Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1 . Описание метода ветвей и границ

В основе метода ветвей и границ лежит идея последовательного разбиения множества допустимых решений на подмножества. На каждом шаге метода элементы разбиения подвергаются проверке для выяснения, содержит данное подмножество оптимальное решение или нет. Проверка осуществляется посредством вычисления оценки снизу для целевой функции на данном подмножестве. Если оценка снизу не меньше рекорда - наилучшего из найденных решений, то подмножество может быть отброшено. Проверяемое подмножество может быть отброшено еще и в том случае, когда в нем удается найти наилучшее решение. Если значение целевой функции на найденном решении меньше рекорда, то происходит смена рекорда. По окончанию работы алгоритма рекорд является результатом его работы.

Если удается отбросить все элементы разбиения, то рекорд - оптимальное решение задачи. В противном случае, из неотброшенных подмножеств выбирается наиболее перспективное (например, с наименьшим значением нижней оценки), и оно подвергается разбиению. Новые подмножества вновь подвергаются проверке и т.д.

При применении метода ветвей и границ к каждой конкретной задаче в первую очередь должны быть определены две важнейшие его процедуры: 1) ветвления множества возможных решений; 2) вычисления нижних и верхних оценок целевой функции.

1 . 1 Правила ветвления

В зависимости от особенностей задачи для организации ветвления обычно используется один из двух способов:

1. ветвление множества допустимых решений исходной задачи D;

2. ветвление множества D" получаемого из D путем снятия условия целочисленноти на переменные.

Первый способ ветвления обычно применяется для задач целочисленного программирования и заключается в выделении подобластей возможных решений путем фиксации значений отдельных компонент целочисленных оптимизационных переменных (рис. 1). На рис. 1-а дана геометрическая интерпретация области допустимых решений задачи целочисленного программирования, определяемой двумя линейными ограничениями и условиями неотрицательности переменных, и образующихся при ветвлении подобластей, а на рис. 1-б показана соответствующая схема ветвления.

Второй способ ветвления - более универсальный, чем первый. Для осуществления ветвления некоторой области D i " этим способом на D i " решается оптимизационная задача с целевой функцией исходной задачи и действительными переменными.

Ветвление осуществляется, если в оптимальном решении значение хотя бы одной целочисленной по исходной постановке задача переменной не является целочисленным. Среди этих переменных выбирается одна, например j - я. Обозначим ее значение в найденном оптимальном решении x 0 [j]. Говорят, что ветвление осуществляется по переменной x[j]. Область D i " разделяется на две подобласти D i1 " и D i2 " следующим образом:

где ] - целая часть значения x 0 [j]

На рис. 2 условно дана геометрическая интерпретация такого ветвления.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2. Геометрическая интерпретация ветвления

Видно, что при этом из области D i " удаляется часть между плоскостями вновь введенных ограничений. Так как переменная x[j] по условиям области допустимых решений исходной задачи - целочисленная, то из подобласти допустимых решений исходной задачи. D i (D i D i ") при таком изъятии не исключается ни одного решения.

1 . 2 Формирование нижних и верхних оценок целевой функции

Прежде чем начать обсуждение данного вопроса, необходимо сказать, что общепринятым является применение метода ветвей и границ для задачи, в которой направление оптимизации приведено к виду минимизации. Для компактности дальнейших обозначений и выкладок запишем задачу дискретного программирования, для которой будем применять метод ветвей и границ, в следующей обобщенной форме:

где х - вектор оптимизационных переменных, среди которых часть действительных, а часть целочисленных; f(x) - в общем случае нелинейная целевая функция; D - область допустимых решений задачи дискретного программирования общего вида.

Нижние оценки целевой дикции в зависимости от выбранного способа ветвления могут определяться либо для подобластей D i D либо для подобластей D i " D" (D i " и D" получены из соответствующих множеств D i и D путем снятия условий целочисленности на дискретные переменные).

Нижней оценкой целевой функции f(x) на множестве D i (или D i ") будем называть величину:

Вычисление нижних оценок в каждом конкретном случае может осуществляться с учетом особенностей решаемой задачи. При этом чтобы оценки наиболее эффективно, выполняли свою функцию, они должны быть как можно большими, т.е. быть как можно ближе к действительным значениям min f(x). Это необходимо в первую очередь для того, чтобы нижние оценки как можно точнее отражали действительное соотношение min f(x) на образовавшихся при ветвлении подмножествах и позволяли более точно определять направление дальнейшего поиска оптимального решения исходной задачи.

На рис. 3 показан такой идеальный случай, когда нижние оценки (соединены ломаной штрихпунктирной линией) правильно отражают соотношения между действительными минимальными значениями f(x) (соединены штриховой линией) для четырех подмножеств допустимых решений D 1 , D 2 , D 3 , D 4 .

Один из универсальных способов вычисления нижних оценок заключается в решении следующей задачи:

Определенная таким образом о i является нижней оценкой f(x) на D i (или D i "), так как D i D i ".

Если при решении задачи (4) установлено, что, то для общности будем полагать, что.

Необходимо отметить одно важное свойство нижних оценок, заключающееся в том, что их значения для образовавшихся при ветвлении подмножеств не могут быть меньше нижней оценки целевой функции на множестве, подвергавшемся ветвлению.

Совместно с нижней оценкой в методе ветвей и границ используются верхние оценки f(x). Как правило, вычисляют лишь одно значение верхней оценки, которую определяют как значение целевой функции для лучшего найденного допустимого решения исходной задачи. Такую верхнюю оценку иногда называют рекордом. Если же можно для решаемой задачи достаточно просто и точно получить верхние оценки f(x) для отдельных множеств, образующихся при ветвлении, то их необходимо использовать в методе для уменьшения вычислительной сложности процесса решения. При использовании единой верхней оценки ее первоначальное значение обычно полагают равным бесконечности (), если, конечно, из априорных соображений не известно ни одного допустимого решения исходной задачи. При нахождении первого допустимого решения:

Затем при определении более лучшего допустимого решения верхнюю оценку корректируют:

Таким образом, значение верхней оценки может лишь уменьшаться в процессе решения задачи.

1 .3 Алгоритм метода ветвей и границ

Основные правила алгоритма могут быть сформулированы следующим образом:

1. Ветвлению в первую очередь подвергается подмножество с номером, которому соответствует наименьшее значение нижней оценки целевой функции (I - это множество номеров всех подмножеств, (или), находящихся на концах ветвей и ветвление которых еще не прекращено). Если реализуется изложенный выше способ ветвления множеств, то может возникнуть неоднозначность относительно выбора компоненты, по которой необходимо осуществлять очередной шаг ветвления. К сожалению, вопрос о «наилучшем» способе такого выбора с общих позиций пока не решен, и поэтому в конкретных задачах используются некоторые эвристические правила.

2. Если для некоторого i-го подмножества выполняется условие, то ветвление его необходимо прекратить, так как потенциальные возможности нахождения хорошего решения в этом подмножестве (их характеризует) оказываются хуже, чем значение целевой функции для реального, найденного к данному моменту времени, допустимого решения исходной задачи (оно характеризует).

3. Ветвление подмножества прекращается, если найденное в задаче (4) оптимальное решение. Обосновывается это тем, что, и, следовательно, лучшего допустимого решения, чем в этом подмножестве не существует. В этом случае рассматривается возможность корректировки.

4. Если, где, то выполняются условия оптимальности для найденного к этому моменту лучшего допустимого решения. Обоснование такое же, как и пункта 2 настоящих правил.

5. После нахождения хотя бы одного допустимого решения исходной задачи может быть рассмотрена возможность остановки работы алгоритма с оценкой близости лучшего из полученных допустимых решений к оптимальному (по значению целевой функции):

1 .4 Решение задачи методом ветвей и границ

Первоначально находим симплексным методом или методом искусственного базиса оптимальный план задачи без учета целочисленности переменных.

Если среди компонент этого плана нет дробных чисел, то тем самым найдено искомое решение данной задачи.

Если среди компонент плана имеются дробные числа, то необходимо осуществить переход к новым планам, пока не будет найдено решение задачи.

Метод ветвей и границ основан на предположении, что наш оптимальный нецелочисленный план дает значение функции, большее, чем всякий последующий план перехода.

Пусть переменная в плане - дробное число. Тогда в оптимальном плане ее значение будет по крайней мере либо меньше или равно ближайшему меньшему целому числу, либо больше или равно ближайшему большему целому числу.

Определяя эти числа, находим симплексным методом решение двух задач линейного программирования

Возможны четыре случая при решении этой пары задач:

Одна из задач неразрешима, а другая имеет целочисленный оптимальный план. Тогда этот план и значение целевой функции дают решение исходной задачи.

Одна из задач неразрешима, а другая имеет нецелочисленный оптимальный план. Тогда рассматриваем вторую задачу и в ее оптимальном плане выбираем одну из компонент, значение которой равно дробному числу и строим две задачи, аналогичные предыдущим.

Обе задачи разрешимы. Одна из задач имеет оптимальный целочисленный план, а в оптимальном плане другой задачи есть дробные числа. Тогда вычисляем значения целевой функции от планов и сравниваем их между собой. Если на целочисленном оптимальном плане значение целевой функции больше или равно ее значению на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то данный целочисленный план является оптимальным для исходной задачи и дает искомое решение.

Обе задачи разрешимы, и среди оптимальных планов обеих задач есть дробные числа. Тогда рассматриваем ту из задач, для которой значение целевой функции является наибольшим. И строим две задачи.

Таким образом, при решении задачи получаем схему:

Находим решение задачи линейного программирования без учета целочисленности.

Составляет дополнительные ограничения на дробную компоненту плана.

Находим решение двух задач с ограничениями на компоненту.

Строим в случае необходимости дополнительные ограничения, согласно возможным четырем случаям получаем оптимальный целочисленный план либо устанавливаем неразрешимость задачи.

Найдем решение задачи

Решение. Находим решение без учет целочисленности задачи симплексным методом.

Рассмотрим следующую пару задач:

Первая задача имеет оптимальный план

вторая - неразрешима.

Проверяем на целочисленность план первой задачи. Это условие не выполняется, поэтому строим следующие задачи:

Задача 1.1

Задача 1.2

Задача 1.2 неразрешима, а задача №1.1 имеет оптимальный план, на котором значение целевой функции.

В результате получили, что исходная задача целочисленного программирования имеет оптимальный план и.

2. Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ

Рассмотрим теперь класс прикладных задач оптимизации. Метод ветвей и границ используется в очень многих из них. Предлагается рассмотреть одну из самых популярных задач - задача коммивояжера. Вот ее формулировка. Имеется несколько городов, соединенных некоторым образом дорогами с известной длиной; требуется установить, имеется ли путь, двигаясь по которому можно побывать в каждом городе только один раз и при этом вернуться в город, откуда путь был начат («обход коммивояжера»), и, если таковой путь имеется, установить кратчайший из таких путей.

2.1 Постановка задачи

Формализуем условие в терминах теории графов. Города будут вершинами графа, а дороги между городами - ориентированными (направленными) ребрами графа, на каждом из которых задана весовая функция: вес ребра - это длина соответствующей дороги. Путь, который требуется найти, это - ориентированный остовный простой цикл минимального веса в орграфе (напомним: цикл называется остовным, если он проходит по всем вершинам графа; цикл называется простым, если он проходит по каждой своей вершине только один раз; цикл называется ориентированным, если начало каждого последующего ребра совпадает с концом предыдущего; вес цикла - это сумма весов его ребер; наконец, орграф называется полным, если в нем имеются все возможные ребра); такие циклы называются также гамильтоновыми.

Очевидно, в полном орграфе циклы указанного выше типа есть. Заметим, что вопрос о наличии в орграфе гамильтонова цикла достаточно рассмотреть как частный случай задачи о коммивояжере для полных орграфов. Действительно, если данный орграф не является полным, то его можно дополнить до полного недостающими ребрами и каждому из добавленных ребер приписать вес Ґ, считая, что Ґ - это «компьютерная бесконечность», т.е. максимальное из всех возможных в рассмотрениях чисел. Если во вновь построенном полном орграфе найти теперь легчайший гамильтонов цикл, то при наличии у него ребер с весом Ґ можно будет говорить, что в данном, исходном графе «цикла коммивояжера» нет. Если же в полном орграфе легчайший гамильтонов цикл окажется конечным по весу, то он и будет искомым циклом в исходном графе.

Отсюда следует, что задачу о коммивояжере достаточно решить для полных орграфов с весовой функцией. Сформулируем теперь это в окончательном виде:

пусть - полный ориентированный граф и - весовая функция; найти простой остовный ориентированный цикл («цикл коммивояжера») минимального веса.

Пусть конкретный состав множества вершин и - весовая матрица данного орграфа, т.е. , причем для любого.

Рассмотрение метода ветвей и границ для решения задачи о коммивояжере удобнее всего проводить на фоне конкретного примера. Пользуясь введенными здесь обозначениями, мы проводим это описание в следующей лекции.

Введем некоторые термины. Пусть имеется некоторая числовая матрица. Привести строку этой матрицы означает выделить в строке минимальный элемент (его называют константой приведения) и вычесть его из всех элементов этой строки. Очевидно, в результате в этой строке на месте минимального элемента окажется ноль, а все остальные элементы будут неотрицательными. Аналогичный смысл имеют слова привести столбец матрицы.

Слова привести матрицу по строкам означают, что все строки матрицы приводятся. Аналогичный смысл имеют слова привести матрицу по столбцам.

Наконец, слова привести матрицу означают, что матрица сначала приводится по строкам, а потом приводится по столбцам.

Весом элемента матрицы называют сумму констант приведения матрицы, которая получается из данной матрицы заменой обсуждаемого элемента на Ґ. Следовательно, слова самый тяжелый нуль в матрице означают, что в матрице подсчитан вес каждого нуля, а затем фиксирован нуль с максимальным весом.

Приступим теперь к описанию метода ветвей и границ для решения задачи о коммивояжере.

Первый шаг. Фиксируем множество всех обходов коммивояжера (т.е. всех простых ориентированных остовных циклов). Поскольку граф - полный, это множество заведомо не пусто. Сопоставим ему число, которое будет играть роль значения на этом множестве оценочной функции: это число равно сумме констант приведения данной матрицы весов ребер графа. Если множество всех обходов коммивояжера обозначить через G, то сумму констант приведения матрицы весов обозначим через j(G). Приведенную матрицу весов данного графа следует запомнить; обозначим ее через M 1 ; таким образом, итог первого шага:

множеству G всех обходов коммивояжера сопоставлено чис-ло j(G) и матрица M 1 .

Второй шаг. Выберем в матрице M 1 самый тяжелый нуль; пусть он стоит в клетке; фиксируем ребро графа и разделим множество G на две части: на часть, состоящую из обходов, которые проходят через ребро, и на часть, состоящую из обходов, которые не проходят через ребро.

Сопоставим множеству следующую матрицу M 1,1: в матрице M 1 заменим на Ґ число в клетке. Затем в полученной матрице вычеркнем строку номер i и столбец номер j, причем у оставшихся строк и столбцов сохраним их исходные номера. Наконец, приведем эту последнюю матрицу и запомним сумму констант приведения. Полученная приведенная матрица и будет матрицей M 1,1 ; только что запомненную сумму констант приведения прибавим к j(G) и результат, обозначаемый в дальнейшем через j(), сопоставим множеству.

Теперь множеству тоже сопоставим некую матрицу M 1,2 . Для этого в матрице M 1 заменим на Ґ число в клетке и полученную в результате матрицу приведем. Сумму констант приведения запомним, а полученную матрицу обозначим через M 1,2 . Прибавим запомненную сумму констант приведения к числу j(G) и полученное число, обозначаемое в дальнейшем через j(), сопоставим множеству.

Теперь выберем между множествами и то, на котором минимальна функция j (т.е. то из множеств, которому соответствует меньшее из чисел j() и j()).

Заметим теперь, что в проведенных рассуждениях использовался в качестве исходного только один фактический объект - приведенная матрица весов данного орграфа. По ней было выделено определенное ребро графа и были построены новые матрицы, к которым, конечно, можно все то же самое применить.

При каждом таком повторном применении будет фиксироваться очередное ребро графа. Условимся о следующем действии: перед тем, как в очередной матрице вычеркнуть строку и столбец, в ней надо заменить на Ґ числа во всех тех клетках, которые соответствуют ребрам, заведомо не принадлежащим тем гамильтоновым циклам, которые проходят через уже отобранные ранее ребра.

К выбранному множеству с сопоставленными ему матрицей и числом j повторим все то же самое и так далее, пока это возможно.

Доказывается, что в результате получится множество, состоящее из единственного обхода коммивояжера, вес которого равен очередному значению функции j; таким образом, оказываются выполненными все условия, обсуждавшиеся при описании метода ветвей и границ.

После этого осуществляется улучшение рекорда вплоть до получения окончательного ответа.

2.2 Условие задачи

Студенту Иванову поручили разнести некоторые важные документы из 12-ого корпуса. Но, как назло, у него на это очень мало времени, да и еще надо вернуться обратно. Нужно найти кротчайший путь. Расстояния между объектами даны в таблице

2.3 Математическая модель задачи

Для решения задачи присвоим каждому пункту маршрута определенный номер: 12-ый корпус - 1, Белый дом - 2, КРК «Премьер» - 3, Администрация - 4 и 5-ый корпус - 5. Соответственно общее количество пунктов. Далее введем альтернативных переменных, принимающих значение 0, если переход из i-того пункта в j-тый не входит в маршрут и 1 в противном случае. Условия прибытия в каждый пункт и выхода из каждого пункта только по одному разу выражаются равенствами (8) и (9).

Для обеспечения непрерывности маршрута вводятся дополнительно n переменных и дополнительных ограничений (10).

Суммарная протяженность маршрута F , которую необходимо минимизировать, запишется в следующем виде:

В нашем случае эти условия запишутся в следующем виде:

2.4 Решение задачи методом ветвей и границ

1) Анализ множества D.

Найдем оценку снизу Н . Для этого определяем матрицу минимальных расстояний по строкам (1 где расстояние минимально в строке).

Аналогично определяем матрицу минимальных расстояний по столбцам.

Выберем начальный план: . Тогда верхняя оценка:

Очевидно, что, где означает переход из первого пункта в j-тый. Рассмотрим эти подмножества по порядку.

2) Анализ подмножества D 12 .

3) Анализ подмножества D 13 .

4) Анализ подмножества D 14 .

5) Анализ подмножества D 15 .

6) Отсев неперспективных подмножеств.

Подмножества D 13 и D 15 неперспективные. Т.к. , но, то далее будем рассматривать подмножество D 14 .

7) Анализ подмножества D 142 .

8) Анализ подмножества D 143 .

9) Анализ подмножества D 145 .

10) Отсев неперспективных подмножеств

Подмножество D 143 неперспективное. Т.к. , но, то далее будем рассматривать подмножество D 145 .

11) Анализ подмножества D 1452 .

ветвь граница целевой алгоритм

12) Анализ подмножества D 1453 .

Оптимальное решение: .

Таким образом, маршрут студента: 12-ый корпус - Администрация - 5-ый корпус - Белый дом - КРК Премьер - 12-ый корпус.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Список использованной литературы

1. Абрамов Л.А., Капустин В.Ф. Математическое программирование. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1981. -328 с.

2. Алексеев О.Г. Комплексное применение методов дискретной оптимизации. - М.: Наука, 1987. -294 с.

3. Корбут А.А., Финкелгейн Ю.Ю. Дискретное программирование. М.: Наука. 1969. -240 с

4. Кузнецов Ю.Н. и др. Математическое программирование: Учебное пособие. - 2-е изд., перераб и доп. - М.: Высшая школа, 1980. -300 с.

5. Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. - М.: Мир, 1985. -213 с.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Постановка и решение дискретных оптимизационных задач методом дискретного программирования и методом ветвей и границ на примере классической задачи коммивояжера. Этапы построения алгоритма ветвей и границ и его эффективность, построение дерева графов.

курсовая работа , добавлен 08.11.2009


Постановка задачи о коммивояжере. Нахождение оптимального решения с применением метода ветвей и границ. Основной принцип этого метода, порядок его применения. Использование метода верхних оценок в процедуре построения дерева возможных вариантов.

курсовая работа , добавлен 01.10.2009


Особенности метода ветвей и границ как одного из распространенных методов решения целочисленных задач. Декомпозиция задачи линейного программирования в алгоритме метода ветвей и границ. Графический, симплекс-метод решения задач линейного программирования.

курсовая работа , добавлен 05.03.2012


Моделирование передвижения муравьев. Метод ветвей и границ, ближайшего соседа. Ограничения, накладываемые на агента в стандартной постановке задачи коммивояжера. Использование графа видимости в алгоритме муравья. Структура данных алгоритма муравья.

дипломная работа , добавлен 07.02.2013


Методы ветвей и границ первого и второго порядка. Оптимальный и пассивный поиск. Недостатки метода Ньютона. Метод золотого сечения. Примеры унимодальных функций. Динамическое и линейное программирование. Метод Жордана-Гаусса. Решение задачи коммивояжера.

курсовая работа , добавлен 20.07.2012


Сущность теории графов и сетевого моделирования. Выбор оптимального пути и стоимости переезда коммивояжера с помощью метода ветвей и границ. Разработка программы выбора самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу.

курсовая работа , добавлен 08.08.2013


Оптимизация решения задачи с помощью алгоритма отжига. Анализ теории оптимизации как целевой функции. Метод градиентного спуска. Переменные и описание алгоритма отжига. Представление задачи коммивояжера через граф. Сведение задачи к переменным и решение.

курсовая работа , добавлен 21.05.2015


Постановка линейной целочисленной задачи. Метод отсекающих плоскостей. Дробный алгоритм решения полностью целочисленных задач. Эффективность отсечения Гомори. Сравнение вычислительных возможностей метода отсекающих плоскостей и метода ветвей и границ.

курсовая работа , добавлен 25.11.2011


Задача о ранце как задача комбинаторной оптимизации. Задача о загрузке, рюкзаке, ранце. Постановка и NP-полнота задачи. Классификация методов решения задачи о рюкзаке. Динамическое программирование. Метод ветвей и границ. Сравнительный анализ методов.

курсовая работа , добавлен 18.01.2011


Поиск верхних и нижних границ для оптимального значения на подобласти допустимых решений. Методы и проблемы решения задач нелинейного программирования. Написание и отладка программы. Создание программы для решения задачи "коммивояжёра" прямым алгоритмом.

Введение

При рассмотрении целого ряда задач, необходимо учитывать требование целочисленности используемых переменных. Методы решения задач линейного программирования не гарантируют целочисленности решения.

Иногда задачи целочисленного линейного программирования решают приближенно. Для этого решают задачу без учета целочисленности переменных, затем в полученном оптимальном решении округляют результаты до ближайших целых значений. Использование таких решений допустимо в тех ситуациях, где значения переменных достаточно велики, и погрешностью округления можно пренебречь. Если значения переменных невелики, то округление может привести к значительному расхождению с оптимальным решением.

Одним из широко распространенных методов решения целочисленных задач является метод ветвей и границ, впервые, он был предложен Ленд и Дойг в 1960 г.

ветвь граница линейное программирование

Метод ветвей и границ

Алгоритм метода ветвей и границ предусматривает декомпозицию исходной задачи линейного программирования (ЗЛП) на последовательность задач, содержащих дополнительные ограничения на переменные, которые затем оптимизируются.

1. Процесс начинают с решения задачи симплексным или графическим методом без учета требования на целочисленность переменных. Эту задачу называют ЗЛП-0. Если все переменные оптимального плана целые, то этот план также является оптимальными для задач целочисленного программирования.

2. Если некоторая переменная, не получила целочисленного значения, то производится ветвление на две новые задачи ЗЛП-1, ЗЛП-2. Одна из задач ЗЛП-1 представляет собой задачу ЗЛП-0, дополненную ограничением где - целая часть числа. Вторая образуется путем добавления к задаче ЗЛП-0 ограничения. Следует отметить, что выбор целочисленной переменной может быть произвольным определяться следующим образом:

по возрастанию или убыванию индексов;

переменная представляет важное решение принимаемое в рамках данной задачи;

коэффициент в целевой функции при этой переменной существенно превосходит все остальные.

3. Задачи ЗЛП-1 и ЗЛП-2 решаются самостоятельно. Ветвь оканчивается, если область допустимых решений пуста, либо её оптимальное решение полностью целочисленное. В противном случае возникает необходимость ветвления с п.2, обозначая следующие номера задач ЗЛП в естественном порядке ЗЛП-3, ЗЛП-4.

Процесс решения можно представить в виде дерева, в котором вершина ЗЛП-0 отвечает начальному плану решения задачи, а каждая из соединенных с ней ветвью вершин отвечает оптимальному плану следующей задачи.

Рассмотрим следующий пример. Максимизировать целевую функцию

при ограничениях

Воспользуемся графическим методом решения задачи линейного программирования.

1. Решим исходную задачу без учета требования целочисленности переменных.

Обозначим эту задачу линейного программирования ЗЛП-0.

На рисунке 1.1 штриховкой выделен многоугольник решений данной задачи. Максимальное значение достигается в точке Решение не является целочисленным.

Следующий шаг метода ветвей и границ состоит в ветвлении по одной из целочисленных переменных, имеющих дробное значение, например. Для этого добавим к задаче ЗЛП-0 два новых ограничения и Этими ограничениями удаляется интервал = в котором нет целых значений. Таким образом, в процессе ветвления создаются две новые задачи ЗЛП-1 и ЗЛП-2.

Рисунок 1.1 Решение задачи ЗЛП-0

2. Решим задачу ЗЛП-1 графически.

На рисунке 1.2 изображена допустимая область задачи ЗЛП-1. Максимальное значение достигается в точке. Решение задачи нецелочисленное.

Рисунок 1.2 Решение задачи ЗЛП-1

3. Решим задачу ЗЛП-2 графически.

В данном случае множество допустимых решений пусто (рисунок 1.2). Система ограничений несовместна, и задачу ЗЛП-2 можно исключить из дальнейшего рассмотрения.

Рисунок 1.3 Решение задачи ЗЛП-2

Теперь продолжим исследование задачи ЗЛП-1, поскольку значение нецелое. Произведем еще одно ветвление, путем введения ограничений и. В результате получаем две новые задачи ЗЛП-3 и ЗЛП-4.

Здравствуй, Хабр! Реализовывая различные алгоритмы для нахождения гамильтонова цикла с наименьшей стоимостью, я наткнулся на публикацию , предлагающую свой вариант. Попробовав в деле, я получил неправильный ответ:

Дальнейшие поиски в Интернете не принесли ожидаемого результата: либо сложное для не-математиков теоретическое описание, либо понятное, но с ошибками.

Под катом вас будет ждать исправленный алгоритм и онлайн-калькулятор.

Сам метод, опубликованный Литтлом, Мерти, Суини, Кэрелом в 1963 г. применим ко многим NP-полным задачам, и представляет собой очень теоритеризованный материал, который без хороших знаний английского языка и математики сразу не применишь к нашей задаче коммивояжера.

Кратко о методе - это полный перебор всех возможных вариантов с отсеиванием явно неоптимальных решений.

Исправленный алгоритм, для нахождения действительно минимального маршрута

Алгоритм состоит из двух этапов:

Первый этап

Приведение матрицы затрат и вычисление нижней оценки стоимости маршрута r.

Второй (основной) этап

А) Ищем все нулевые элементы в приведенной матрице
б) Для каждого из них считаем его штраф за неиспользование.
в) Выбираем элемент, которому соответствует максимальный штраф (любой, если их несколько)

2. Теперь наше множество S разбиваем на множества - содержащие ребро с максимальным штрафом(S w) и не содержащие это ребро(S w/o).
3. Вычисление оценок затрат для маршрутов, входящих в каждое из этих множеств.
а) Для множества S w/o все просто: раз мы не берем соответствующее ребро c максимальным штрафом(h,k), то для него оценка затрат равна оценки затрат множества S + штраф за неиспользование ребра (h,k)
б) При вычислении затрат для множества S w примем во внимание, что раз ребро (h,k) входит в маршрут, то значит ребро (k,h) в маршрут входить не может, поэтому в матрице затрат пишем c(k,h)=infinity, а так как из пункта h мы «уже ушли», а в пункт k мы «уже пришли», то ни одно ребро, выходящее из h, и ни одно ребро, приходящее в k, уже использоваться не могут, поэтому вычеркиваем из матрицы затрат строку h и столбец k. После этого приводим матрицу, и тогда оценка затрат для S w равна сумме оценки затрат для S и r(h,k), где r(h,k) - сумма констант приведения для измененной матрицы затрат.
4. Из всех неразбитых множеств выбирается то, которое имеет наименьшую оценку.

Так продолжаем, пока в матрице затрат не останется одна не вычеркнутая строка и один не вычеркнутый столбец.

Небольшая оптимизация - подключаем эвристику

Да, правда, почему бы нам не ввести эвристику? Ведь в алгоритме ветвей и границ мы фактически строим дерево, в узлах которого решаем брать ребро (h,k) или нет, и вешаем двух детей - Sw(h,k) и Sw/o(h,k). Но лучший вариант для следующей итерации выбираем только по оценке. Так давайте выбирать лучший не только по оценке, но и по глубине в дереве, т.к. чем глубже выбранный элемент, тем ближе он к концу подсчета. Тем самым мы сможем наконец дождаться ответа.

Теперь, собственно, об ошибках в той публикации

Доказательство

Вернемся к картинке в начале поста:

Ответ: путь:3=>4=>2=>1=>5=>3 длина: 41
Как видите, включая ребро 5:2 в решение будет ошибкой. Что и требовалось доказать

График сравнения метода ветвей и границ и потраченного времени для случайной таблицы от 5х5 до 10х10:


График максимального и минимального потраченного времени для матриц от 5х5 до 66х66.


Попробовать с подробным решением можно

Требуется решить следующую задачу:

max 2х 1 + х 2

5х 1 + 2х 2 10

3х 1 + 8х 2 13

Вначале решим эту задачу графически без ограниченийцелочисленности. Решение может быть найдено как симплекс-методом, так и графически. Найдем его графически (рисунок 4). Координаты точки оптимума можно найти, решив систему уравнений: 5х 1 + 2х 2 = 10 х 1 =27/17

3х 1 + 8х 2 = 13 х 2 =35/34

Х G = (27/17;35/34), z G =143/34

Рисунок 4 - Графическое решение задачи без ограничений целочиелейности

Начнем строить дерево, первая вершина которого будет соответствовать всей ОДП нецелочисленной задачи (G), а ее оценка будет равна z G (рис.5).

Рисунок 5 - Схема метода ветвей и границ

Полученный план не является целочисленным, поэтому возьмем его произвольную нецелочисленную компоненту, например, первую (х 1 Z; [х 1 ] = = 1) и разобьем ОДП на две части следующим образом:

G 1 ={XG: х 1 1}

G 2 ={XG: х 1 2}

Это означает, что в область G 1 войдут все точки из G, у которых абсцисса не больше 1, а в G 2 - у которых она не меньше 2. Точки с дробными значениями абсциссы от 1 до 2 исключены из рассмотрения.

Изобразим эти области на графике (рисунок 6).

Из рисунка 6 видно, что G 2 представляет собой одну точку Х G 2 =(2;0), следовательно, на этом множестве оптимум задачи равен 4 ( 2 =4).

План Х G 2 является целочисленным, следовательно, решение целочисленной задачи уже, возможно, найдено. Однако, следует еще найти оценку множества G 1 |. Она может оказаться не менее 4 (но обязательно не более 143/34). Если это так, то нужно проверить, не является ли целочисленным решение задачи на G 1. Если оно целое, то является решением задачи, а если нет, то процесс решения необходимо продолжить, разбивая G 1

Рисунок 6 - Разбиение множества на части

На G 1 точку оптимума можно найти, решив систему уравнений:

х 1 = 1 х 1 =1

3х 1 + 8х 2 = 13 х 2 =5/4

Х G 1 = (1; 5/4), z G =13/4

Оценка меньше 4, следовательно, решением задачи является Х * =Х G 2 =(2;0),z * =4.

3.4 Решение задачи целочисленного линейного программирования методом ветвей и границ с помощью ппп «Система деловых задач»

ЗЦЛП можно решить с помощью пакета прикладных программ “Quantitative Systems for Business” ("Система деловых задач") . Соответствующая программа запускается файлом intlprog.ехе. Она решает как частично, так и полностью целочисленные задачи линейного программирования с числом переменных и ограничений до 20, используя метод ветвей и границ. В том числе решаются и задачи с булевыми переменными (т.е. с переменными, которые могут принимать одно из двух значений - 0 или 1; как, например, в задаче о назначениях ). По умолчанию все переменные неотрицательны. Программа позволяет ввести целочисленные границы для переменных, не включая их в общее число ограничений. По умолчанию нижняя граница 0, а верхняя 32000. Если необходимо установить нецелочисленные границы, их вводят, как обычные ограничения.

Если в задаче имеется несколько оптимальных планов, из них находится только один. Информация о наличии множественного решения не выводится.

Режим 2 (ввод новой задачи) включает три этапа. На первом этапе осуществляют ввод информации о размерности задачи, направлении экстремизации и именах переменных (по умолчанию XI, Х2,..., Хn).

На втором этапе необходимо определить, являются ли все переменные целочисленными, являются ли все переменные булевыми, и будут ли вводиться границы для переменных. При ответе «нет» на первый вопрос или «да» на третий, выводится таблица (рисунок 7):

Введите предел и границы для переменных

(По умолчанию значения нижней границы 0 и верхней границы 32000)

№ перем. Имя Предел (I/C) Нижняя гр. Верхняя гр.

1 X 1 <0 > <0 >

2 X 2 <0 > <0 >

Рисунок 7 - Определение пределов и границ

Установив I (integer) в столбце «Предел», на переменную накладывают ограничение целочисленности. В противном случае (С, continuous) -переменная может принимать и нецелые значения, т.е. является непрерывной.

Значения границ округляются до целых. Если нижняя больше верхней, выдается сообщение об ошибке.

На третьем этапе вводятся коэффициенты при переменных и знаки в ограничениях.

В меню решений имеется возможность исправить целочисленную погрешность (по умолчанию она 0,001).

Решение задачи методом ветвей и границ не сопровождается графической иллюстрацией (изображением дерева) в программе, но для пояснения алгоритма приведем такую иллюстрацию на рисунок 8.

Алгоритм метода ветвей и границ, реализованный в данной программе, несколько отличается от рассмотренного выше в методических указаниях и является менее эффективным в том смысле, что может потребовать большего числа итераций. Тем не менее, его полезно рассмотреть, чтобы наглядно проиллюстрировать разницу в подходах. Кроме того, во многих учебных пособиях применение метода ветвей и границ рассматривается именно на примере данной его модификации.

Основное различие заключается в том, что здесь на каждом этапе не выбирается наиболее «перспективное» подмножество. После того, как очередное подмножество разбито на две части, не подсчитывают сразу оценку обеих частей, а вместо этого каждая ветвь дерева последовательно рассматривается до конца. Исходная ОДП разбивается на подмножества по первой нецелочисленной переменной в оптимальном плане нецелочисленной задачи. Затем рассматривают ту вершину, которой соответствует знак , разбивают соответствующее подмножество так же, как и исходную ОДП, снова рассматривают ту вершину, которой соответствует знак , и т.д. до тех пор, пока не будет получен целочисленный план, или задача окажется неразрешимой. Только после этого возвращаются к рассмотрению вершин, которым соответствовал знак .

При этом на каждой итерации выводится информация о текущих целочисленных границах (определяющих рассматриваемое подмножество), оптимальном плане нецелочисленной задачи, о том, является ли он целочисленным, о значении целевой функции (ЦФ) на нем и о величинах ZL или ZU. Для задачи на максимум выводится значение нижней границы ZL, а на минимум верхней ZU. До тех пор, пока не найдено какое-нибудь целое решение, ZL =-1*10 20 , а ZU = 1*10 20 .

После нахождения целочисленного плана нельзя сразу судить о том, является ли он оптимальным, так как рассматривались не наиболее перспективные вершины. Но можно в уверенностью утверждать, что искомый максимум не меньше (а минимум не больше) значения целевой функции на целочисленном плане. Поэтому значения границ ZL и ZU изменяются (если только ранее не был найден целочисленный план с не меньшим (не большим) значением целевой функции).

Ветви с оценкой, меньшей ZL или большей ZU, не рассматриваются. План, соответствующий границе, запоминается. После того, как рассмотрены или исключены из рассмотрения все подмножества, этот план можно считать оптимальным.

Поясним это на примере (рис.8):

max 3х 1 + 2х 2

7х 1 + 5х 2 35

9х 1 + 4х 2 36

На первой итерации найдено нецелочисленное решение Х=(2,353; 3,706). Вся ОДП (множество G) разбивается на два подмножества - G 1 и G 2 следующим образом:

G 1 ={XG: х 1 3}

G 2 ={XG: х 1 2}.

На второй итерации решают задачу на подмножестве G 1 . Полученное решение также нецелочисленно. Далее, вместо того, чтобы рассмотреть подмножество G 2 , продолжают рассматривать G 1 . В соответствующем плане выбирают первую по счету нецелочисленную компоненту (это х 2) и разбивают G 1 на G 3 и G 4 . На третьей итерации рассматривают G 3 - на этом подмножестве допустимых планов нет. Только после этого на четвертой итерации рассматривается вторая ветвь, выходящая из G 1 - подмножество G 4 . Далее аналогично.

На пятой итерации на подмножестве G 5 найдено целочисленное решение, которому соответствует значение целевой функции 12. На следующей итерации это значение присваивается величине ZL, которая до этого была равна -1*10 20 . Соответствующий план запоминается - он может оказаться оптимальным. Но на шестой итерации снова получен целочисленный план, целевая функция на котором равна 13 (больше 12) - ZL снова изменяется, запоминается новый план.

После этого, на седьмой итерации, переходят к рассмотрению подмножества G 2 , которое разбивают на G 7 и G 8 .

На тринадцатой итерации (подмножество G 14) снова найдено целочисленное решение Х=(0; 7), целевая функция на нем равна 14. Снова изменяется ZL и запоминается соответствующий план.

План, найденный на четырнадцатой итерации, также является целочисленным, но его не запоминают, так как 13<14 (ZL=14). План, найденный на пятнадцатой итерации, тоже, к сожалению, не запоминается, так как 1414, а программа ставит своей целью найти хотя бы одно решение.

Наличие других оптимальных планов здесь игнорируется.

Таким образом, решение Х=(0; 7) получено за 15 итераций.

Отметим, что если бы использовался более эффективный вариант метода ветвей и границ, схема которого описана в методических указаниях, то после второй итерации произошел бы сразу переход к седьмой. В самом деле, если рассматривать значения целевой функции на соответствующих планах в качестве оценки подмножеств, то оценка G 2 выше. Поэтому итерации с 3-ей по 6-ю оказываются лишними, и общее число итераций могло быть равно 11.