Введение

4.1. Исходные данные

4.2. Формулы для вычислений

4.3. Заполнение диалогового окна «Поиск решения»

4.4. Результаты решения

Заключение

Cписок литературы

Введение

линейный программирование excel оптимизационный задача

Решение широкого круга задач электроэнергетики и других отраслей народного хозяйства основывается на оптимизации сложной совокупности зависимостей, описанных математически с помощью некоторой «целевой функции» (ЦФ). Подобные функции можно записать для определения затрат на топливо для электростанций, на потери электроэнергии при транспорте ее от электростанции к потребителям и многие другие проблемные задачи. В таких случаях требуется найти ЦФ при определенных ограничениях, накладываемых на ее переменные. Если ЦФ линейно зависит от входящих в ее состав переменных и все ограничения образуют линейную систему уравнений и неравенств, то такая частная форма оптимизационной задачи получила название «задачи линейного программирования».

Тема курсовой работы «Решение задач линейного программирования в MS Excel», на примере «транспортная задача» взятой из области общей энергетики, получить практические навыки в использовании электронных таблиц Microsoft Excel и решения оптимизационных задач линейного программирования.

1. Исходные данные для решения задачи

Исходные данные включают в себя - схему расположения угольных бассейнов (УБ) и электрических станций (ЭС) с указанием транспортных связей между ними, таблицы, содержащие сведения о годовой производительности и удельной цене топлива УБ, установленной мощности, числе часов использования установленной мощности и удельный расход топлива на ЭС, расстояниях между УБ и ЭС и удельной стоимости перевозки топлива по трассам УБ-ЭС.

Рис.1. Исходные данные

2. Краткие сведения об электронных таблицах MS Excel

Рис. 2. Вид окна приложения

Табличными процессами называют пакеты программ, предназначенных для создания электронных таблиц и манипулирование их данными. Применение электронных таблиц упрощает работу с данными, позволяет автоматизировать вычисление без использования специального программирования. Наиболее широкое применение - в экономических и бухгалтерских расчетах. MS Excel предоставляет пользователю возможность:

.Использовать сложные формулы, содержащие встроенные функции.

2.Организовывать связи ячеек и таблиц, при этом изменение данных в исходных таблицах автоматически изменяет результаты в итоговых таблицах.

.Создавать сводные таблицы.

.Применять к таблицам сортировку и фильтрацию данных.

.Осуществлять консолидацию данных (объединение данных из нескольких таблиц в одну).

.Использовать сценарии - поименованные массивы исходных данных, по которым формируются конечные итоговые значения в одной и той же таблице.

.Выполнять автоматизированный поиск ошибок в формулах.

.Защищать данные.

.Использовать структурирование данных (скрывать и отображать части таблиц).

.Применять автозаполнение.

.Применять макросы.

.Строить диаграммы.

.Использовать автозамену и проверку орфографии.

.Использовать стили, шаблоны, автоформатирование.

.Обмениваться данными с другими приложениями.

Ключевые понятия :

.Рабочая книга - основные документы, хранится в файле.

2.Лист (объем: 256 столбцов, 65536 строк).

.Ячейка - наименьшая структурная единица размещения данных.

.Адрес ячейки - определяет положение ячейки в таблице.

.Формула - математическая запись вычислений.

.Ссылка - запись адреса ячейки в составе формулы.

.Функция - математическая запись, указывающая на выполнение определенных вычислительных операций. Состоит из имени и аргументов.

Ввод данных :

Данные могут быть следующих типов -

·Числа.

·Текст.

·Функции.

·Формулы.

Вводить можно -

·В ячейки.

·В строку формул.

Если на экране в ячейке после ввода появляется ########, значит число длинное и в ячейке не помещается, то надо увеличить ширину ячейки.

Формулы - определяют, каким образом величины в ячейках связаны друг с другом. Т.е. данные в ячейке получаются не заполнением, а автоматически вычисляются. При изменении содержимого ячеек, на которые есть ссылка в формуле, меняется и результат в вычисляемой ячейке. Все формулы начинаются знаком =. Далее могут следовать -

·Ссылка на ячейку (например, А6).

·Функция.

·Арифметический оператор (+, -, /, *).

·Операторы сравнения (>, <, <=, =>, =).

Можно вводить формулы прямо в ячейку, но удобнее вводить с помощью строки формул.

Функции - это стандартные формулы для выполнения определенных задач. Функции используются только в формулах.

Способ: Вставка - Функция или в строке формул щелкнуть на = . Появится диалоговое окно со списком десяти недавно использованных функций. Для расширения списка выбрать Другие функции…, откроется другое диалоговое окно, где функции сгруппированы по типам (категориям), приведено описание назначения функции и их параметров.

Полное описание по работе с электронными таблицами MS Excel, можно найти в учебниках и пособиях (специализированных).

3. Математическая постановка задачи

По критерию минимума затрат на топливо для ЭС указанного района электроснабжения необходимо определить их оптимальное топливоснабжение от трех угольных бассейнов с учетом ограничения по потребностям ЭС и производительности УБ.

Исходные данные задачи и переменные, подлежащие определению в ходе ее решения, можно представить в виде табл.3

Обозначение данных:

Вуб1, Вуб2, Вуб3 - производительность угольных бассейнов, тыс.тонн;

Суб1, Суб2, Суб3 - стоимость топлива на угольных бассейнах, у.е./тонн;

Lу - длина железнодорожного пути между УБ к ЭС, км;

Су - удельная стоимость перевозки топлива по трассе от УБ к ЭС, у.е./тонна*км (С11=С12=С13=С21=С22=С23=С31=С32=С33);

Ву - объем топлива, доставляемого от УБ на ЭС, тыс.тонн;

ВЭС1, ВЭС2, ВЭС3 - годовая потребность в топливе первой, второй, третьей ЭС соответственно, тыс.тонн;

Ву - являются параметрами переменными целевой функции, подлежащими определению в процессе решения задачи;

Необходимо определить оптимальный объем топлива (Ву), доставляемые от УБ к каждой из ЭС, при которых суммарные затраты на топливо для всех трех ЭС будут минимальными.

Целевой функцией, подлежащей оптимизации в процессе решения задачи, будут суммарные затраты на топливо для всех трех ЭС.

4. Решение задачи линейного программирования

.1 Исходные данные

Рис. 4. Исходные данные

4.2 Формулы для вычислений

Рис.5. Промежуточные расчеты

4.3 Заполнение диалогового окна «Поиск решения»

Рис. 6. Процесс оптимизации.

Рис.6.1.Задание ограничений (топлива должно быть>0).

Рис.6.2.Задание ограничений (кол-во привез. = кол-ву потреблен. топлива).

Рис.6.3.Задание ограничений (годовая отгрузка, не превышать производ. УБ1).

Рис.6.4.Задание ограничений (годовая отгрузка, не превышать производ. УБ2).

Рис.6.5.Задание ограничений (годовая отгрузка, не превышать производ. УБ3).

.4 Результаты решения

Рис.8. Результаты решения задачи

Ответ: Количество топлива (тыс. тонн), доставлено на:

ЭС4 из УБ1 составляет 118,17тн;

ЭС6 из УБ1 составляет 545,66тн;

ЭС5 из УБ2 составляет 19,66тн;

ЭС6 из УБ2 составляет 180,34тн;

ЭС5 из УБ3 составляет 277,94тн;

ЭС6 из УБ3 составляет 526,00тн;

ЭС4 всего 118,17тн;

ЭС5 всего 297,60тн;

ЭС6 всего 1252,00тн;

Затраты на топливо составили (у.е.):

Для ЭС4 - 496314,00.

Для ЭС5 - 227064,75.

Для ЭС6 - 23099064,78.

Суммарные затраты для всех ЭС составляют - 23822443,53 у.е.;

Заключение

Краткие сведения об электронных таблицах MS Excel. Решение задачи линейного программирования. Решение с помощью средств Microsoft Excel экономической оптимизационной задачи, на примере "транспортной задачи". Особенности оформления документа MS Word.

В курсовой работе показано как создавать и работать при оформлении документа MS Word, в рамках которого рассмотрено решение экономической оптимизационной задачи, на примере «транспортная задача», взятой из области общей энергетики, средствами Microsoft Excel.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Частное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский университет технологий управления и экономики»

Кафедра экономики и менеджмента

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине: МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Выполнил:

Студент (ка) 3 курса, группа № 19731Д/3-2

Крюк Альбина Владимировна

Руководитель:

к.э.н., доцент Ж.М. Козлова.

Барнаул 2016

• Введение
• Заключение
• ВВЕДЕНИЕ
• Решение широкого круга задач электроэнергетики и других отраслей народного хозяйства основывается на оптимизации сложной совокупности зависимостей, описанных математически с помощью некоторой «целевой функции» (ЦФ). Подобные функции можно записать для определения затрат на топливо для электростанций, на потери электроэнергии при транспорте ее от электростанции к потребителям и многие другие проблемные задачи. В таких случаях требуется найти ЦФ при определенных ограничениях, накладываемых на ее переменные. Если ЦФ линейно зависит от входящих в ее состав переменных и все ограничения образуют линейную систему уравнений и неравенств, то такая частная форма оптимизационной задачи получила название «задачи линейного программирования».
• Темы контрольной работы «Решение задач линейного программирования в MS Excel», получить практические навыки в использовании электронных таблиц Microsoft Excel и решения оптимизационных задач линейного программирования.

1. Типовые задачи оптимизации и их экономико-математические модели

Экономико-математическое моделирование представляет собой процесс выражения экономических явлений математическими мо­делями. Экономическая модель -- это схематичное представление экономического явления или процесса с использованием научной абстракции, отражение их характерных черт. Математические мо­дели -- основное средство решения задач оптимизации любой дея­тельности. По своей сути эти модели -- средство плановых расче­тов. Ценность их для экономического анализа и оптимизации реше­ний состоит в том, что они позволяют оценить напряженность плановых заданий, определить лимитирующую группу оборудова­ния, видов ресурсов, получать оценки их дефицитности и т.п. Мате­матическое моделирование экономических явлений и процессов дает возможность получить четкое представление об исследуемом объекте, охарактеризовать и количественно описать его внутреннюю струк­туру и внешние связи. Модель -- условный образ объекта управле­ния /1/.

Экономико-математическая модель должна быть адекватной действительности, отражать существенные стороны и связи изучаемо­го объекта. Отметим принципиальные черты, характерные для по­строения экономико-математической модели любого вида. Процесс моделирования можно условно подразделить на три этапа:

1) ана­лиз теоретических закономерностей, свойственных изучаемому яв­лению или процессу и эмпирических данных о его структуре и особенностях; на основе такого анализа формируются модели;

2) определение методов, с помощью которых можно решить задачу;

3) анализ полученных результатов.

Важнейшим моментом первого этапа моделирования является четкая формулировка конечной цели построения модели, а также определение критерия, по которому будут сравниваться различные варианты решения. Такими критериями в системе менеджмента могут быть:

а) максимизация полезного эффекта товара при ограни­чении совокупности затрат;

б) максимизация прибыли фирмы при условии, что качество товара не снизится; в) снижение себестоимо­сти товара при условии, что его качество не снизится, затраты у потребителя не увеличатся;

г) рост производительности труда, улуч­шение использования оборудования или материалов, повышение оборачиваемости оборотных средств при условии, что качество то­вара не снизится и другие критерии не ухудшатся.

Таким образом, в качестве критерия оптимизации может быть целое или любой компонент прибыли, эффективности товара, объема рынка при ус­ловии, что другие компоненты при этом не ухудшатся.

Например, уравнение целевой функции (L) и система ограниче­ний по оптимизации прибыли фирмы (правда, у авторов нет огра­ничений по качеству товара) будет иметь следующий вид:

где хj -- количество производимой продукции j-го вида в нату­ральных измерениях;

Пj -- прибыль, получаемая от производства единицы про­дукции j-го вида;

аij -- норма расхода i-го производственного ресурса на про­изводство единицы j-го вида продукции;

щj -- запасы i-го вида производственного ресурса на рас­сматриваемый период времени.

Не для всякой экономической задачи нужна собственная модель. Некоторые процессы с математической точки зрения однотипны и могут описываться одинаковыми моделями. Например, в линейном программировании, теории массового обслуживания и других су­ществуют типовые модели, к которым приводится множество конк­ретных задач.

Вторым этапом моделирования экономических процессов являет­ся выбор наиболее рационального математического метода для реше­ния задачи. Например, для решения задач линейного программиро­вания известно много методов: симплексный, потенциалов и др. Луч­шей моделью является не самая сложная и самая похожая на реальное явление, а та, которая позволяет получить самое рациональное реше­ние и наиболее точные экономические оценки. Излишняя детализа­ция затрудняет построение модели, а излишнее укрупнение модели приводит к потере существенной экономической информации, к не­адекватному отражению реальности.

Третьим этапом моделирования является всесторонний анализ результата, полученного при изучении экономического явления. Окончательным критерием достоверности и качества модели явля­ются практика, соответствие полученных результатов и выводов реальным условиям, экономическая содержательность полученных оценок. Если результаты не соответствуют реальным условиям, то необходим анализ причин несоответствия, в качестве которых могут быть недостоверность информации, несоответствие модели эконо­мическим условиям и др. По результатам анализа причин несоответствия экономико-математическая модель корректируется и ре­шение задачи повторяется.

Решим графическим методом типовую задачу оптимизации

Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный - 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. Ед., а улучшенный - 4 ден. Ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

Сформулируем прямую оптимизационную задачу.

Пусть х1 - количество обычных наборов удобрений;

х2 - количество улучшенных наборов удобрений.

А для некоторого газона требуется по крайней мере 10 кг азотных удобрений, следовательно:

3х1 + 2х2 ? 10

4х1 + 6х2 ? 20

Стоимость необходимых наборов удобрений составит:

Таким образом, получим следующую экономико-математическую модель задачи:

min (х) = 3х1 + 4х2

3х1 + 2х2 ? 10

4х1 + 6х2 ? 20

Построим область решений системы ограничений. Для этого рассмотрим равенства и построим их графики - прямые.

1) 3х1 + 2х2 ? 10

3х1 + 2х2 = 10

3) х1 + 3х2 ? 7

Неравенство не выполняется, значит, исходному неравенству соответствует полуплоскость, не содержащая точку О(0;0).

х1 = 0 - ось ОХ2.

х2 = 0 - ось ОХ1.

Следовательно, область решений системы ограничений находится только в первой четверти декартовой системы координат.

Рис.1. Графическое решение ЗЛП

Находим общую часть всех построенных полуплоскостей. Это выпуклая заштрихованная область.

Для нахождения оптимального решения задачи изобразим графически функцию цели:

(х) = d1x1 + d2x2

(х) = 3х1 + 4х2

Для этого строим вектор d, начало которого в точке (0;0), а конец в точке (d1;d2).

И строим одну из линий уровня функции цели (это линия, на которой функция цели принимает постоянное значение).

Для определения минимума данной функции, передвигаем линию уровня в направлении, противоположном вектору d, и видим, что она последний раз соприкасается с областью решений в точке В, где и будет достигнут min(х).

Определим координаты точки В:

3х1 + 2х2 = 10 *(-3)

4х1 + 6х2 = 20

9х1 - 6х2 = -30

4х1 + 6х2 = 20

Складываем почленно уравнения и получаем:

(х) = 3*2 + 4*2 = 14 (ден. ед.)

Таким образом, чтобы минимизировать стоимость удобрений, нужно купить 2 обычных набора удобрений и 2 улучшенных набора удобрений. При этом минимальные затраты на покупку удобрений составят 14 денежных единиц. microsoft excel программирование математический

Если решать данную задачу на максимум, то конечного оптимума не найдем, т.к. функция цели неограниченна, область решений системы ограничений бесконечна.

2. Задачи линейного программирования, решение средствами MS Excel

Линейное программирование является разделом, с которого начала развиваться дисциплина «математическое программирование». Термин «программирование» в названии дисциплины ничего общего с термином «программирование (т.е. составление программ) для ЭВМ» не имеет, так как дисциплина «линейное программирование» возникла еще до того времени, когда ЭВМ стали широко применяться при решении математических, инженерных, экономических и других задач. Термин «линейное программирование» возник в результате неточного перевода английского «linear programming». Одно из значений слова «programming» - составление планов, планирование. Следовательно, правильным переводом «linear programming» было бы не «линейное программирование», а «линейное планирование», что более точно отражает содержание дисциплины. Однако, термин линейное программирование, нелинейное программирование и т.д. в нашей литературе стали общепринятыми. Задачи линейного программирования является удобной математической моделью для большого числа экономических задач (планирование производства, расходование материалов, транспортные перевозки и т.д.). Использование метода линейного программирования представляет собой важность и ценность - оптимальный вариант выбирается из достаточно значительного количества альтернативных вариантов. Также все экономические задачи, решаемые с применением линейного программирования, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями.
В электронных таблицах Excel с помощью функции поиска решения можно вести поиск значения в целевой ячейке, изменения значения переменных. При этом для каждой переменной можно задать ограничения, например верхнюю границу. Перед тем как запустить поиск решения, необходимо четко сформулировать в модели решаемую проблему, т.е. определить условия, выполняемые при оптимизации. Отправленной точкой при поиске оптимального решения является модель вычисления, созданная в рабочем листе. Программе поиска решения при этом необходимы следующие данные. 1. Целевая ячейка - это ячейка в модели вычисления, значения в которой должно быть максимизировано, минимизировано или же равняться определенному указанному значению. Она должна содержать формулу, которая прямо или косвенно ссылается на изменяемые ячейки, или же самой быть изменяемой. 2. Значения в изменяемых ячейках будут последовательно (методом итераций) изменяться до тех пор, пока не будет получено нужное значение в целевой ячейке. Эти ячейки, следовательно, прямо или косвенно должны влиять на значение целевой ячейки. 3. Вы можете задать как для целевой, так и для изменяемых ячеек, ограничения и граничные условия. Можно задать также ограничения для других ячеек. Прямо или косвенно присутствующих в модели. Программа предоставляет возможность задать специальные параметры, определяющие процесс поиска решения. После задания всех необходимых параметров можно запустить поиск решения. Функция поиска решения создаст по итогам своей работы три отчета, которые можно пометить в рабочую книгу.Ограничения - это условия, которые должны быть выполнены аппаратом поиска решения при оптимизации модели.

Изучение литературы показало, что:

1. Линейное программирование - это один из первых и наиболее подробно изученных разделов математического программирования. Именно линейное программирование явилось тем разделом, с которого начала развиваться сама дисциплина «математическое программирование».

Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования можно отнести задачи:

· рационального использования сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя;

· оптимизации производственной программы предприятий;

· оптимального размещения и концентрации производства;

· составления оптимального плана перевозок, работы транспорта;

· управления производственными запасами;

· и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

2. Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач линейного программирования с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи.

Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора в ОДР производится поиск оптимальной точки. Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции. Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

С помощью правильной постановки задачи планирования производства и наличия основных производственных параметров, мы можем найти план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль.

Благодаря программному продукту Excel, который входит в пакет MS Office, решение наших задач ускоряется в несколько десятков раз. А благодаря точным математическим расчетам данного ПО, мы можем без сомнения найти самые точные результаты исследований.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Краткие сведения об электронных таблицах MS Excel. Решение задачи линейного программирования. Решение с помощью средств Microsoft Excel экономической оптимизационной задачи, на примере "транспортной задачи". Особенности оформления документа MS Word.

курсовая работа , добавлен 27.08.2012


История развития и функции линейного программирования. Исследование условий типовых задач и возможностей табличного процессора. Решение задач о рационе питания, плане производства, раскрое материалов и рациональной перевозке груза в среде MS Excel.

курсовая работа , добавлен 28.04.2014


Принципы решения задач линейного программирования в среде электронных таблиц Excel, в среде пакета Mathcad. Порядок решения задачи о назначении в среде электронных таблиц Excel. Анализ экономических данных с помощью диаграмм Парето, оценка результатов.

лабораторная работа , добавлен 26.10.2013


Алгоритм решения задач линейного программирования симплекс-методом. Построение математической модели задачи линейного программирования. Решение задачи линейного программирования в Excel. Нахождение прибыли и оптимального плана выпуска продукции.

курсовая работа , добавлен 21.03.2012


Изучение и укрепление на практике всех моментов графического метода решения задач линейного программирования о производстве журналов "Автомеханик" и "Инструмент". Построение математической модели. Решение задачи с помощью электронной таблицы Excel.

курсовая работа , добавлен 10.06.2014


Общее понятие и характеристика задачи линейного программирования. Решение транспортной задачи с помощью программы MS Excel. Рекомендации по решению задач оптимизации с помощью надстройки "Поиск решения". Двойственная задача линейного программирования.

дипломная работа , добавлен 20.11.2010


Анализ метода линейного программирования для решения оптимизационных управленческих задач. Графический метод решения задачи линейного программирования. Проверка оптимального решения в среде MS Excel с использованием программной надстройки "Поиск решения".

курсовая работа , добавлен 29.05.2015


Разработка таблиц в Excel методами линейного программирования с целью оптимизации расходов ресурсов и запасов на изготовление продукции: определение переменных величин, структуры целевой функции, построение математической модели и блок-схем решения задач.

курсовая работа , добавлен 07.06.2010


Методы решения задач линейного программирования: планирования производства, составления рациона, задачи о раскрое материалов и транспортной. Разработка экономико-математической модели и решение задачи с использованием компьютерного моделирования.

курсовая работа , добавлен 13.03.2015


Графическое решение задач. Составление математической модели. Определение максимального значения целевой функции. Решение симплексным методом с искусственным базисом канонической задачи линейного программирования. Проверка оптимальности решения.

Нижегородский Государственный Технический Университет

Павловский филиал

Курсовая работа

по информатике на тему:

“Технология решения задач линейного программирования с помощью Поиска решений приложения Excel” .

Выполнила : Бородулина Д.А.

Группа 05-АМ.

Проверила : Ловыгина М.Б.

Павлово 2006 г.

Введение……………………………………………………………………………стр. 3

Решение задач с помощью надстройки Поиск решения

1. Установка программы Поиск решения…………………………………………..…стр.4
2. Диалоговое окно Поиск решения…………………………………………………..…стр.4
3. Ввод и редактирование ограничений………………………………………………..стр.5
4. Настройка параметров алгоритма и программы……………………………….стр.6

1. Сохранение модели оптимизации…………………………………………………....стр.9
2. Загрузка модели оптимизации……………………………………………………….стр.9

Вычисления и результаты решения задачи………………………………..стр. 10

Просмотр промежуточных результатов поиска решения…………...стр.11

Возникающие проблемы и сообщения процедуры поиска решения…...стр.12

Итоговые сообщения процедуры поиска решения……………………....стр.13

Примеры выполнения задач

1. Пример № 1………………………………………………………………………………стр.15
2. Пример № 2 (графическим способом)……………………………………………...стр..20

Вывод……………………………………………………………………………....стр.24

Список литературы…………………………………………………………....стр.25

Введение

Линейная оптимизация – это раздел математического программирования, посвящённый нахождению экстремума линейных функций нескольких переменных при дополнительных линейных ограничениях, которые налагаются на переменные. Методы, с помощью которых решаются задачи, подразделяются на универсальные (например, симплексный метод) и специальные. С помощью универсальных методов решаются любые задачи линейного программирования. Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремум целевой функции достигается на границе области допустимых решений.

Использование электронных таблиц широко распространено для решения многочисленных и разнообразных задач, связанных с учётом и контролем результатов управленческой деятельности: торгово-закупочных операций, производственных планов, бухучёта и т. п. Вместе с тем форма электронной таблицы оказывается очень удобной при решении многих аналитических задач управления деятельностью, и в частности задач исследования операций и поиска оптимальных решений.

В экономике оптимизационные задачи возникают в связи с многочисленностью возможных вариантов функционирования конкретного экономического объекта, когда возникает ситуация выбора варианта, наилучшего по некоторому правилу, критерию, характеризуемому соответствующей целевой функцией (например, иметь минимум затрат, максимум продукции).

Такие задачи в Excel решают с помощью Поиска решения .

Процедура Поиск решения представляет собой мощный инструмент для выполнения сложных вычислений. Она позволяет находить значения переменных, удовлетворяющих указанным критериям оптимальности, при условии выполнения заданных ограничений.

Решение задач с помощью надстройки Поиск решения

1. Установка программы Поиск решения

В меню Сервис выберите команду Надстройки.

В диалоговом окне Надстройки установите флажок Поиск решения. Если диалоговое окно Надстройки не содержит команды Поиск решения , нажмите кнопку Обзор и укажите диск и папку, в которой содержится файл надстройки Solver. xla (как правило, это папка Library\ Solver folder) или запустите программу Setup , если найти файл не удаётся.

Надстройка, указанная в диалоговом окне Надстройки , остаётся активной до тех пор, пока она не будет удалена.

2. Диалоговое окно Поиск решения

Окно Поиск решения (рис. 1) вызывается командой меню Сервис>Поиск решения.

Поле Установить целевую ячейку служит для указания целевой ячейки, значение которой необходимо максимизировать, минимизировать или установить равным заданному числу. Эта ячейка должна содержать формулу.

Рис.1.Диалоговое окно Поиск решения.

Кнопка Равной служит для выбора варианта с заданным значением целевой ячейки. Чтобы установить заданное число, введите его в поле.

Поле Изменяя ячейки служит для указания ячеек, значения которых изменяются в процессе поиска решения до тех пор, пока не будут выполнены наложенные ограничения и условие оптимизации значения ячейки, указанной в поле Установить целевую ячейку.

В поле Изменяя ячейки вводятся имена или адреса изменяемых ячеек, разделяя их запятыми. Изменяемые ячейки должны быть прямо или косвенно связаны с целевой ячейкой. Допускается установка до 200 изменяемых ячеек.

Поле Предположить используется для автоматического поиска ячеек, влияющих на формулу, ссылка на которую дана в поле Установить целевую ячейку. Результат поиска отображается в поле Изменяя ячейки.

Поля Ограничения служат для отображения списка граничных условий, налагаемые на переменные задачи. Допускаются ограничения в виде равенств, неравенств, а также – требование целочисленности переменных. Ограничения добавляются по одному с помощью кнопки Добавить.

Команда Изменить Изменение ограничения.

Команда Удалить служит для снятия указанного курсором ограничения.

Команда Выполнить служит для запуска поиска решения поставленной задачи.

Команда Закрыть служит для выхода из окна диалога без запуска поиска решения поставленной задачи. При этом сохраняются установки, сделанные в окнах диалога, появлявшихся после нажатий на кнопки Параметры, Добавить, Изменить или Удалить.

Кнопка Параметры служит для отображения диалогового окна Параметры поиска решения , в котором можно загрузить или сохранить оптимизируемую модель и указать предусмотренные варианты поиска решения.

Кнопка Восстановить служит для очистки полей окна диалога и восстановления значений параметров поиска решения, используемых по умолчанию.

3.Ввод и редактирование ограничений

Диалоговые окна изменения и добавления ограничений одинаковы, рис.2.

Выберите из раскрывающегося списка условный оператор, который необходимо разместить между ссылкой и её ограничением. Это знаки операторов: не более, не менее, равно и т. д.

В поле Ограничения введите число, формулу или имя ячейки или диапазона содержащих или вычисляющих ограничивающие значения.

Чтобы приступить к набору нового условия, нажмите кнопку Добавить.

Чтобы вернуться в диалоговое окно Поиск решения, нажмите кнопку ОК.

Условные операторы целого и двоичного типа можно применять только при наложении ограничений на изменяемые ячейки.

Рис.2.Диалоговое окно Изменение ограничения.

4. Настройка параметров алгоритма и программы

Настройка параметров алгоритма и программы производится в диалоговом окне Параметры поиска решения , рис. 3.

В окне устанавливаются ограничения на время решения задач, выбираются алгоритмы, задаётся точность решения, предоставляется возможность для сохранения вариантов модели и их последующей загрузки. Значения и состояния элементов управления, используемые по умолчанию, подходят для решения большинства задач.

Рис. 3. Диалоговое окно Параметры поиска решения.

Поле Максимальное время служит для ограничения времени, отпускаемого на поиск решения задачи. В поле можно ввести время (в секундах) не превышающее 32767; значение 100, используемое по умолчанию, подходит для решения большинства лабораторных работ.

Поле Предельное число итераций служит для управления временем решения задачи, путём ограничения числа промежуточных вычислений. В поле можно ввести время (в секундах) не превышающее 32767; значение 100, используемое по умолчанию, подходит для решения большинства простых задач.

При достижении отведённого временного интервала или при выполнении отведённого числа итераций, на экране появляется диалоговое окно

Поле Относительная погрешность служит для задания точности (допустимой погрешности), с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным границам. Поле должно содержать число из интервала от 0 (нуля) до1. Низкая точность соответствует введённому числу, содержащему меньшее количество десятичных знаков, чем число, используемое по умолчанию, например, 0,0001. Высокая точность увеличит время, которое требуется для того, чтобы сошёлся процесс оптимизации. Чем меньше введённое число, тем выше точность результатов.

Поле Допустимое отклонение служит для задания допуска на отклонение от оптимального решения, если множество значений влияющей ячейки ограничено множеством целых чисел. При указании большого допуска поиск решения заканчивается быстрее.

Поле Сходимость результатов поиска решения применяется только к нелинейным задачам. Когда относительное изменение значения в целевой ячейке за последние пять итераций становится меньше числа, указанного в поле Сходимость , поиск прекращается. Условием сходимости служит дробь из интервала от 0 (нуля) до 1. Лучшую сходимость характеризует большее количество десятичных знаков, например, 0,0001 – это меньшее относительное изменение, чем 0,01. Чем меньше его значение, тем выше точность результатов. Лучшая сходимость требует больше времени на поиск оптимального решения.

Флажок Линейная модель служит для ускорения поиска решения линейной задачи оптимизации или линейной аппроксимации нелинейной задачи.

Флажок Неотрицательные значения позволяет установить нулевую нижнею границу для тех влияющих ячеек, для которых она не была указана в поле Ограничение диалогового окна Добавить ограничение .

Флажок служит для включения автоматической нормализации входных и выходных значений, качественно различающихся по величине, например, максимизация прибыли в процентах по отношению к вложениям, исчисляемым в миллионах рублей.

Флажок служит для приостановки поиска решения для просмотра результатов отдельных итераций.

Кнопки Оценки служат для указания метода экстраполяции (линейная или квадратичная), используемого для получения исходных оценок значений переменных в каждом одномерном поиске.

Линейная служит для использования линейной экстраполяции вдоль касательного вектора.

Квадратичная служит для использования квадратичной экстраполяции, которая даёт лучшие результаты при решении нелинейных задач.

Кнопки Разности (производные) служат для указания метода численного дифференцирования (прямые или центральные производные), который используется для вычисления частных производных целевых и ограничивающихся функций.

Прямые используется для гладких непрерывных функций.

Центральные используется для функций, имеющих разрывную производную. Не смотря на то, что данный способ требует больше вычислений, он может помочь при получении итогового сообщения о том, что процедура поиска решения не может улучшить текущий набор влияющих ячеек.

Кнопки Метод поиска служат для выбора алгоритма оптимизации (метод Ньютона или сопряжённых градиентов).

Кнопка Ньютона служит для реализации квазиньютоновского метода, в котором запрашивается больше памяти, но выполняется меньше итераций, чем в методе сопряжённых градиентов. Здесь вычисляются частные производные второго порядка.

Кнопка Сопряжённых градиентов служит для реализации метода сопряжённых градиентов, в котором запрашивается меньше памяти, но выполняется больше итераций, чем в методе Ньютона. Данный метод следует использовать, если задача достаточно велика и необходимо экономить память, а также если итерации дают слишком малое отличие в последовательных приближениях.

Для решения линейных задач используются алгоритмы симплексного метода. Для решения целочисленных задач используется метод ветвей и границ.

Команда Сохранить модель служит для отображения на экране диалогового окна Сохранить модель, в котором можно задать ссылку на область ячеек, предназначенную для хранения модели оптимизации. Данный вариант предусмотрен для хранения на листе более одной модели оптимизации. Первая модель сохраняется автоматически.

Команда Загрузить модель служит для отображения на экране диалогового окна Загрузить модель, в котором можно задать ссылку на область ячеек, содержащих загружаемую модель.

1. Сохранение модели оптимизации

1. В меню Сервис выберите команду Поиск решения.
2. Нажмите кнопку Параметры.
3. Нажмите кнопку Сохранить модель. Появляется окно Сохранить модель, рис. 4.
4. В поле Задайте область модели введите ссылку на верхнюю ячейку столбца, в котором хотите разместить модель оптимизации.

Рис. 4. Диалоговое окно Сохранить модель.

Значения элементов управления диалоговых окон Поиск решения и Параметры поиска решения записываются на лист. Чтобы использовать на листе несколько моделей оптимизации, нужно сохранить их в разных диапазонах (столбцах).

Предлагаемый диапазон содержит ячейку для каждого ограничения, а также ещё три ячейки. Можно также ввести ссылку только на верхнюю ячейку столбца, в котором следует сохранить модель.

Диалоговое окно Загрузить модель используется для задания ссылки на область загружаемой модели оптимизации. Ссылка должна адресовать область модели целиком, недостаточно указать только первую ячейку.

Перед тем как использовать данную процедуру, необходимо сохранить хотя бы одну модель.

1 В меню Сервис выберите команду Поиск решения.

2. Нажмите кнопку Параметры.

3. Нажмите кнопку Загрузить модель. Появляется окно, аналогичное окну Сохранить модель.

Диалоговое окно Загрузить модель используется для задания ссылки на область загружаемой (ранее сохранённой) модели оптимизации. Ссылка должна адресовать область модели целиком не достаточно указать только первую ячейку.

Вычисления и результаты решения задачи

Для запуска оптимизатора нажмите кнопку Выполнить в окне Поиск решения.

Программа начинает работать, в строке сообщений (слева внизу листа) появляется сообщение Постановка задачи… Ваша таблица с моделью и параметрами алгоритма автоматически приводится к стандартам постановки задач математического программирования. Это преимущество Excel. В других пакетах Вам пришлось бы оторваться от экономической сути задачи и заниматься формальной математической постановкой задачи. После этапа постановки решается задача.

Чтобы прервать поиск решения, нажмите клавишу ESC. Microsoft Excel пересчитает лист с учётом найденных значений влияющих ячеек.

По окончании счёта появляется диалоговое окно Результаты поиска решения, рис. 5.

Рис. 5. Диалоговое окно Результаты поиска решения.

Поле Тип отчёта служит для указания типа отчёта, размещаемого на отдельном листе книги.

Отчёт Результаты используется для создания отчёта, состоящего из целевой ячейки и списка влияющих ячеек модели, их исходных и конечных значений, а также формул ограничений и дополнительных сведений о наложенных ограничениях.

Отчёт Устойчивость используется для создания отчёта, содержащего сведения о чувствительности решения к малым изменениям в формуле модели или в формулах ограничений. Такой отчёт не создаётся для моделей, значения в которых ограничены множеством целых чисел. В случае нелинейных моделей отчёт содержит данные для градиентов и множителей Лагранжа. В отчёт по нелинейным моделям включаются ограниченные затраты, фиктивные цены, а также диапазоны ограничений.

Отчёт Пределы используется для создания отчёта, состоящего из целевой ячейки и списка влияющих ячеек модели, их значений, а также нижних и верхних границ. Такой отчёт не создаётся для моделей, значения в которых ограничены множеством целых чисел. Нижним пределом является наименьшее значение, которое может содержать влияющая ячейка, в то время как значения остальных влияющих ячеек фиксированы и удовлетворяют наложенным ограничениям. Соответственно верхним пределом называется наибольшее значение.

К сожалению, эти отчёты очень неудобны. Они перегружены плохо читаемыми абсолютными ссылками со знаками доллара. Желает лучшего и перевод с английского на русский.

Кнопка Сохранить сценарий служит для отображения диалогового окна Сохранение сценария , в котором можно сохранить сценарий решения задачи, чтобы использовать его в дальнейшем с помощью диспетчера сценариев Microsoft Excel. В поле Название сценария введите имя сценария. Чтобы создать сценарий, не сохраняя найденное решение и не отображая результатов на листе, сохраните сценарий в диалоговом окне Результаты поиска решения , а затем выберите Восстановить исходные значения.

Просмотр промежуточных результатов поиска решения

Режим пошагового решения задач используется при отладке моделей.

В диалоговом окне Поиск решения нажмите кнопку Параметры.

Чтобы получить возможность просмотра текущих значений влияющих ячеек каждой итерации, установите флажок Показывать результаты итераций, нажмите кнопку ОК, а затем кнопку Выполнить.

На экране появится диалоговое окно , рис. 6, а влияющие ячейки листа изменят свои значения.

Чтобы остановить поиск решения и вывести на экран диалоговое окно Результаты поиска решения, нажмите кнопку Стоп.

Рис.6. Диалоговое окно Текущее состояние поиска решения.

Чтобы выполнить следующую итерацию и просмотреть её результаты, нажмите кнопку Продолжить.

Возникающие проблемы и сообщения процедуры поиска решения

Оптимальное решение не найдено

Поиск решения может остановиться до достижения оптимального решения по следующим причинам.

Пользователь прервал процесс поиска.

Команда Показывать результаты итераций в диалоговом окне Параметры поиска решения выбрана перед Выполнить.

Пользователь нажал кнопку Стоп в режиме пошагового выполнения итераций, по истечении времени, отведённого на работу процедуры, или после выполнения заданного числа итераций.

Установлен флажок Линейная модель в диалоговом окне Параметры поиска решения, в то время как решаемая задача не линейна.

Значение, заданное в поле Установить целевую диалогового окна Поиск решения , неограниченно увеличивается или уменьшается. Необходимо уменьшить значения полей Максимальное время или Итерации в диалоговом окне Параметры поиска решения.

В случае задач, значения в которых ограничены множеством целых чисел, необходимо уменьшить значение в поле Допустимое отклонение диалогового окна Параметры поиска решения , что позволит найти лучшее решение.

В случае нелинейных задач необходимо уменьшить значение в поле Сходимость диалогового окна Параметры поиска решения , что позволит продолжать поиск решения, когда значение в целевой ячейке изменяется медленно.

Если значения влияющих ячеек или значения влияющей и целевой ячеек различаются на несколько порядков, необходимо установить флажок Автоматическое масштабирование в диалоговом окне Параметры поиска решения. Внесите нужные изменения и запустите процедуру поиска решения снова.

Если найденное решение нелинейной задачи существенно отличается от ожидаемого результата, запустите процедуру поиска решения с другими начальными значениями влияющих ячеек. Если задать такие значения влияющих ячеек, которые близко расположены от экстремальной точки целевой функции, можно значительно сократить время поиска решения.

Итоговые сообщения процедуры поиска решения

1. Если поиск решения успешно завершён, в диалоговом окне Результаты поиска решения

Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены.

Все ограничения соблюдены с установленной точностью и найдено заданное значение целевой ячейки.

Поиск свёлся к текущему решению. Все ограничения выполнены.

Относительное изменение значения в целевой ячейке за последние пять итераций стало меньше установленного значения параметра Сходимость в диалоговом окне Параметры поиска решения . Чтобы найти более точное решение, установите меньшее значение параметра Сходимость , но это займёт больше времени.

2. Если поиск не может найти оптимальное решение, в диалоговом окне Результаты поиска решения выводится одно из следующих сообщений.

Поиск не может улучшить текущее решение. Все ограничения выполнены.

В процессе поиска решения нельзя найти такой набор значений влияющих ячеек, который был бы лучше текущего решения. Приблизительное решение найдено, но либо дальнейшее уточнение невозможно, либо заданная погрешность слишком высока. Измените погрешность на меньшее число и запустите процедуру поиска решения снова.

3. Поиск остановлен (истекло заданное на поиск время).

Время, отпущенное на решение задачи, исчерпано, но достичь удовлетворительного решения не удалось. Чтобы при следующем запуске процедуры поиска решения не повторять выполненные вычисления, установите переключатель Сохранить найденное решение или Сохранить сценарий .

4. Поиск остановлен (достигнуто максимальное число итераций).

Произведено разрешённое число итераций, но достичь удовлетворительного решения не удалось. Увеличение числа итераций может помочь, однако следует рассмотреть результаты, чтобы понять причины остановки. Чтобы при следующем запуске процедуры поиска решения не повторять выполненные вычисления установите переключатель Сохранить найденное решение или Сохранить сценарий .

5. Значения целевой ячейки не сходятся.

Значение целевой ячейки неограниченно увеличивается (или уменьшается), даже если все ограничения соблюдены.Возможно, следует в задаче снять одно ограничение или сразу несколько, или наложить дополнительные ограничения. Изучите процесс расхождения решения, проверьте ограничения и запустите задачу снова. Например, в задаче об оптимальных портфелях банков, если не наложить ограничение на портфель привлечения ресурсов, то банк как аферист будет занимать деньги до бесконечности.

6. Поиск не может найти подходящее решение.

В процессе поиска решения нельзя сделать итерацию, которая удовлетворяла бы всем ограничениям при заданной точности. Вероятно, ограничения противоречивы. Исследуйте лист на предмет возможных ошибок в формулах ограничений или в выборе ограничений.

7. Поиск остановлен по требованию пользователя.

Нажата кнопка Стоп в диалоговом окне Текущее состояние поиска решения после прерывания поиска решения в процессе выполнения итераций.

8. Условия для линейной модели не удовлетворяются.

Установлен флажок Линейная модель , однако итоговый пересчёт порождает такие значения, которые не согласуются с линейной моделью. Это означает, что решение недействительно для данных формул листа. Чтобы проверить линейность задачи, установите флажок Автоматическое масштабирование и повторно запустите задачу. Если это сообщение опять появится на экране, снимите флажок Линейная модель и снова запустите задачу.

9. При поиске решения обнаружено ошибочное значение в целевой ячейке или в ячейке ограничения.

При пересчёте значений ячеек обнаружена ошибка в одной формуле или в нескольких сразу. Найдите целевую ячейку или ячейку ограничения, порождающие ошибку, и измените их формулы так, чтобы они возвращали подходящее числовое значение.

Набрано неверное имя или формула в окне Добавить ограничение или окне Изменить ограничение или в поле Ограничения были заданы целое или двоичное ограничение. Чтобы ограничить значения ячейки множеством целых чисел, выберите оператор целого ограничения в списке условных операторов. Чтобы установить двоичное ограничение, выберите оператор для двоичного ограничения.

10. Мало памяти для решения задачи.

Система не смогла выделить память, необходимую для поиска решения. Закройте некоторые файлы или приложения, и попытайтесь снова выполнить процедуру поиска решения.

Примеры выполнения задач

ПРИМЕР № 1

Для изготовления четырёх видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице.

Какое количество продукции каждого вида должно изготовляться, чтобы доход от реализации был максимальным?

1. Формулировка математической модели задачи :

· переменные для решения задачи: x 1 – суточный объём изготовления продукции А, x 2 – суточный объём изготовления продукции Б, x 3 – суточный объём изготовления продукции В, x 4 – суточный объём изготовления продукции Г;

· определение функции цели (критерия оптимизации). Суммарная суточная прибыль от изготовления всех видов продукции равна:

F=12* x 1 +7* x 2 +18* x 3 +10* x 4,

поэтому цель состоит в том, чтобы среди всех допустимых значений x 1, x 2, x 3, x 4 найти такие, которые максимизируют суммарную прибыль от изготовления продуктов F:

· ограничения на переменные:

1. объём производства продукции не может быть отрицательным, т. е.

2. расход исходного продукта для изготовления всех видов продукции не может превосходить максимально возможного запаса данного исходного продукта, т. е.

Таким образом, получаем следующую математическую модель задачи:

· Найти максимум следующей функции:

F=12* x 1 +7* x 2 +18* x 3 +10* x 4 max;

· При ограничениях вида:

1* x 1 +2* x 2 +1* x 3 +0* x 4 ≤ 18,

1* x 1 +1* x 2 +2* x 3 +1* x 4 ≤ 30,

1* x 1 +3* x 2 +3* x 3 +2* x 4 ≤ 40,

x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0, x 4 ≥ 0;

2. Подготовка листа рабочей книги MS Excel для вычислений – на рабочий лист вводим необходимый текст, данные и формулы в соответствии с рис. 7. Переменные задачи x 1, x 2, x 3, x 4 находятся соответственно в C3, С4, С5, С6 . Целевая функция находится в ячейке С8 и содержит формулу:

12*C3+7*C4+18*C5+10*C6

Ограничения на задачу учтены в ячейках С10:С12.

3. Работа с надстройкой Поиск решения – воспользовавшись командой Сервис | Поиск решения, вводим необходимые данные для рассматриваемой задачи (установка данных в окне Поиск решения приведена на рис. 8). Результат работы по поиску решения помещён на рис. 9 – 14.

Рис. 7. Рабочий лист MS Excel для решения задачи .

Рис. 8. Установка необходимых параметров задачи в окне Поиск решения .

Рис.9. Результаты расчёта надстройки Поиск решения.

Рис. 10. Отчёт по результатам поиска решения.

Рис. 11. Отчёт по устойчивости поиска решения.

Рис. 12. Отчёт по пределам поиска решения.

ВЫВОД : из решения видно, что оптимальный план выпуска предусматривает изготовление продукции видов "А" и "Г". А продукцию видов "Б" и "В" производить не стоит. Полученная Вами прибыль составит 326 усл. ед.

ПРИМЕР № 2

Задача распределения ресурсов

Предприятие изготавливает и продает краску двух видов: для внутренних и внешних работ. Для производства краски используется два исходных продукта A и B. Расходы продуктов A и B на 1 т. соответствующих красок и запасы этих продуктов на складе приведены в таблице:

Продажная цена за 1 тонну краски для внутренних работ составляет 2 000 рублей, краска для наружных работ продается по 1 000 рублей за 1 тонну. Требуется определить какое количество краски каждого вида следует производить предприятию, чтобы получить максимальный доход.

Рассмотрим поэтапное решение этой задачи графическим способом с использованием процедуры « Поиск решения » Excel.

I. Составление математической модели задачи.

1) Переменные задачи.

Обозначим: x 1 - количество производимой краски для

внутренних работ;

x 2 - соответствующее количество краски

для наружных работ.

2) Ограничения, которым должны удовлетворять переменные задачи:

по расходу продукта A: x 1 + 2x 2 3;

по расходу продукта B: 3x 1 + x 2 3;

В левых частях последних двух неравенств определены расходы продуктов A и B, а в правых частях неравенств записаны запасы этих продуктов.

3) Целевая функция задачи.

Обозначим Z доход от продажи краски (в тысячах рублей), тогда целевая функция задачи записывается так:

Z = 2x 1 + x 2 ,

таким образом, задача состоит в том, чтобы найти max Z=2x 1 +x 2 , при ограничениях:

x 1 + 2x 2 3 (A)

3x 1 + x 2 3 (B)

x 1 , x 2 0 .

Так как переменные задачи x 1 и x 2 входят в целевую функцию и ограничения задачи линейно , то соответствующая задача оптимизации называется задачей линейного программирования (ЛП)

В рассматриваемом примере содержатся только две переменные x 1 и x 2 , поэтому задачу можно решить графически.

1) На плоскости x 1 , x 2 строим область допустимых значений переменных, определяемую ограничениями задачи:

x 1 + 2x 2 3 (A)

3x 1 + 1x 2 3 (B)

x 1 , x 2 0 .

Последнее ограничение определяет первый квадрант плоскости. Чтобы построить множество точек удовлетворяющих неравенству (А) нанесем на плоскость график прямой, определяющий границу этого множества: x 1 +2x 2 =3 (A).

Линии уровня целевой функции. Линией уровня называется множество точек, на которых функция принимает постоянное значение:

Z = 2x 1 + x 2 = К,

где К - задаваемая постоянная.

При К = 1 уравнение линии уровня будет:

2x 1 + x 2 = 1

или (в отрезках) :

При К = 2, аналогично:

2x 1 + x 2 = 2 , или .

Нанеся линии уровня на область допустимых решений (рис.13), получим, что при увеличении значения Z соответствующая линия уровня перемещается параллельно предыдущей вправо и вверх. Таким образом, точкой из многоугольника ABCD в которой целевая функция Z имеет максимальное значение будет вершина С. Эта точка и определяет решение задачи.

x 1 + 2x 2 = 3 (A)

3x 1 + x 2 = 3 (B)

x 1 * = 0.6 ; x 2 * = 1.2 ;

максимальное значение Z:

Z * = 2*0.6 + 1.2 = 2.4.

Надстройка Поиск решения в Microsoft Excel даёт возможность найти решение, оптимальное при нескольких входных значениях и наборе ограничений на решение. Программа Поиск решения содержит параметры, управляющие процессом поиска решения: максимальное время, число итераций, точность, допустимое отклонение. Каждый из этих параметров имеет значение по умолчанию, подходящее для большинства задач. Использование новых установок параметров обычно необходимо для проведения серьёзных исследований сложных систем управления. Диспетчер сценариев способен запомнить несколько решений, найденных данным средством, и сгенерировать на этой основе отчёт. Надстройка Поиск решения готовит три вида отчётов, которые характеризуют найденное решение задачи: отчёт по результатам, отчёт по устойчивости и отчёт по пределам. Режим пошагового поиска позволяет наблюдать последовательность приближений к оптимальному решению задачи. Во многих случаях это помогает «почувствовать» сходимость процесса и установить причины неудач и тупиков при поиске оптимального решения. В результате поиска решения EXCEL выводит сообщения о том, удалось ли получить оптимальное решение задачи.

С помощью надстройки Поиск решения можно решать как линейные задачи (задачи линейного, целочисленного и стохастического программирования), так и нелинейные (задачи нелинейного программирования), а также системы нелинейных уравнений. Для успешной работы средства Поиск решения следует стремиться к тому, чтобы зависимости были гладкими или, по крайней мере, непрерывными.

Поиск решения можно использовать и для решения задач математического программирования других типов, но в этом случае процедура поиска часто заканчивается неудачей, а при благоприятном исходе находит лишь один из локальных оптимумов. Поэтому решение таких задач с помощью данной процедуры следует предварять их аналитическим исследованием на предмет свойств области допустимых решений, чтобы выбрать подходящие начальные значения и сделать правильное заключение о качестве и практической применимости полученного решения.

Список литературы

1. Л. В. Рудикова «Microsoft Excel для студента», Санкт – Петербург, БХВ-Петербург, 2005;

2. «Лабораторные работы на персональном компьютере» И. Ф. Цисарь, издательство «Экзамен», Москва, 2002;

3. Додж М. и др. «Эффективная работа с Microsoft Excel», 2000.СПб.:Питер, 2001.

4. Солодовников А. С. «Введение в линейную алгебру и линейное программирование». Москва, издательство «Просвещение», 1966. – 184 с.

5. Стрейвер А. «Теория линейного и целочисленного программирования» в двух томах, том 1: перевод с английского. – Москва: Мир, 1991. – 360 с.

6. Ашманов С.А.«Линейное программирование». - М.: Наука, 1981.

7. Банди Б. «Основы линейного программирования»: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1989.

8. Кораблин М. А. «Информатика поиска управленческих решений», Москва, СОЛОН-Пресс, 2003.

9. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы линейного программирования. Ч.1. Общие задачи, Минск, Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1977. - 176 с.

Цель работы: изучение современных программных средств решения задачи линейного программирования; практическое решение задач линейного программирования графическим методом, симплекс-методом и средствами программыMicrosoftExcel; программная реализация симплекс-метода на языке программирования высокого уровня.

1. Теоретическая часть

Для решения задач линейного программирования в программе Microsoft Excel имеется надстройка Поиск решения , обращение к которой производится из меню Сервис .

Если команда Поиск решения отсутствует в меню Сервис , то требуется установить надстройку «Поиск решения». Для этого в меню Сервис выбирается команда Надстройки , которая открывает диалоговое окно, показанное на рис. 1.

Покажем использование надстройки «Поиск решения» на примере решения следующей задачи.

Постановка задачи

Предприятие изготавливает и реализует три вида продукции – P 1 , Р 2 и Р 3 . Для производства продукции используются три вида ресурсов – комплектующие изделия, сырье и материалы. Запасы ресурсов и их расход на изготовление единицы продукции каждого вида приведены в табл. 1.

Таблица 1

Прибыль от реализации единицы продукции каждого вида составляет 240, 210 и 180 денежных единиц для P 1 , Р 2 и Р 3 соответственно.

Требуется определить производственную программу предприятия таким образом, чтобы прибыль от реализации продукции была максимальной.

Математическая модель задачи

Обозначим переменными x 1 , x 2 и x 3 искомые объемы производства продукции видов P 1 , Р 2 и Р 2 , а через F – прибыль предприятия. Тогда математическая постановка представленной задачи принимает следующий вид.

Определить значения переменных x 1 , x 2 и x 3 , для которых достигается максимум целевой функции

F = 240 x 1 + 210 х 2 + 180 x 3

при ограничениях:

Целевая функция описывает суммарную прибыль от реализации произведенной продукции всех трех видов. Ограничения (1), (2) и (3) учитывают расход и запасы комплектующих изделий, сырья и материалов соответственно. Поскольку объемы производства продукции не могут быть отрицательными, добавляются условия

x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0; x 3 ≥ 0.

Порядок оптимального решения задачи

Примерные действия, необходимые для решения задачи линейного программирования средствами программы Excel, представим в виде последовательности шагов.

Шаг 1. Исходные данные задачи записываются на рабочем листе электронной таблицы. Один из вариантов показан на рис. 2.

Замечание. Если известно исходное допустимое базисное решение, то можно несколько ускорить процесс поиска оптимального решения. Для этого начальные значения некоторых или всех переменных могут быть заданы вручную. В данном примере для их хранения используются ячейки $B$2, $C$2 и $D$2. Если допустимое базисное решение не задано, то программа Excel автоматически определяет начальные значения переменных задачи.

Шаг 2. В ячейку E3 вводится формула

СУММПРОИЗВ(В3:D3; $B$2:$D$2)

для вычисления текущего значения целевой функции, которая находит сумму попарных произведений ячеек (В3:D3) с коэффициентами при переменных в выражении целевой функции на ячейки ($B$2:$D$2) с текущими значениями переменных.

Шаг 3. Чтобы задать ограничения решаемой задачи, в ячейки E5, E6 и E7 копируется формула из ячейки E3. После этого в указанных ячейках должны быть получены формулы, представленные в табл. 2.

Таблица 2

Шаг 4. После создания таблицы с исходными данными курсор устанавливается в ячейку E3, содержащую формулу для вычисления целевой функции. Далее в меню Сервис выбирается команда Поиск решения , которая открывает диалоговое окно, приведенное на рис. 3.

В поле Установить целевую ячейку окна «Поиск решения», показанного на рис. 3, должен появиться адрес ячейки с формулой целевой функции (в данном примере это ячейка $E$3).

Затем в этом окне (рис. 3) заполняются следующие поля этого окна:

В поле Равной переключатель вида экстремума целевой функции устанавливается в положение максимальное значение (или минимальное значение при соответствующей постановке задачи);

В поле Изменяя ячейки указывается диапазон ячеек со значениями переменных задачи, выделяемый на рабочем листе электронной таблицы (в примере это ячейки $B$2:$D$2);

В поле Ограничения задаются ограничения исходной задачи. Для этого курсор устанавливается в поле ввода ограничений и нажимается кнопка Добавить . В результате выводится диалоговое окно «Добавление ограничения», показанное на рис. 4.

В этом окне в поле Ссылка на ячейку вводится адрес ячейки с формулой соответствующего ограничения (например, для ограничения (1) это будет ячейка E5), а в поле Ограничение указывается предельное значение, которое может принимать выбранное ограничение (в данном примере правая часть ограничения (1) находится в ячейке G5).

Следует заметить, что заполнение полей Ссылка на ячейку и Ограничение в окне «Добавление ограничения» можно выполнить выделением соответствующих ячеек рабочего листа электронной таблицы.

Затем выбирается вид отношения, связывающего левую и правую части ограничения, что показано на рис. 5.

После нажатия кнопки Добавить в окне «Добавление ограничения» (или кнопки ОК для ввода последнего ограничения) данное ограничение попадает в список ограничений решаемой задачи. С помощью кнопок Удалить и Изменить можно удалять выделенные в списке ограничения или вносить в них исправления.

Замечание . В окне «Добавление ограничения» можно указать, что все или некоторые переменные должны принимать только целые значения (рис. 5). Это позволяет получать решения задач целочисленного линейного программирования (полностью или частично целочисленных).

Шаг 5. После заполнения всех полей окна «Поиск решения» нажимается кнопка Параметры (рис. 3), которая открывает диалоговое окно «Параметры поиска решения», показанное на рис. 6.

В этом окне требуется установить флажки Линейная модель для решения задачи линейного программирования и Неотрицательные значения , если такое условие накладываются на все переменные задачи.

Здесь (рис. 6) также можно определить параметры процесса решения: предельное время поиска решения, максимальное количество итераций, точность и т.п. Флажок Показывать результаты итераций позволяет по шагам следить за поиском решения. Флажок Автоматическое масштабирование включается в том случае, когда разброс значений переменных очень велик.

Шаг 6. Задав необходимые параметры в окне «Параметры поиска решения», следует нажать на кнопку Выполнить для поиска решения задачи (рис. 3) в окне «Поиск решения». Если решение найдено, то на экран выводится окно с соответствующим сообщением (рис. 7).

Полученные результаты отображаются на рабочем листе электронной таблицы, как это показано на рис. 8. В частности, значения переменных - в ячейках $B$2:$D$2, значение целевой функции – в ячейке E3.

Таким образом, получено оптимальное решение исходной задачи в виде вектора
, где
,
и
, для которого значение целевой функцииF максимально и составляет F * = 129825.

Результаты решения задачи линейного программирования также можно сохранить в виде отдельных рабочих листов с именами Отчет по результатам , Отчет по устойчивости и Отчет по пределам . Для сохранения результатов в виде отчетов необходимо предварительно в поле Тип отчета выделить требуемые типы отчетов (рис. 7). В этом же окне можно отказаться от полученных решений и восстановить исходные значения переменных.

Отчет по результатам для рассмотренной задачи показан на рис. 9.

В данном отчете представлены оптимальное решение задачи линейного программирования и его расположение в области допустимых решений. В графах Результат выводятся оптимальные значения целевой функции F * и переменных задачи
, а также их значения для исходного базисного решения, с которого начинался поиск оптимального решения (графаИсходное значение ). Состояние ограничений (графа Статус ) характеризует расположение точки
в области допустимых решений. ГрафаРазница показывает разности между значениями левых и правых частей ограничений (невязки). Для связанного ограничения невязка равна нулю, что свидетельствует о расположение точки
на границе области допустимых решений, которая задается этим ограничением. Если ограничение являются не связанным, то оно не влияет на оптимальное решение.

Замечание . В экономической интерпретации связанные ограничения соответствуют дефицитным ресурсам. Для не связанных ограничений графа Разница показывает оставшиеся объемы неиспользованных не дефицитных ресурсов. В рассмотренной задаче ограничения (1) и (3) соответствуют комплектующим изделиям и материалам, которые являются дефицитными ресурсами. Ограничение (2) является не связанным, т.е. не влияет на оптимальный план производства продукции по критерию максимальной прибыли. Это означает, что второй ресурс (сырье) не использован в объеме 292,5 ед.

В отчете по устойчивости (рис. 10) приведены границы устойчивости переменных задачи (графы Допустимое увеличение и Допустимое уменьшение коэффициентов целевой функции), а также границы устойчивости теневых цен (т.е. переменных двойственной задачи), в пределах которых оптимальное решение не изменяется. Большие значения пределов (1Е+30) означают фактическое отсутствие соответствующих границ, т.е. переменная может изменяться до бесконечности.

В графе Нормированная стоимость элемент во второй строке (-150) показывает, на сколько уменьшится значение функции, если в решении переменную x 2 увеличить на единицу. С другой стороны, при допустимом увеличении коэффициента функции при неизвестной x 2 на 150 единиц значение этой переменной не изменится, т.е. неизвестная x 2 будет равна нулю, а если выйти за пределы допустимого увеличения (коэффициент при x 2 увеличить более чем на 150), то неизвестная x 2 в решении будет больше нуля.

В отчете по пределам (рис. 11) показаны нижние и верхние пределы возможного изменения переменных (в пределах области допустимых решений) и соответствующие значения целевой функции (графа Целевой результат ) при этих изменениях. В частности, если x 1 = 0, а x 2 и x 3 остаются без изменений, то F = 2400 + 2100 + 180191,25 = 34425; при x 3 = 0 и неизменных x 1 и x 2 получим F = 240397,5 + 2100 + 1800 = 95400.

Для решения задач линейного программирования симплекс-методом в среде MS Excel заполняются ячейки исходными данными в режиме чисел и формулами математической модели.

MS Excel позволяет получить оптимальное решение без ограничения размерности системы неравенств целевой функции.

Решим задачу о выпускаемых изделиях симплекс-методом применяя надстройку «Поиск решения» в MS Excel.

1. Заполните таблицу Excel в режиме чисел (рис.1)

2. Заполните таблицу Excel в режиме формул (рис.2)

Рис.1 Таблица в режиме чисел

Рис.1 Таблица в режиме формул

Здесь: В9:С9 – результат (оптимальное количество изделий каждого вида);

В6:С6 – коэффициенты целевой функции;

В10 – значение целевой функции;

В3:С5 – коэффициенты ограничений;

D12:D14 – правая часть ограничений;

B12:B14 – вычисляемые (фактические) значения левой части ограничений.

Решим задачу с помощью команды Данные/Поиск решения. На экране появляется диалоговое окно Поиск решения.

В поле Установить целевую функция будет показана ссылка на активную ячейку, т.е. на В10. Причем эта ссылка абсолютная. В секции Равной устанавливаем переключатель Максимальному (минимальному) значению в зависимости от целевой функции. Ограничения устанавливаются с помощью кнопки Добавить, которая вызывает диалоговое окно их ввода Добавление ограничения.

В поле ввода Ссылка на ячейку: указывается адрес ячейки, содержащей формулу левой части ограничения. Затем выбирается из списка знак соотношения. В поле Ограничение указывается адрес ячейки, содержащей правую часть ограничения. Щёлкаем на кнопку Добавить и повторяем до следующего ограничения. После ввода всех ограничений нажимаем ОК.

Так как все переменные несут условия неотрицательности, то их положительность задается через кнопку Параметры в окне диалога Поиск решения. После щелчка по ней, на экране окно Параметры поиска решения.

Устанавливаем флажок Сделать переменные без ограничений неотрицательными и выбрать Метод решения Поиск решения линеных задач симплекс-методом. Щёлкаем на кнопке Найти решение.

Excel предъявит окно Результаты поиска решения с сообщением о том, что решение найдено, или о том, что не может найти подходящего решения.

Если вычисления оказались успешными, Excel предъявит следующее окно итогов. Их можно сохранить или отказаться. Кроме того, можно получить один из трёх видов отчётов (Результаты, Устойчивость, Пределы), позволяющие лучше осознать полученные результаты, в том числе, оценить их достоверность.

После найденного решения, в ячейках В9:С9 появится оптимальное количество изделий каждого вида.

При сохранении отчета выберите – Отчет по результатам (рис.3).

Из отчета видно, что ресурс 1 не используется полностью на 150 кг, а ресурс 2 и 3 используется полностью.

В результате получен оптимальный план, при котором изделий 1 вида необходимо выпустить в количестве 58 шт., а изделий 2 вида в количестве 42 шт. При этом прибыль от их реализации максимальная и составляет 4660 тыс.руб.

Рис.3 Отчет по результатам

1. Со станции формирования ежедневно отправляются пассажирские и скорые поезда, составленные из плацкартных, купейных и мягких вагонов. Число мест в плацкартном вагоне – 54, в купейном – 36, в мягком – 18. В таблице указаны состав поезда каждого типа и количество имеющихся в парке вагонов различного типа. Определить число скорых и пассажирских поездов, которые необходимо формировать ежедневно, чтобы число перевозимых пассажиров было максимальным.

Решение транспортных задач

Транспортными задачами называются задачи определения оптимального плана перевозок груза из данных пунктов отправления в заданные пункты потребления.