из выходных параметров, как правило, приводит к ухудшению другого, так как все выходные параметры являются функциями одних и тех же управляемых параметров и не могут изменяться независимо друг от друга. Такие выходные параметры называют конфликтными параметрами.

Целевая функция должна быть одна (принцип однозначности). Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной называют сверткой векторного критерия. Задача поиска его экстремума сводится к задаче математического программирования. В зависимости от того каким образом выбираются и объединяются выходные параметры, в скалярной функции качества, различают частные, аддитивные, мультипликативные, минимаксные, статистические критерии и другие критерии. В техническом задании на проектирование технического объекта указываются требования к основным выходным параметрам. Эти требования выражаются в виде конкретных числовых данных, диапазона их изменения, условия функционирования и допустимых минимальных или максимальных значений. Требуемые соотношения между выходными параметрами и техническими требованиями (ТТ) называют условиями работоспособности и записываются в виде:

yi < TTi , i О ; yi > TTj , j О ;

yr = TTr ± ?yr; r О .

где yi, yj, yr - множество выходных параметров;

TTi, TTj, TTr - требуемые количественные значения соответствующих выходных параметров по техническому заданию;

Yr - допустимое отклонение r-го выходного параметра от указанного в техническом задании значения TTr.

Условия работоспособности имеют определяющее значение в разработке технических устройств, так как задачей проектирования является выбор проектного решения, в котором наилучшим образом выполняются все условия работоспособности во всем диапазоне изменения внешних параметров и при выполнении всех требований технического задания.

Частные критерии могут применяться в случаях, когда среди выходных параметров можно выделить один основной параметр yi(Х), наиболее полно отражающий эффективность проектируемого объекта. Этот параметр принимают за целевую функцию. Примерами таких параметров являются: для энергетического объекта - мощность, для технологического автомата - производительность, для транспортного средства - грузоподъемность. Для многих технических объектов таким параметром служит стоимость. Условия работоспособности всех остальных выходных параметров объекта относят при этом к функциональным ограничениям. Оптимизация на основе такой постановки называется оптимизацией по частному критерию.

Достоинство такого подхода - его простота, существенный недостаток - то, что большой запас работоспособности можно получить только по основному параметру, который принят в качестве целевой функции, а другие выходные параметры вообще не будут иметь запасов.

Взвешенный аддитивный критерий применяют тогда, когда условия работоспособности позволяют выделить две группы выходных параметров. В первую группу входят выходные параметры, значения которых в процессе оптимизации нужно увеличивать y+i(X) (производительность, помехоустойчивость, вероятность безотказной работы и т. п.), во вторую - выходные параметры, значения которых следует уменьшать y-i (X) (расход топлива, длительность переходного процесса, перерегулирование, смещение и пр.). Объединение нескольких выходных параметров, имеющих в общем случае различную физическую размерность, в одной скалярной целевой функции требует предварительного нормирования этих параметров. Способы нормирования параметров будут рассмотрены ниже. Пока будем считать, что все у(Х) безразмерны и среди них нет таких, которым соответствуют условия работоспособности типа равенства. Тогда для случая минимизации целевой функции свертка векторного критерия будет иметь вид

где aj>0 - весовой коэффициент, определяющий степень важности j-го выходного параметра (обычно aj выбираются проектировщиком и в процессе оптимизации остаются постоянными).

Целевую функцию в форме (2.1), выражающую аддитивный критерий, можно записать и в том случае, когда все или основные условия работоспособности имеют вид равенств. Тогда целевая функция

определяет среднеквадратичное приближение yj(X) к заданным техническим требованиям TTj.

Мультипликативный критерий может применяться в тех случаях, когда отсутствуют условия работоспособности типа равенств и выходные параметры не могут принимать нулевые значения. Тогда минимизируемая мультипликативная целевая функция имеет вид

Одним из наиболее существенных недостатков как аддитивного, так и мультипликативного критерия является неучет в постановке задачи технических требований, предъявляемых к выходным параметрам.

Критерий формы функции используют, когда ставится задача наилучшего совпадения заданной (эталонной) характеристики yТТ(Х,щ) с соответствующей выходной характеристикой y(Х,щ) проектируемого объекта, где щ - некоторая переменная, например частота, время, избранная фазовая переменная. К таким задачам относятся: проектирование системы автоматического регулирования, обеспечивающей требуемый вид переходного процесса по регулируемому параметру; определение параметров модели транзистора, дающих максимальное совпадение его теоретических вольт-амперных характеристик с экспериментальными; поиск параметров сечений балки, значения которых приводят к наилучшему совпадению заданной эпюры напряжений с расчетной, и т. п.

Использование частного критерия оптимизации в этих случаях сводится к замене непрерывных характеристик конечным множеством узловых точек и выбору одной из следующих целевых функций, подлежащих минимизации:

где р -- количество узловых точек щj на оси переменной щ; aj - весовые коэффициенты, значения которых тем больше, чем меньшее отклонение y(Х, щj) - yTT(Х, щj) нужно получить в j-и точке.

Максиминные (минимаксные) критерии позволяют достичь одной из целей оптимального проектирования - наилучшего удовлетворения условий работоспособности.

Введем количественную оценку степени выполнения j-го условия работоспособности, обозначим ее через zj и будем называть запасом работоспособности параметра yj. Расчет запаса по j-му выходному параметру можно выполнить различными способами, например,

где аj - весовой коэффициент; yjном - номинальное значение j-го выходного параметра; дj - величина, характеризующая разброс j -го выходного параметра.

Здесь предполагается, что все соотношения сведены к виду yi < TТj. Если yi > TТj , то -yj < -TТj . Следует принимать аj >1 (рекомендуемые значения 5 ? аj ? 20), если желательно достичь выполнения j-го технического требования с заданным допуском, т. е. yj = TТj ± ?yj; aj=l, если необходимо получить максимально возможную оценку zj.

Качество функционирования технической системы характеризуется вектором выходных параметров и, следовательно, вектором Z=(zm,zm,…,zm). Поэтому целевую функцию следует формировать как некоторую функцию ц(Z) вектора оценок. Например, если в качестве целевой функции рассматривается запас только того выходного параметра, который в данной точке X является наихудшим с позиций выполнения требований ТЗ, то

где m - количество запасов работоспособности.

Естественно теперь поставить задачу о выборе такой стратегии поиска X, которая максимизировала бы минимальный из запасов, т. е.

где ХД - допустимая для поиска область.

Критерий оптимизации с целевой функцией (2.6) называют максиминным критерием.

Статистические критерии. Оптимизация при статистических критериях имеет целью получение максимальной вероятности Р выполнение работоспособности. Эту вероятность принимают в качестве целевой функции. Тогда имеем задачу

Нормирование управляемых и выходных параметров. Пространство управляемых параметров - метрическое. Поэтому при выборе направлений и величин шагов поиска необходимо вводить ту или иную норму, отождествляемую с расстоянием между двумя точками. Последнее предполагает, что все управляемые параметры имеют одинаковую размерность или являются безразмерными.

Возможны различные способы нормирования. В качестве примера рассмотрим способ логарифмического нормирования, достоинством которого является переход от абсолютных приращений параметров к относительным. В этом случае i-и управляемый параметр ui преобразуется в безразмерный хi следующим образом:

где оi - коэффициент, численно равный единице параметра ui .

Нормирование выходных параметров можно выполнить с помощью весовых коэффициентов, как в аддитивом критерии, или переходом от уj к запасам работоспособности zj по (2.5).

Являясь централизованным, выполняет следующие функции функцию регулирования цен между новой и серийной продукцией функцию целевого и постоянного обеспечения -процесса производства новой техники денежными средствами функцию перераспределения средств по освоению новой техники между предприятиями, в различной степени участвующими в освоении новой техники.  

Что касается расходов государства, то они представляют целевые фонды денежных средств , ассигнованные и фактически использованные государством для реализации своих функций. К основным функциям целевых расходов относят  

Перейдем теперь к описанию целевых функций. Целевая функция ПМ  

Целевая функция. Целевая функция определяет задачу, которая должна быть решена в процессе оптимизации. Например, в этой главе мы занимаемся минимизацией риска портфеля активов. Типичной целевой функцией для портфеля рискованных активов будет  

ФУНКЦИЯ ЦЕЛЕВАЯ - это функция, которая связывает цель (оптимизируемую переменную) и управляемые переменные в задаче оптимизации.  

Первое выражение называется целевой функцией (равно произведению прибыли на единицу продукта с,- на выпуск этого продукта Xj). Остальные уравнения составляют линейные ограничения , которые означают, что расход сырья, полуфабрикатов, качество продукции , мощности, т. е. исходные ресурсы, не должны превышать заранее установленных величин / /. Коэффициенты а,7 - постоянные величины , показывающие расход ресурса на /-и продукт. Задача может быть решена при неотрицательности переменных и при числе неизвестных большем, чем число ограничений. Если последнее условие не удовлетворяется, то задача является несовместной.  

В качестве целевой функции принимаем выработку автобензина А-76  

Целевая функция имеет вид  

Поскольку от объема производства зависят переменные затраты , то максимизации подлежит разность между ценой и переменными затратами . Условно-постоянные расходы (амортизационные отчисления , затраты па текущий ремонт , заработная плата с начислениям общецеховые и общезаводские расходы) в модель не включают и вычитают из целевой функции, полученной на ЭВМ. Если в качестве неизвестных принята длительность работы установки по каждому варианту, то рассчитывают переменные затраты на один день ее работы.  

Условие (4,56) характеризует целевую функцию, те максимальную разность между оптовой ценой и себестоимостью товарных бензинов.  

В качестве целевой функции при решении данной задачи может быть как максимум прибыли по предприятию (4.52), так и максимум объема производства товарной продукции в стоимостном выражении (4.53)  

Приведенная модель расчета себестоимости является одновременно и моделью расчета прибыли предприятия. Однако основной эффект реализации расчета себестоимости на ЭВМ состоит в возможности использования результатов этого расчета для оптимизации производственной программы предприятия . В данном случае в качестве целевой функции может быть принят максимум прибыли от реализации продукции . Оптимизируя производственную программу , необходимо максимизировать функцию вида  

Преимущества и недостатки структуры, ориентированной на покупателя, в общем те же, что и у продуктовой структуры , если учесть различия, связанные с разной целевой функцией.  

Так как интегральную энергоемкость определяют с учетом энергозатрат прямых и опосредованных (через материальные, технические и трудовые ресурсы), то и в суммарной народнохозяйственной экономии учитывают снижение энергоемкости каждого из расходуемых и используемых ресурсов. Энергоемкость каждого целевого эффекта (продукта, услуги) рассчитывают как сумму энергоемкостей по стадиям его формирования. Например, энергоемкость трубы складывается из энергоемкости добычи руды, выплавки стали, проката листа и собственно изготовления трубы и измеряется в килограммах условного топлива на 1 руб. ее стоимости. Существующие формы учета и предложенная методика позволяют определить эти показатели для любого продукта, услуги и т.д. Таким образом, для экономии энергии необходимо снизить расход производственных ресурсов всех видов при достижении заданного целевого эффекта. Эти ресурсы и конечный целевой эффект измеряют в стоимостном выражении. Затраты на них зависят от масштаба применяемой технологии, уровня срвершенства технических средств , в которых реализуется главная целевая функция - целевой технологический процесс , числа масштабности и разветвленности вспомогательных функций, обеспечивающих выполнение главной функции, а также уровня применяемой техники и технологии.  

Выражение (I) обычно наз. исходной системой уравнений и неравенств, а выражение (II) - функционалом задачи линейного программирования или целевой функцией. Целевая функция является критерием оптимальности . Первая группа неравенств системы (I) позволяет учесть в расчете ограничения в существующих на начало планируемого периода мощностях топливодобывающих предприятий. Вторая группа неравенств учиты-  

К М. м. в з. и. относят след, разделы прикладной математики математическое программирование , теорию игр, теорию массового обслуживания , теорию расписании , теорию управления запасами и теорию износа п замены оборудования . М а т е м а т и ч. (или оптимальное) п р о г р а м м н р о в а н и о разрабатывает теорию и методы решения условных экстремальных адач, является осн. частью формального аппарата анализа разнообразных задач управления , планирования и проектирования. Играет особую роль в задачах оптимизации планирования нар. х-ва и управления нронз-вом. Задачи планирования экономики п управления техникой сводятся обычно к выбору совокупности чисел (т. н. параметров управления), обеспечивающих оптимум пек-рой функции (целевой функции пли показателя качества решения) при ограничениях вида равенств и неравенств, определяемых условиями работы системы . В зависимости от свойств функций, определяющих показатель качества и ограничения задачи, математич. программирование делится на линейное и нелинейное. Задачи, и к-рых целевая функция - линейная, а условия записываются в виде линейных равенств и неравенств, составляют предмет линейного программа-ронпии.ч. Задачи, в к-рых показатель качества решения или нек-рые из функций, определяющих ограничения, нелинейны, относятся к н е л и н е и н о м у п р о-г р а м м и [) о н а н п го. Нелинейное программирование , в свою очередь, делится на выпуклое и невынуклое программирование. В зависимости от того, являются лп исходные параметры, характеризующие условия задачи, вполне определёнными числами или случайными величинами , в математич. программировании различаются методы управления и планирования в условиях полной и неполной информации . Методы постановки и решения условных экстремальных задач , условия к-рых содержат случайные параметры, составляют предмет с т о х а с т и ч о с к о г о п р о г р а м м и р о в а-  

Цель модели - максимизация суммарного дисконтированного чистого дохода (до на-огов) для совокупности месторождений и газопроводных систем при заданных ехнологических и экономических ограничениях. Модель позволяет использовать льтернативные критерии - минимизации взвешенной суммы отклонений от заданного начения целевой функции (целевое программирование) расчеты могут проводиться ля заданного уровня инвестиций, для заданного уровня добычи, для заданного начения ДЧД.  

Успех такой деловой женщины зависит от того, насколько администрацией будутугаданы возможные поприща, способные дать удовлетворение трудом. Замечено, что женщины хорошо справляются с функциями, требующими общения с людьми, если же это еще и интеллектуальная деятельность -учительница, журналист, экскурсовод и т. п. - то высокая эффективность их труда и положительная ими самими оценка почти наверняка совпадут. В Японии женщинам редко удается получить инженерное, естественно-научное образование, особенно по современным, наиболее перспективным специальностям, тем не менее их включение в широко распростра-няющиеся подвижные целевые группы по решению нестандартных задач оказывается продуктивным. Изобретательность женского ума замечена давно и во всех странах. В Японии же, когда хотят привести яркое тому доказательство, вспоминают конкурс, объявленный известной фирмой "Адзи-но мото". Она предложила большой денежный приз за подсказку, как увеличить продажи, выпускаемой ею приправы, с виду похожей на соль и продаваемой в подобии солонок. Люди писали трактаты, привлекали всевозможные научные знания. Но победительницей стала домохозяйка, ответ которой уместился в одной строке "Сделать покрупнее дырки у солонки".  

) в целях решения некоторой оптимизационной задачи. Термин используется в математическом программировании, исследовании операций , линейном программировании , теории статистических решений и других областях математики в первую очередь прикладного характера, хотя целью оптимизации может быть и решение собственно математической задачи . Помимо целевой функции в задаче оптимизации для переменных могут быть заданы ограничения в виде системы равенств или неравенств. В общем случае аргументы целевой функции могут задаваться на произвольных множествах.

Примеры

Гладкие функции и системы уравнений

может быть сформулирована как задача минимизации целевой функции

$S\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^N\; F\_j^2(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_M)\; \backslash qquad\; (1)$

Если функции гладкие, то задачу минимизации можно решать градиентными методами .

Для всякой гладкой целевой функции можно приравнять к $0$ частные производные по всем переменным. Оптимум целевой функции будет одним из решений такой системы уравнений. В случае функции $(1)$ это будет система уравнений метода наименьших квадратов (МНК). Всякое решение исходной системы является решением системы МНК. Если исходная система несовместна, то всегда имеющая решение система МНК позволяет получить приближённое решение исходной системы. Число уравнений системы МНК совпадает с числом неизвестных, что иногда облегчает и решение совместных исходных систем.

Линейное программирование

Другим известным примером целевой функции является линейная функция, которая возникает в задачах линейного программирования. В отличие от квадратичной целевой функции оптимизация линейной функции возможна только при наличии ограничений в виде системы линейных равенств или неравенств.

Комбинаторная оптимизация

Типичным примером комбинаторной целевой функции является целевая функция задачи коммивояжёра . Эта функция равна длине гамильтонова цикла на графе . Она задана на множестве перестановок $n-1$ вершины графа и определяется матрицей длин рёбер графа. Точное решение подобных задач часто сводится к перебору вариантов.

Напишите отзыв о статье "Целевая функция"

Примечания

См. также

Литература

• Бурак Я. И., Огирко И. В. Оптимальный нагрев цилиндрической оболочки с зависящими от температуры характеристиками материала // Мат. методы и физ.-мех. поля. - 1977. - Вып. 5. - С.26-30

Отрывок, характеризующий Целевая функция

Решение прямой и двойственной задачи линейного программирования средствами Python

Введение

Постановка задачи

Однако известно , что каждой задаче линейного программирования соответствует так называемая выделенная(двойственная)задача. В ней по сравнению с прямой задачей строки переходят в столбцы, неравенства меняют знак, вместо максимума ищется минимум (или наоборот, вместо минимума - максимум). Задача, двойственная к двойственной - эта сама исходная задача.

Решение двойственной задачи очень важно для анализа использования ресурсов. В данной публикации будет доказано, что оптимальные значения целевых функций в исходной и двойственной задачах совпадают (т.е. максимум в исходной задаче совпадает с минимумом в двойственной).

Оптимальные значения стоимости материала и труда будут оцениваться по их вкладу в целевую функцию. В результате будут получены «объективно обусловленные оценки» сырья и рабочей силы, которые не совпадают с рыночными ценами.

Решение прямой задачи о оптимальной производственной программе

Функция цели
maxF(x)=c×x

Ограничения
A×x≤b

Численные значения переменных:
N=5; m=4; b_ub = ; A_ub = [, , ,]; c = .

Задачи
1.Найти x для обеспечения максимальной прибыли
2. Найти использованные ресурсы при выполнении п.1
3. Найти остатки ресурсов (если они есть) при выполнении п.1

Для определения максимума (по умолчанию определяется минимум коэффициенты целевой функции нужно записать с отрицательным знаком c = [-25, -35,-25,-40,-30] и проигнорировать знак минус перед прибылью.

Используемые при выводе результатов обозначения:
x – массив значений переменных, доставляющих минимум (максимум) целевой функции;
slack – значения дополнительных переменных. Каждая переменная соответствует ограничению-неравенству. Нулевое значение переменной означает, что соответствующее ограничение активно;
success – True, если функции удалось найти оптимальное решение;
status – статус решения:
0 – поиск оптимального решения завершился успешно;
1 – достигнут лимит на число итераций;
2 – задача не имеет решений;
3 – целевая функция не ограничена.
nit – количество произведенных итераций.

Листинг решения прямой задачи оптимизации

#!/usr/bin/python # -*- coding: utf-8 -*- import scipy from scipy.optimize import linprog # загрузка библиотеки ЛП c = [-25, -35,-25,-40,-30] # список коэффициентов функции цели b_ub = # список объёмов ресурсов A_ub = [, # матрица удельных значений ресурсов , , ] d=linprog(c, A_ub, b_ub) # поиск решения for key,val in d.items(): print(key,val) # вывод решения if key=="x": q=#использованные ресурсы print("A_ub*x",q) q1= scipy.array(b_ub)-scipy.array(q) #остатки ресурсов print("b_ub-A_ub*x", q1)

Выводы

1. Найден оптимальный план по видам продукции
2. Найдено фактическое использование ресурсов
3. Найден остаток не использованного четвёртого вида ресурса [ 0. 0 0.0 0.0 90.909]
4. Нет необходимости в вычислениях по п.3, так как тот же результат выводить в переменной slack

Решение двойственной задачи о оптимальной производственной программе

Введём новое назначение искомой переменной x как некоторой «теневой» цены, определяющей ценность данного ресурса в отношении прибыли от реализации выпускаемой продукции.

C – вектор имеющихся ресурсов;
b_ub – вектор прибыли от производства единицы изделия каждого вида;
A_ub_T– транспонированная матрица A_ub.

Функция цели
minF(x)=c×x

Ограничения
A_ub_T ×x≥ b_ub

Численные значения и соотношения для переменных:
с = ; A_ub_T transpose(A_ub); b_ub = .

Задача:
Найти x показывающий ценность для производителя каждого вида ресурсов.

Особенности решения с библиотекой scipy. optimize
Для замены ограничений сверху на ограничения с низу необходимо умножить на минус единицу обе части ограничения – A_ub_T ×x≥ b_ub… Для этого исходные данные записать в виде: b_ub = [-25, -35,-25,-40,-30]; A_ub_T =- scipy.transpose(A_ub).

Листинг решения двойственной задачи оптимизации

#!/usr/bin/python # -*- coding: utf-8 -*- import scipy from scipy.optimize import linprog A_ub = [, , , ] c= b_ub = [-25, -35,-25,-40,-30] A_ub_T =-scipy.transpose(A_ub) d=linprog(c, A_ub_T, b_ub) for key,val in d.items(): print(key,val)

Выводы

Результаты сравнения прямой и двойственной задачи

1. Двойственная задача расширяет возможности планирования выпуска продукции, но средствами scipy. optimize решается за вдвое большее чем прямая количество итераций.
2. Переменная slack выводит информацию об активности ограничений в виде неравенств, что может быть использовано, например, для анализа остатков сырья.
3. Прямая задача является задачей максимизации, а двойственная - задачей минимизации, и наоборот.
4. Коэффициенты функции цели в прямой задаче являются ограничениями в двойственной задаче.
5. Ограничения в прямой задаче становятся коэффициентами функции цели в двойственной.
6. Знаки неравенств в ограничениях меняются на противоположные.
7. Матрица системы равенств транспонируется.

Если ограничивающий фактор один (например, дефицитный станок), решение может быть найдено с применением простых формул (см. ссылку в начале статьи). Если же ограничивающих факторов несколько, применяется метод линейного программирования.

Линейное программирование – это название, данное комбинации инструментов используемых в науке об управлении. Этот метод решает проблему распределения ограниченных ресурсов между конкурирующими видами деятельности с тем, чтобы максимизировать или минимизировать некоторые численные величины, такие как маржинальная прибыль или расходы. В бизнесе он может использоваться в таких областях как планирование производства для максимального увеличения прибыли, подбор комплектующих для минимизации затрат, выбор портфеля инвестиций для максимизации доходности, оптимизация перевозок товаров в целях сокращения расстояний, распределение персонала с целью максимально увеличить эффективность работы и составление графика работ в целях экономии времени.

Скачать заметку в формате , рисунки в формате

Линейное программирование предусматривает построение математической модели рассматриваемой задачи. После чего решение может быть найдено графически (рассмотрено ниже), с использованием Excel (будет рассмотрено отдельно) или специализированных компьютерных программ.

Пожалуй, построение математической модели – наиболее сложная часть линейного программирования, требующая перевода рассматриваемой задачи в систему переменных величин, уравнений и неравенств – процесс, в конечном итоге зависящий от навыков, опыта, способностей и интуиции составителя модели.

Рассмотрим пример построения математической модели линейного программирования

Николай Кузнецов управляет небольшим механическим заводом. В будущем месяце он планирует изготавливать два продукта (А и В), по которым удельная маржинальная прибыль оценивается в 2500 и 3500 руб., соответственно.

Изготовление обоих продуктов требует затрат на машинную обработку, сырье и труд (рис. 1). На изготовление каждой единицы продукта А отводится 3 часа машинной обработки, 16 единиц сырья и 6 единиц труда. Соответствующие требования к единице продукта В составляют 10, 4 и 6. Николай прогнозирует, что в следующем месяце он может предоставить 330 часов машинной обработки, 400 единиц сырья и 240 единиц труда. Технология производственного процесса такова, что не менее 12 единиц продукта В необходимо изготавливать в каждый конкретный месяц.

Рис. 1. Использование и предоставление ресурсов

Николай хочет построить модель с тем, чтобы определить количество единиц продуктов А и В, которые он доложен производить в следующем месяце для максимизации маржинальной прибыли.

Линейная модель может быть построена в четыре этапа.

Этап 1. Определение переменных

Существует целевая переменная (обозначим её Z), которую необходимо оптимизировать, то есть максимизировать или минимизировать (например, прибыль, выручка или расходы). Николай стремится максимизировать маржинальную прибыль, следовательно, целевая переменная:

Z = суммарная маржинальная прибыль (в рублях), полученная в следующем месяце в результате производства продуктов А и В.

Существует ряд неизвестных искомых переменных (обозначим их х 1 , х 2 , х 3 и пр.), чьи значения необходимо определить для получения оптимальной величины целевой функции, которая, в нашем случае является суммарной маржинальной прибылью. Эта маржинальная прибыль зависит от количества произведенных продуктов А и В. Значения этих величин необходимо рассчитать, и поэтому они представляют собой искомые переменные в модели. Итак, обозначим:

х 1 = количество единиц продукта А, произведенных в следующем месяце.

х 2 = количество единиц продукта В, произведенных в следующем месяце.

Очень важно четко определить все переменные величины; особое внимание уделите единицам измерения и периоду времени, к которому относятся переменные.

Этап. 2. Построение целевой функции

Целевая функция – это линейное уравнение, которое должно быть или максимизировано или минимизировано. Оно содержит целевую переменную, выраженную с помощью искомых переменных, то есть Z выраженную через х 1 , х 2 … в виде линейного уравнения.

В нашем примере каждый изготовленный продукт А приносит 2500 руб. маржинальной прибыли, а при изготовлении х 1 единиц продукта А, маржинальная прибыль составит 2500 * х 1 . Аналогично маржинальная прибыль от изготовления х 2 единиц продукта В составит 3500 * х 2 . Таким образом, суммарная маржинальная прибыль, полученная в следующем месяце за счет производства х 1 единиц продукта А и х 2 единиц продукта В, то есть, целевая переменная Z составит:

Z = 2500 * х 1 + 3500 *х 2

Николай стремится максимизировать этот показатель. Таким образом, целевая функция в нашей модели:

Максимизировать Z = 2500 * х 1 + 3500 *х 2

Этап. 3. Определение ограничений

Ограничения – это система линейных уравнений и/или неравенств, которые ограничивают величины искомых переменных. Они математически отражают доступность ресурсов, технологические факторы, условия маркетинга и иные требования. Ограничения могут быть трех видов: «меньше или равно», «больше или равно», «строго равно».

В нашем примере для производства продуктов А и В необходимо время машинной обработки, сырье и труд, и доступность этих ресурсов ограничена. Объемы производства этих двух продуктов (то есть значения х 1 их 2) будут, таким образом, ограничены тем, что количество ресурсов, необходимых в производственном процессе, не может превышать имеющееся в наличии. Рассмотрим ситуацию со временем машинной обработки. Изготовление каждой единицы продукта А требует трех часов машинной обработки, и если изготовлено х 1 , единиц, то будет потрачено З * х 1 , часов этого ресурса. Изготовление каждой единицы продукта В требует 10 часов и, следовательно, если произведено х 2 продуктов, то потребуется 10 * х 2 часов. Таким образом, общий объем машинного времени, необходимого для производства х 1 единиц продукта А и х 2 единиц продукта В, составляет 3 * х 1 + 10 * х 2 . Это общее значение машинного времени не может превышать 330 часов. Математически это записывается следующим образом:

3 * х 1 + 10 * х 2 ≤ 330

Аналогичные соображения применяются к сырью и труду, что позволяет записать еще два ограничения:

16 * х 1 + 4 * х 2 ≤ 400

6 * х 1 + 6 * х 2 ≤ 240

Наконец следует отметить, что существует условие, согласно которому должно быть изготовлено не менее 12 единиц продукта В:

Этап 4. Запись условий неотрицательности

Искомые переменные не могут быть отрицательными числами, что необходимо записать в виде неравенств х 1 ≥ 0 и х 2 ≥ 0. В нашем примере второе условия является избыточным, так как выше было определено, что х 2 не может быть меньше 12.

Полная модель линейного программирования для производственной задачи Николая может быть записана в виде:

Максимизировать: Z = 2500 * х 1 + 3500 *х 2

При условии, что: 3 * х 1 + 10 * х 2 ≤ 330

16 * х 1 + 4 * х 2 ≤ 400

6 * х 1 + 6 * х 2 ≤ 240

Рассмотрим графический метод решения задачи линейного программирования.

Этот метод подходит только для задач с двумя искомыми переменными. Модель, построенная выше, будет использована для демонстрации метода.

Оси на графике представляют собой две искомые переменные (рис. 2). Не имеет значения, какую переменную отложить вдоль, какой оси. Важно выбрать масштаб, который в конечном итоге позволит построить наглядную диаграмму. Поскольку обе переменные должны быть неотрицательными, рисуется только I-й квадрант.

Рис. 2. Оси графика линейного программирования

Рассмотрим, например, первое ограничение: 3 * х 1 + 10 * х 2 ≤ 330. Это неравенство описывает область, лежащую ниже прямой: 3 * х 1 + 10 * х 2 = 330. Эта прямая пересекает ось х 1 при значении х 2 = 0, то есть уравнение выглядит так: 3 * х 1 + 10 * 0 = 330, а его решение: х 1 = 330 / 3 = 110

Аналогично вычисляем точки пересечения с осями х 1 и х 2 для всех условий-ограничений:

Графически первое ограничение отражено на рис. 3.

Рис. 3. Построение области допустимых решений для первого ограничения

Любая точка в пределах выделенного треугольника или на его границах будет соответствовать этому ограничению. Такие точки называются допустимыми, а точки за пределами треугольника называются недопустимыми.

Аналогично отражаем на графике остальные ограничения (рис. 4). Значения х 1 и х 2 на или внутри заштрихованной области ABCDE будут соответствовать всем ограничениям модели. Такая область называется областью допустимых решений.

Рис. 4. Область допустимых решений для модели в целом

Теперь в области допустимых решений необходимо определить значения х 1 и х 2 , которые максимизируют Z. Для этого в уравнении целевой функции:

Z = 2500 * х 1 + 3500 *х 2

разделим (или умножим) коэффициенты перед х 1 и х 2 на одно и тоже число, так чтобы получившиеся значения попали в диапазон, отражаемый на графике; в нашем случае такой диапазон – от 0 до 120; поэтому коэффициенты можно разделить на 100 (или 50):

Z = 25х 1 + 35х 2

затем присвоим Z значение равное произведению коэффициентов перед х 1 и х 2 (25 * 35 = 875):

875 = 25х 1 + 35х 2

и, наконец, найдем точки пересечения прямой с осями х 1 и х 2:

Нанесем это целевое уравнение на график аналогично ограничениям (рис. 5):

Рис. 5. Нанесение целевой функции (черная пунктирная линия) на область допустимых решений

Значение Z постоянно на всем протяжении линии целевой функции. Чтобы найти значения х 1 и х 2 , которые максимизируют Z, нужно параллельно переносить линию целевой функции к такой точке в границах области допустимых решений, которая расположена на максимальном удалении от исходной линии целевой функции вверх и вправо, то есть к точке С (рис. 6).

Рис. 6. Линия целевой функции достигла максимума в пределах области допустимых решений (в точке С)

Можно сделать вывод, что оптимальное решение будет находиться в одной из крайних точек области принятия решения. В какой именно, будет зависеть от угла наклона целевой функции и от того, какую задачу мы решаем: максимизации или минимизации. Таким образом, не обязательно чертить целевую функцию – все, что необходимо, это определить значения х 1 и х 2 в каждой из крайних точек путем считывания с диаграммы или путем решения соответствующей пары уравнений. Найденные значения х 1 и х 2 затем подставляются в целевую функцию для расчета соответствующей величины Z. Оптимальным решением является то, при котором получена максимальная величина Z при решении задачи максимизации, и минимальная – при решении задачи минимизации.

Определим, например значения х 1 и х 2 в точке С. Заметим, что точка С находится на пересечении линий: 3х 1 + 10х 2 = 330 и 6х 1 + 6х 2 = 240. Решение этой системы уравнений дает: х 1 = 10, х 2 = 30. Результаты расчета для всех вершин области допустимых решений приведены в таблице:

Таким образом, Николай Кузнецом должен запланировать на следующий месяц производство 10 изделий А и 30 изделий В, что позволит ему получить маржинальную прибыль в размере 130 тыс. руб.

Кратко суть графического метода решения задач линейного программирования можно изложить следующим образом:

1. Начертите на графике две оси, представляющие собою два параметра решения; нарисуйте только I-й квадрант.
2. Определите координаты точек пересечения всех граничных условий с осями, подставляя в уравнения граничных условий поочередно значения х 1 = 0 и х 2 = 0.
3. Нанести линии ограничений модели на график.
4. Определите на графике область (называемую допустимой областью принятия решения), которая соответствует всем ограничениям. Если такая область отсутствует, значит, модель не имеет решения.
5. Определите значения искомых переменных в крайних точках области принятия решения, и в каждом случае рассчитайте соответствующее значение целевой переменной Z.
6. Для задач максимизации решение – точка, в которой Z максимально, для задач минимизации, решение – точка, в которой Z минимально.