Линейное программирование рассматривается как революционное достижение, давшее человеку способность формулировать общие цели и находить посредством симплекс-метода оптимальные решения для широкого класса практических задач принятия решений большой сложности.

Линейное программирование – математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах n -мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.

Можно сказать, что линейное программирование применимо для решения математических моделей тех процессов и систем, в основу которых может быть положена гипотеза линейного представления реального мира.

Задача линейного программирования (ЛП), состоит в нахождении минимума (или максимума) линейной функции при линейных ограничениях.

Линейное программирование применяется при решении следующих экономических задач:

1. Задача управления и планирования производства.

2. Задач определения оптимального размещения оборудования на морских судах, в цехах.

3. Задача определения оптимального плана перевозок груза (транспортная задача).

4. Задача оптимального распределения кадров.

5. Задач о смесях, диете (планирование состава продукции) и т.д.

3. МОДЕЛЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ, ЕЁ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦАХ MS EXCEL.

Традиционно наукой управления называют построение детально разработанных моделей, в результате анализа которых принимаются управленческие решения. Сегодня миллионы менеджеров для анализа деловых задач применяют электронные таблицы. Современные электронные таблицы имеют много мощных средств, которые можно использовать для более точного анализа моделей, в результате чего могут приниматься более взвешенные и близкие к оптимальным решения. С учетом все более широкого применения электронных таблиц в процессе управления будущим специалистам необходимо владеть профессиональными навыкам разработки моделей – как «спланировать» чистый рабочий лист так, чтобы получить полезную и практическую модель деловой ситуации, не углубляясь в алгоритмические и математические тонкости расчетов.

Основные этапы создания модели линейного программирования в Excel:

1. Написание и проверка символической модели линейного программирования. Модель записывается на бумаге в математическом виде.

2. Создание и отладка табличной модели линейного программирования. На основе символической модели ЛП создается ее представление в Excel.

3. Попытка оптимизации модели с помощью надстройки ПОИСК РЕШЕНИЯ.

4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НАДСТРОЙКИ ПОИСК РЕШЕНИЯ .

С помощью электронных таблиц можно моделировать реальные ситуации и оценивать полученные результаты. Другими словами с помощью электронных таблиц можно делать анализ результатов деятельности и прогнозирования будущих перспектив предприятия. Эти задачи в среде MS Excel дает возможность решать надстройка Поиск решения.

Поиск решения – это надстройка, которая предназначена для оптимизации моделей при наличии ограничений. Она состоит из двух программных компонентов: программы написанной на языке Visual Basic, который транслирует представленную на рабочем письме информацию для внутреннего представления, которая используется другой программой. Вторая программа находится в памяти компьютера в виде отдельного программного модуля. Она выполняет оптимизацию и возвращает найденное решение первой программе, которая возобновляет данные на рабочем листе. С помощью ее можно найти оптимальное значение формулы, которая сохраняется в целевой ячейке. Эта процедура работает с группой ячеек, которые непосредственно связанные с формулой в целевой ячейке. Чтобы получить результат по формуле в целевой ячейке, процедура изменяет значение в ячейках, которые влияют на поиск. Для того, чтобы уменьшить множественное число значений, которые используются в модели задачи, применяют ограничение. Эти ограничения могут содержать ссылку на другие ячейки, которые влияют на поиск.

Общий алгоритм работы с надстройкой Поиск решения.

1. В меню Сервис выбрать команду Поиск решения .
2. В поле Установит целевую ячейку введите адрес ячейки, в которй находится формула, для оптимизации модели.
3. Для того, чтобы максимизировать значение целевой ячейки путем изменения значений влияющих ячеек, установите переключатель в положение Максимальному значению . Для того, чтобы минимизировать значение целевой ячейки путем изменения значений влияющих ячеек, установите переключатель в положение Минимальному значению . Для того, чтобы целевая ячейка приобретала значение конкретного числа, установите переключатель в положение Значение и введите соответствующее число.
4. В поле Изменяя ячейки введите адреса ячеек, которые изменяют свои значения, разделяя их запятыми. Изменяемые ячейки должны быть прямо или непрямо связанные с целевой ячейкой. Допускается установка до 200 изменяемых ячеек.
5. В поле Ограничения введите все ограничения, которые налагаются на поиск решения.
6. Нажмите кнопку Выполнить .
7. Для сохранения найденного решения установите переключатель в диалоговом окне Результаты поиска решения в положение Сохранить найденное решение . Для возобновления входных данных установите переключатель в положение Восстановить исходные значения.
8. Для того, чтобы прервать поиск решения, нажмите клавишу Еsс . MS Excel пересчитает лист с учетом найденных значений ячеек, которые влияют на результат.

Алгоритм роботи з надбудовою Поиск решения.

5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ПРОГРАММЫ MS EXCEL.

Пример. Кондитерский цех для изготовления трех видов карамели А, В, С использует три основных вида сырья: сахар, патоку и фруктовое пюре. Нормы затрат сахара на изготовление 1кг карамели каждого вида соответственно уровни: 0,8кг; 0,5кг; 0,6кг; патоки – 04кг; 0,4кг; 0,3кг; фруктового пюре – 0кг; 0,1кг; 0,1кг. Конфеты можно производить в любых количествах (реализация обеспечена), но запас сырья ограниченный: запасы сахара – 80кг, патоки – 60кг, фруктового пюре – 12кг. Прибыль от реализации 1кг карамели вида А составляет 10грн., вида В – 11грн., вида С – 12грн.

Таблица 1

Определить план производства карамели, которая обеспечивает максимальную прибыль от деятельности кондитерского цеха.

Методы линейного программирования применяются для решения многих экстремальных задач, с которыми довольно часто приходится иметь дело в экономике. Решение таких задач сводится к нахождению крайних значений (максимума и минимума) некоторых функций переменных величин.
Линейное программирование основано на решении системы линейных уравнений (с преобразованием в уравнения и неравенства), когда зависимость между изучаемыми явлениями строго функциональна. Для него характерны математическое выражение переменных величин, определенный порядок, последовательность расчетов (алгоритм), логический анализ. Применять его можно только в тех случаях, когда изучаемые переменные величины и факторы имеют математическую определенность и количественную ограниченность, когда в результате известной последовательности расчетов происходит взаимозаменяемость факторов, когда логика в расчетах, математическая логика совмещаются с логически обоснованным пониманием сущности изучаемого явления.
С помощью этого метода в промышленном производстве, например, исчисляется оптимальная общая производительность машин, агрегатов, поточных линий (при заданном ассортименте продукции и иных заданных величинах), решается задача рационального раскроя материалов (с оптимальным выходом заготовок). В сельском хозяйстве он используется для определения минимальной стоимости кормовых рационов при заданном количестве кормов (по видам и содержащимся в них питательным веществам). Задача о смесях может найти применение и в литейном производстве (состав металлургической шихты). Этим же методом решаются транспортная задача, задача рационального прикрепления предприятий-потребителей к предприятиям-производителям.
Все экономические задачи, решаемые с применением линейного программирования, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями. Решить такую задачу - значит выбрать из всех допустимо возможных (альтернативных) вариантов лучший, Оптимальный. Важность и ценность использования в экономике метода линейного программирования состоят в том, что оптимальный вариант выбирается из весьма значительного количества альтернативных вариантов. При помощи других способов решать такие задачи практически невозможно.

В качестве примера рассмотрим решение задачи рациональности использования времени работы производственного оборудования.
В соответствии с оперативным планом участок шлифовки за первую неделю декабря выпустил 500 колец для подшипников типа А, 300 колец для подшипников типа Б и 450 колец для подшипников типа В. Все кольца шлифовались на двух взаимозаменяемых станках разной производительности. Машинное время каждого станка составляет 5000 мин. Трудоемкость операций (в минутах на одно кольцо) при изготовлении различных колец характеризуется следующими данными (табл. 6.5).
Таблица 6.5
Следует определить оптимальный вариант распределения операций по станкам и время, которое было бы затрачено при этом оптимальном варианте. Задачу выполним симплексным методом.
Для составления математической модели данной задачи введем следующие условные обозначения: jc, х2, хъ, - соответственно количество колец для подшипников типов Л, Б, В, производимых на станке I; х4, х5, х6, - соответственно количество колец для подшипников типов А, Б, В, производимых на станке II.
Линейная форма, отражающая критерий оптимальности, будет иметь вид:
min а(х) = 4x,-f 10x2-f 10x3-f 6x4-f 8х5+20х6 при ограничениях
4х, -f 10х2 -f 10;t3 lt; 5000
6х4 -f 8х5 -f 20х6 ~lt; 5000
х, = 500
х2 +х5 = 300
х3 +х6 = 450
Xj^0,j=l, ..., 6

Преобразуем условие задачи введением дополнительных (вспомогательных) и фиктивных переменных. Условие запишем так:
шіп lt;х(х) = 4дг, + 10x2+ 10x3 + 6x4 + 8x5 + 20x6+
+ Мх9 + Мх{0+Мх{,
Система уравнений, отражающая ограничительные условия машинного времени и количество произведенной продукции:
4х, + l(bc2 + 10х3 +х1 = 5000
6х4 + 8х5 + 20х6 + xs = 5000
Xj +х4 +х9 = 500
х2 +х5 +х10 = 300
XJ +X6 + *!1 = 450
-*,^0,7=1, ..., 11
Решение этой задачи представлено в табл. 6.6. Оптимальный вариант получен на седьмом этапе (итерации). Если бы на станке I производилось 125 колец подшипников типа А, 450 колец подшипников типа В, на станке II - 375 колец подшипников типа А и 300 колец подшипников типа Б, то при такой загрузке оборудования было бы высвобождено 350 мин машинного времени станка II. Общие затраты времени по оптимальному варианту составили бы 9650 мин, тогда как фактически затрачено 10000 мин машинного времени.
Весьма типичной задачей, решаемой с помощью линейного программирования, является транспортная задача. Ее смысл заключается в минимизации грузооборота при доставке товаров широкого потребления от производителя к потребителю, с оптовых складов и баз в розничные торговые предприятия. Она решается симплекс-методом или распределительным методом.
Решение транспортной задачи распределительным методом было дано в третьем издании учебника «Теория экономического анализа» («Финансы и статистика», 1996).

Решение задачи рациональности использования станков симплексным методом

Линейное программирование

Линейное программирование - математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения экстремальных задач на множествах -мерного векторного пространства , задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.

Линейное программирование является частным случаем выпуклого программирования, которое в свою очередь является частным случаем математического программирования . Одновременно оно - основа нескольких методов решения задач целочисленного и нелинейного программирования . Одним из обобщений линейного программирования является дробно-линейное программирование .

Многие свойства задач линейного программирования можно интерпретировать также как свойства многогранников и таким образом геометрически формулировать и доказывать их.

История

Метод внутренних точек был впервые упомянут И. И. Дикиным в 1967 году .

Задачи

Основной (стандартной) задачей линейного программирования называется задача нахождения минимума линейной целевой функции (линейной формы) вида :

при условиях

Задача линейного программирования будет иметь канонический вид , если в основной задаче вместо первой системы неравенств имеет место система уравнений :

Основную задачу можно свести к канонической путём введения дополнительных переменных.

Задачи линейного программирования наиболее общего вида (задачи со смешанными ограничениями: равенствами и неравенствами, наличием переменных, свободных от ограничений) могут быть приведены к эквивалентным (имеющим то же множество решений) заменами переменных и заменой равенств на пару неравенств .

Легко заметить, что задачу нахождения максимума можно заменить задачей нахождения минимума, взяв коэффициенты с обратным знаком.

Примеры задач

Максимальное паросочетание

Рассмотрим задачу о максимальном паросочетании в двудольном графе : есть несколько юношей и девушек, причём для каждых юноши и девушки известно, симпатичны ли они друг другу. Нужно поженить максимальное число пар со взаимной симпатией.

Введём переменные , которые соответствуют паре из -того юноши и -той девушки и удовлетворяют ограничениям:

с целевой функцией . Можно показать, что среди оптимальных решений этой задачи найдётся целочисленное. Переменные, равные 1, будут соответствовать парам, которые следует поженить.

Максимальный поток

Пусть имеется граф (с ориентированными рёбрами), в котором для каждого ребра указана его пропускная способность. И заданы две вершины: сток и исток. Нужно указать для каждого ребра, сколько через него будет протекать жидкости (не больше его пропускной способности) так, чтобы максимизировать суммарный поток из истока в сток (жидкость не может появляться или исчезать во всех вершинах, кроме стока и истока).

Возьмём в качестве переменных - количество жидкости, протекающих через -тое ребро. Тогда

где - пропускная способность -того ребра. Эти неравенства надо дополнить равенством количества втекающей и вытекающей жидкости для каждой вершины, кроме стока и истока. В качестве функции естественно взять разность между количеством вытекающей и втекающей жидкости в истоке.

Обобщение предыдущей задачи - максимальный поток минимальной стоимости. В этой задаче даны стоимости для каждого ребра и нужно среди максимальных потоков выбрать поток с минимальной стоимостью. Эта задача сводится к двум задачам линейного программирования: сначала нужно решить задачу о максимальном потоке, а потом добавить к этой задаче ограничение , где - величина максимального потока, и решить задачу с новой функцией - стоимостью потока.

Эти задачи могут быть решены быстрее, чем общими алгоритмами решения задач линейного программирования, за счёт особой структуры уравнений и неравенств.

Транспортная задача

Имеется некий однородный груз, который нужно перевести с складов на заводов. Для каждого склада известно, сколько в нём находится груза , а для каждого завода известна его потребность в грузе. Стоимость перевозки пропорциональна расстоянию от склада до завода (все расстояния от -го склада до -го завода известны). Требуется составить наиболее дешёвый план перевозки.

Решающими переменными в данном случае являются - количества груза, перевезённого из -го склада на -й завод. Они удовлетворяют ограничениям:

Целевая функция имеет вид: , которую надо минимизировать.

Игра с нулевой суммой

Есть матрица размера . Первый игрок выбирает число от 1 до , второй - от 1 до . Затем они сверяют числа и первый игрок получает очков, а второй очков ( - число, выбранное первым игроком, - вторым). Нужно найти оптимальную стратегию первого игрока.

Пусть в оптимальной стратегии, например, первого игрока число нужно выбирать с вероятностью . Тогда оптимальная стратегия является решением следующей задачи линейного программирования:

в которой нужно максимизировать функцию . Значение в оптимальном решении будет математическим ожиданием выигрыша первого игрока в наихудшем случае.

Алгоритмы решения

Наиболее известным и широко применяемым на практике для решения общей задачи линейного программирования (ЛП) является симплекс-метод . Несмотря на то, что симплекс-метод является достаточно эффективным алгоритмом, показавшим хорошие результаты при решении прикладных задач ЛП, он является алгоритмом с экспоненциальной сложностью . Причина этого состоит в комбинаторном характере симплекс-метода, последовательно перебирающего вершины многогранника допустимых решений при поиске оптимального решения.

Первый полиномиальный алгоритм , метод эллипсоидов , был предложен в 1979 году советским математиком Л. Хачияном , разрешив таким образом проблему, долгое время остававшуюся нерешённой. Метод эллипсоидов имеет совершенно другую, некомбинаторную, природу, нежели симплекс-метод. Однако в вычислительном плане этот метод оказался неперспективным. Тем не менее, сам факт полиномиальной сложности задач привёл к созданию целого класса эффективных алгоритмов ЛП - методов внутренней точки , первым из которых был алгоритм Н. Кармаркара, предложенный в 1984 году . Алгоритмы этого типа используют непрерывную трактовку задачи ЛП, когда вместо перебора вершин многогранника решений задачи ЛП осуществляется поиск вдоль траекторий в пространстве переменных задачи, не проходящих через вершины многогранника. Метод внутренних точек, который, в отличие от симплекс-метода, обходит точки из внутренней части области допустимых значений, использует методы логарифмических барьерных функций нелинейного программирования , разработанные в 1960-х годах Фиако (Fiacco) и МакКормиком (McCormick).

См. также

• Графический метод решения задачи линейного программирования

Примечания

Литература

• Томас Х. Кормен и др. Глава 29. Линейное программирование // Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. - 2-е изд. - М .: «Вильямс», 2006. - С. 1296. - ISBN 5-8459-0857-4
• Акулич И.Л. Глава 1. Задачи линейного программирования, Глава 2. Специальные задачи линейного программирования // Математическое программирование в примерах и задачах. - М .: Высшая школа, 1986. - 319 с. - ISBN 5-06-002663-9
• Карманов В. Г. Математическое программирование. - 3-е издание. - М .: Наука, 1986. - 288 с.
• Данциг Джордж Бернард «Воспоминания о начале линейного программирования»

Ссылки

• - Бесплатный оптимизационный пакет, предназначенный для решения задач линейного, целочисленного и целевого программирования.
• Вершик А. М. «O Л. В. Канторовиче и линейном программировании »
• Большакова И. В., Кураленко М. В. «Линейное программирование. Учебно-методическое пособие к контрольной работе ».
• Барсов А. С. «Что такое линейное программирование », Популярные лекции по математике , Гостехиздат, 1959.
• М. Н. Вялый Линейные неравенства и комбинаторика . - МЦНМО , 2003.

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Зальтен, Феликс
• Глагов, Мартина

Смотреть что такое "Линейное программирование" в других словарях:

линейное программирование - — линейное программирование Область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между… … Справочник технического переводчика

Линейное программирование

Линейное программирование - область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между переменными. В самом общем виде задачу Л.п. можно записать так. Даны… … Экономико-математический словарь

Линейное программирование представляет собой методы решения определенного класса задач по нахождению крайних значений (шах или min). Они основаны на решении системы линейных уравнений, когда зависимость строго функциональна. В модели линейного программирования выделяются три составные части: целевая (максимизируемая или минимизируемая) функция, система ограничений и условие неотрицательности переменных. Математический аппарат линейного программирования используется при решении задач экономических, технических, военных и др.

В экономических задачах оптимального планирования решение целевой функции сводится к нахождению максимума, например, прибыли, объема производства, производительности труда или минимума текущих затрат, капиталовложений, времени выполнения работ и т.п.

В тоже время надо отметить, что не каждая задача оптимального планирования может быть сформулирована и разрешена в рамках линейного программирования. Для этого необходимо соблюсти четыре основных условия.

• 1. В задаче должен быть четко сформулирован и количественно определен критерий оптимальности, что не так легко сделать на практике. О работе предприятия чаще всего судят по ряду показателей: объему производства, ассортименту и качеству выпускаемой продукции, рентабельности производства и др. Выбор одного критерия может оказаться далеко не лучшим с точки зрения другого и наоборот.
• 2. Важной составной частью задачи линейного программирования являются ограничения, связанные с наличными ресурсами, потребностями или другими факторами. В реальной экономике не всегда можно учесть взаимодействие слишком большого количества факторов, поэтому составляется упрощенная модель, которая бы более близко отражала действительный характер.
• 3. Линейное программирование предполагает выбор вариантов и оно применимо только тогда, когда конкретные условия экономической задачи обусловливают эту свободу выбора.
• 4. Модель должна содержать только линейные уравнения или неравенства, т.е. все переменные задачи должны быть в первой степени. Реальные экономические зависимости не всегда носят линейный характер.

Учитывая соответствующие условия и приближая экономическую ситуацию для решения задач линейного программирования, необходимо также учитывать, что наложение на переменные величины слишком жестких ограничений может привести к противоречивости всей системы исходных условий задачи.

По характеру решаемых задач методы линейного программирования можно разбить на две группы.

• 1. Универсальные методы. С их помощью могут решаться любые задачи линейного программирования. Самым распространенным из них является симплексный метод , предложенный Дж. Данцигом, метод раз- решаюших множителей , разработанный академиком Л. В. Канторовичем в 1939 г., примерно за 10 лет до его появления за рубежом.
• 2. Специальные методы. Эти методы проще универсальных, но применимы не для всех задач. К ним относятся распределительный метод для решения транспортной задачи, метод разрешающих слагаемых А. Л. Лурье, метод дифференциальных рент А. Л. Брудно, венгерский метод.

К особой группе методов линейного программирования относятся приближенные методы , отличающие от остальных тем, что не гарантируют строго оптимального решения задачи, но они просты и хорошо приспособлены к ручным вычислениям. К ним относятся индексный метод , метод аппроксимации Фогеля и др.

Симплексный метод. Чтобы лучше понять идею симплексного метода, рассмотрим решение задачи оптимизации использования ресурсов с целью достижения максимальной прибыли.

Пример 2.21

Имеется вспомогательное производство, которое использует остающиеся от основного производства материалы. На данном производстве налажен выпуск дверей различного ассортимента: с использованием стекла (ассортимент ЛВС) и без него (ассортимент ДВ). Сбыт данной продукции обеспечен, т.е. продукция может производиться в любых соотношениях, но есть ограничение по количеству рабочих мест в цехе и ресурсам основных материалов. Задача состоит в том, чтобы запланировать цеху ежемесячный выпуск продукции, обеспечивающий наибольшую возможную сумму прибыли.

В задаче не ставится условия обязательного использования всего объема ресурсов. Необходимо, чтобы расход рабочего времени был не больше заданных пределов.

Рассмотрим программу 1, которая предполагает выпуск только дверей ассортимента ДВ, нс используя при этом стекло для их производства.

Если выпускать только ДВ, используя при этом все имеющиеся ресурсы, то их хватит для выпуска:

• - по рабочему времени: 520/9,2 = 56 (шт.);
• - древесине: 24/0,3 = 80 (шт.).

Следовательно, всех ресурсов достаточно для выпуска только 56 дверей.

Прибыль при данном выпуске составит 168 000 руб. (56 3000).

Программа 2 предполагает выпуск только дверей ассортимента ЛВС. В данном случае ресурсов хватит для выпуска:

• - но рабочему времени: 520/4 = 130 (шт.);
• - древесине: 24/0,6 = 40 (шт.);
• - стеклу: 40/2 = 20 (шт.).

Оптимально возможен выпуск только 20 дверей ЛВС, что ограничивается наличием стекла. При этом уйдет 12 м древесины, из оставшейся части возможен еще выпуск 40 шт. дверей ассортимента ДВ. На производство 20 шт. ДВС и 40 шт. ДВ будет потрачено 448 чел.-ч.

Прибыль составит 160 тыс. руб. (20 -2 + 40-3). Значит первая программа предпочтительней. Существуют и другие варианты.

Ограничения данной задачи таковы:

На графике проведем прямую L u соответствующую первому неравенству: Второму неравенству соответствует прямая Ь 2:

Третьему неравенству на графике соответствует прямая, параллельная оси абсцисс L 3:

Поскольку план выпуска должен строиться исходя из всех пяти ограничений задачи, то областью допустимых решений в данном случае будет закрашенный многоугольник.

Максимальное значение целевой функции, найденное в предыдущих расчетах, будет соответствовать точкам прямой:

Многоугольник ограничивает область допустимых решений задачи. Из массы решений нужно выбрать такое, где значение прибыли максимально. В нашем случае эго будет точка пересечения прямых L { и 1 2 . Далее решается система линейных уравнений:

Решая систему, получаем: отсюда прибыль равна:

Если прямая, отвечающая целевой функции (в графическом методе) проходит через вершину многоугольника, то задача имеет единственный оптимальный вариант. Если совпадает со стороной многоугольника, то задача имеет множество решений.

Оптимальное решение должно проходить либо через вершину, либо через сторону многоугольника. Поэтому одна из вершин отвечает оптимальному решению, но неизвестно вначале какая.

Графический метод прост и нагляден, но применение его ограничено.

При трех переменных пришлось бы строить многогранник в многомерной системе координат. При четырех и более переменных графическое изображение невозможно. Но можно представить многомерное пространство абстрактно. Если условие задачи непротиворечиво, то область допустимых значений (ОДЗ) образует выпуклый многоугольник в и-мерном пространстве.

При этом оптимальное решение, если оно существует, обязательно достигается в некоторой вершине многогранника (возможно и более чем в одной).

Таким образом, чтобы найти решение задачи линейного программирования достаточно перебрать варианты, соответствующие вершинам многогранника. Они называются опорными планами. Однако в сложных задачах их может оказаться чрезмерно много и определение опорных планов потребует огромного объема вычислений.

Симплексный метод позволяет осуществить упорядоченный перебор вершин многогранника.

Последовательность расчетов по симплексному методу рассмотрим на примере.

Пример 2.23

Предприятие располагает тремя группами оборудования (I, II, III), па котором изготавливается четыре вида продукции (А, Б, В, Г). Все изделия имеют неограниченный сбыт и, следовательно, предприятие может планировать ассортиментную программу в пределах данной номенклатуры.

Имеются следующие ограничения:

• - наличие основного оборудования;
• - нормы времени на обработку каждого вида изделий на оборудовании каждой группы;
• - величина прибыли, полученная предприятием за единицу конкретного вида изделий.

Требуется получить максимальную прибыль.

Искомый выпуск: х { - изд. А; х 2 - изд. Б; х 3 - изд. В; х 4 - изд. Г.

Максимальная прибыль:

Ограничения:

Для решения задачи симплексным методом все неравенства превращаем в равенства. Для этого вводим в задачу три дополнительные неотрицательные переменные величины: х 5 , х 6 , х 7 и прибавляем их к левой части неравенства:

По своему экономическому смыслу дополнительные переменные есть ни что иное, как неиспользованное время работы конкретного оборудования. Для решения задач симплекс методом составляются специальные симплекс таблицы.

В самой верхней строке записаны коэффициенты целевой функции. Дополнительным переменным соответствуют нулевые коэффициенты. Неиспользованное оборудование не приносит прибыль. Те же нулевые показатели - в столбце С против каждой дополнительной переменной.

В заполнении строки Zj - Cj имеются свои особенности. Рассматривается Zj для каждого столбца. Она получается как сумма произведений величин столбца С на соответствующие коэффициенты столбца j. Поскольку в первоначальном варианте в столбце С находятся 0, то величина Zj для всех столбцов равна 0, а величина Zj - Cj = -Cj. Поэтому в начальном варианте здесь поставлены коэффициенты целевой функции с обратным знаком. Все основные переменные приравнены к 0 и не входят в базис нашей задачи. Дополнительные переменные равны предельным значениям в соответствии с исходными уравнениями. Это означает, что ничего не производится, ресурсы не используются и значение целевой функции равно 0 (прибыль отсутствует).

Решение задачи заключается в последовательном введении в план основных переменных, пока не будет получено оптимальное решение. При этом на каждом этапе расчета можно ввести лишь одну переменную. При этом другая переменная выводится из базы, так как при трех ограничениях в базисе не может быть больше трех переменных.

Поскольку задача решается на max прибыли, начинать надо с наиболее прибыльного изделия. В нашем случае это изд. Г. В базис вводится х 4 . Определим, каким может быть предусмотрен выпуск изд. Г. Это зависит от объема ресурсов и нормативов затрат. На оборудовании группы I можно обработать 3000 изд. (24 000/8), группа II в изготовлении Г не участвует, а группа III может быть использована на обработку 30 000 изд. Принимаем наименьшее из значений (3000 изд.), в таблице в колонку «базис» х 4 ставится на место х 5 (оборудование группы I равняется нулю, так как использовано полностью). Число 8 на пересечении х А и х 5 называется направляющим элементом или генеральным , ключевым , разрешающим.

Строка х 4 в новой таблице получается путем деления строки выводящей переменной х 5 предыдущей таблицы на направляющий элемент. В столбце С проставляется 0,8 - величина прибыли с единицы изд. Г. После этого пересчитывается столбец «план». На оборудовании группы II изд. Г не обрабатывается и в новом варианте фонд его времени остается без изменений (12 000 мин).

Фонд времени оборудования группы III уменьшится на 3000 мин (1 мин х х 3000 шт.), следовательно остаются неиспользованными 27 000 мин. Следующее число столбца «план» - 2400 руб. (0,8 3000) - прибыль при данном варианте. После столбца «план» пересчитываются все остальные столбцы симплексной таблицы, кроме строки вводимой переменной. При этом, следует иметь в виду, что в столбцах всех переменных, входящих в базис, на пересечении одноименных строк и столбцов всегда находится единица, а остальные элементы столбца равны нулю.

Поэтому сразу можно заполнить столбцы х 4 , х 6 и х 7 . Пересчет целесообразно производить по «правилу треугольника». Для того, чтобы рассчитать в новом варианте какой-либо коэффициент, нужно в симплексной таблице найти три числа: число, стоящее на месте этого коэффициента в предыдущем варианте;

• - число, стоящее в той же строке предыдущего варианта, но в столбце вводимой переменной;
• - число, находящееся в новом варианте в одном столбце с искомым коэффициентом, но в строке вновь введенной переменной (элементы этой строки ранее уже были рассчитаны).

Указанные три числа в таблице образуют прямоугольный треугольник. Для определения искомого коэффициента из числа, находящегося в вершине прямого угла необходимо вычесть произведение двух других углов.

Например, для столбца.гр

Производим вычисление:

для коэффициента по строке

для коэффициента строки х 7:

Показатель для строки Zj - Cj можно рассчитать двумя способами:

а) по формуле

б) по правилу «треугольника»:

Аналогично производим расчеты и для других столбцов нового варианта симплексной таблицы.

Теперь необходимо выяснить, является ли второй вариант оптимальным или он может быть улучшен. Для этого просматривается строка Zj - Cj. Если она содержит отрицательные числа, то вариант может быть улучшен.

На 0,3 руб. в расчете на каждую вводимую единицу изделий увеличится прибыль при введении в базис числах! (изд. А) и на 0,1 руб. при введении числах 3 (изд. В). Эти цифры могут показаться противоречащими исходным данным: согласно которым изд. А приносит 0,4 руб. прибыли, В - 0,5 руб. Но дело в том, что на данном этапе задачи введение в план этих изделий вытеснит известное количество ранее введенных изд. Г, чтобы для их производства высвободить оборудование группы I.

На следующем этане целесообразнее ввести х { (изд. А), гак как ему соответствует наибольшее по абсолютной величине отрицательное число. Аналогично предыдущему варианту установим сколько едении изд. А может быть включено в план с учетом того, что он уже содержит выпуск изд. Г. Для этого числа из столбца «план» делим на соответствующие (только положительные) коэффициенты из столбца вводимой переменной х { и из полученных частных выбираем наименьшее:

Отсюда следует, что в новый вариант расчета может быть введено не более 4000 изд. А, гак лимитирующим фактором является оборудование группы II. Следовательно, переменная х { заменит в базисе переменную х в.

На пересечении столбца х х и строки х 6 находим и подчеркиваем направляющий элемент - 3. Далее рассчитываем строку введенной переменной путем деления элементов строки х 6 предыдущего варианта на направляющий элемент. Затем рассчитываем столбец «план»:

Прибыль при новом варианте составит:

По описанному правилу заполняем следующие столбцы. Просматривая строку Zj - Cj видим, что в ней содержатся только нули и положительные элементы, что означает, что вариант 3 является оптимальным решением и не может быть улучшен. В него входят лишь два вида изделий из четырех. Переменная х 3 соответствует в последней строке 0. Это означает, что введение в план на последующем шаге х 3 не увеличит прибыль, но и не уменьшит ее и полученный результат также будет оптимальным. Разделив числа столбца «план» на коэффициенты столбца х 3 и выбрав из полученных минимальное, определяем, что данная переменная должна вводиться в базис на место переменной^. В результате последующих преобразований получаем новый оптимальный план, в котором предусматривается выпуск 2182 изд. А (х {) и 5455 изд. В (.г 3). Найдем еще несколько оптимальных вариантов решения нашей задачи. Вариант /: 50% из первой программы и 50% из второй программы:

Вариант II: 80% из первой программы и 20% из второй программы:

Эти варианты также обеспечивают прибыль в размере 3600 руб.

Наличие нескольких практически равных эффективных планов позволяет определить ряд промежуточных вариантов, что в экономических задачах дает дополнительные возможности для анализа и качественного отбора наиболее приемлемых из них.

При решении задач симплекс методом могут встретиться случаи «вырождения». При т ограничениях невырожденный план всегда содержит т положительных переменных, а остальные п - т переменных задачи в базис не входят и равняются нулю. Однако возможно равенство нулю и одной или нескольких переменных из входящих в базис, т.е. наличие одного или несколько нулей в столбце «план» симплексной таблицы. Такой план и называется вырожденным. При вырожденном плане наличие отрицательных чисел в строке Zj - Cj не означает, что следующий вариант обеспечит увеличение значения целевой функции. Оно может остаться неизмененным, причем на протяжении не только одного, но и нескольких последовательных шагов. Так происходит зацикливание , которое препятствует дальнейшим расчетам и может быть преодолено лишь с помощью специальных приемов.

В настоящее время при решении задач оптимизации широко применяются персональные компьютеры. При этом используется система электронных таблиц «Microsoft Excel ».

Для решения задач оптимизации в MS Excel используют надстройку Поиск решения, которая вызывается из пункта главного меню «Сервис».

Если в версии Excel , установленной на вашем компьютере, отсутствует данный подпункт меню «Сервис», необходимо вызвать пункт меню «Надстройки» и в предложенном списке дополнительных модулей выбрать «Поиск решения».

Рассмотрим на примере использование данной надстройки, решив с ее помощью задачу производственного планирования.

Пример 2.24

Предприятие выпускает продукты А, В, С, D из трех типов ресурсов. Математическая модель имеет следующий вид: шах/(Х) = 7,5я* 1 +3х 2 + 6дг 3 + 12.г 4 (целевая функция - суммарная стоимость выпуска).

Ограничения по запасам ресурсов и неотрицательности переменных таковы:

Составим шаблон в редакторе Excel.

Теперь занесем в данную задачу числовую информацию.

В выделенные пустые ячейки (значения целевой функции и левых частей неравенств) необходимо занести формулы, отображающие связи и отношения между числами на рабочем столе.

Ячейки С 4 - F a называются в Excel изменяемыми (в нашей модели это неизвестные переменные). Поиск решения при их изменении будет находить оптимальное значение целевой функции. Значения, которые первоначально вводят в эти ячейки, обычно нули (незаполненные клетки трактуются по умолчанию как содержащие нулевые значения).

Теперь необходимо ввести формулы. В нашей математической модели целевая функция представляет собой произведение вектора коэффициентов на вектор неизвестных. Действительно, выражение можно рассматривать

как произведение вектора (7, 5, 3, б, 12) на вектор (.г, х 2 , я-*, х А).

В Excel существует функция СУММПРОИЗВ, которая позволяет найти скалярное произведение векторов. Данную функцию необходимо вызвать в ячейку #5, а в качестве перемножаемых векторов задать адреса ячеек, содержащих коэффициенты уравнений (в данном случае, это С5: F5 ), и ячеек, в которые в результате решения будут помещены значения х и х 2 , х 3 , х 4 (ячейки СА : FA).

Каждая левая часть ограничения тоже представляет собой произведение двух векторов: соответствующей строки матрицы затрат и вектора неизвестных. Выражение 2х х + х 2 + 0Дг 3 + 4х л (для первого ограничения 2х, + х 2 + 0,5х 3 + 4 х 4 2400) будем рассматривать как произведение вектора коэффициентов (2,1,0,5,4) и вектора переменных (х и х 2 , х 3 , х 4).

В ячейке, отведенной для формулы левой части первого ограничения ((79), вызовем функцию СУММПРОИЗВ. В качестве адресов перемножаемых векторов занесем адрес строки коэффициентов С9: /0 и адрес значений переменных С4: FA.

В четыре оставшиеся ячейки графы «Левая часть» вводим аналогичные формулы, используя соответствующую строку матрицы затрат. Фрагмент экрана с введенными формулами выглядит следующим образом.

К моменту вызова сервиса «Поиск решения» на рабочий стол с задачей должны быть занесены формулы для левых частей ограничений и формула для значения целевой функции.

В меню «Сервис» выбираем «Поиск решения». В появившемся окне задаем следующую информацию:

• а) в качестве целевой ячейки устанавливаем адрес ячейки для значения целевой функции #5;
• б) «флажок» устанавливаем на вариант «максимальному значению», так как в данном случае целевая функция дохода подлежит максимизации;
• в) в качестве изменяемых ячеек заносится адрес строки значений переменных С4: F4;
• г) справа от окна, предназначенного для занесения ограничений, нажимаем кнопку «Добавить», появится форма для занесения ограничения;

д) в левой части формы «Ссылка на ячейку» заносится адрес формулы для левой части первого ограничения G 9, выбирается требуемый знак неравенства (в нашем случае,

е) аналогично заносятся все ограничения задачи, после чего нажимается кнопка «ОК».

Окно «Поиск решения» с занесенной информацией выглядит следующим образом.

Далее необходимо нажать кнопку «Параметры», установить «флажки» «Линейная модель» и «Неотрицательные значения», поскольку в данном случае задача относится к линейному программированию, а ограничение требует неотрицательности значений.

Затем следует нажать «ОК», «Выполнить», после чего появляется окно результата решения.

Если в результате всех действий получено окно с сообщением «Решение найдено», то вам предоставляется возможность получения трех типов отчета, которые полезны при анализе модели на чувствительность. В данном примере достаточно сохранить найденное решение, нажав «ОК». В результате получено решение задачи.

Если же в результате решения задачи выдано окно с сообщением о невозможности нахождения решения, это означает, что при оформлении задачи была допущена ошибка (не заполнены формулы для ограничений, неправильно установлен «флажок», максимизации (минимизации) и т.д.).

В окне «Поиск решения» имеется кнопка «Параметры».

Установим флажок «Показывать результаты итераций», нажмем «ОК».

Затем нажмем кнопку «Выполнить».

Ms Excel выдаст следующее окно.

На рабочем листе будут показаны результаты первой итерации.

После этого нажимаем кнопку «Продолжить», на рабочем листе отображаются результаты второй итерации.

Снова нажимаем кнопку «Продолжить», на рабочем листе отображаются результаты третьей итерации.

При следующем нажатии кнопки «Продолжить», программа выдает окно «Результаты поиска решения», где необходимо сохранить найденное решение и выбрать тип отчета.

В данном разделе рассмотрен общий формат решения задач оптимизации в Excel. В зависимости от экономических моделей, выполняют его соответствующие модификации.

Отчеты выглядят следующим образом.

1. Отчет по результатам.

2. Отчет по устойчивости.

3. Отчет по пределам.

Теперь рассмотрим пример, в котором математическая модель имеет тот же вид, но ограничения имеют разные знаки.

Пример 2.25

Л. Допустим, математическая модель такова: Она имеет следующие ограничения:

Отчет по устойчивости.

Б. Теперь предположим, что математическая модель имеет другие ограничения:

В данном случае имеем следующие результаты по отчетам.

Отчет по устойчивости.

• Воспользуемся для решения этой же задачи одним из методов линейного программирования - графическим. Пример 2.22 Введем обозначения: х{ - искомое количество дверей ДВ, х2 - искомое количество дверей ДВС.

Линейное программирование представляет собой один из наиболее значимых разделов математики, где осуществляется изучение теоретических и методических основ решения определенных задач. Данная математическая дисциплина широко используется в последние годы в разнообразных экономических и технических областях, где не последняя роль отведена математическому планированию и использованию автоматических систем вычисления. Этот раздел науки посвящен изучению линейных оптимизационных моделей. То есть линейное программирование посвящено числам. Впервые данный термин был предложен Т. Купмансом в 1951 году. Оптимальный план каждой линейной программы необходимо автоматически связывать с оптимальным уровнем цен, то есть с объективно обусловленными оценками.

Линейное программирование: методы

При помощи методики удается решить немалое количество экстремальных задач, что связаны с экономикой. В данном случае обычно требуется найти крайние значения некоторых функций переменной величины. В качестве основы линейного программирования выражено решение системы преобразуемых в уравнения и неравенства. Данный вид программирования характеризуется математической формулировкой переменных величин, последовательностью и определенным порядком расчетов, а также логическим анализом. Это применимо:

Если имеется математическая определенность и количественная ограниченность между изучаемыми факторами и переменными величинами;

Если имеется взаимозаменяемость факторов благодаря последовательности расчетов;

В случае если математическая логика совмещена с пониманием сущности явлений, которые изучаются.

Линейное программирование в способствует исчислению оптимальной производительности всех машин, поточных линий, агрегатов, а также решению задач рационального применения имеющихся материалов.

В сельском хозяйстве при помощи данного метода определяется минимальная стоимость рациона кормежки с учетом имеющегося количества корма. При этом учитываются виды и содержание в них определенных полезных веществ.

В литейном производстве данная методика позволяет найти решение транспортной задачи и задачи о смесях, которые входят в состав металлургической шихты. Суть транспортной задачи в данном случае подразумевает оптимальное прикрепление потребляющих предприятий к предприятиям, которые заняты производством продукции.

Линейное программирование: задачи

Отличительной чертой всех экономических задач, которые решаются посредством методики линейного программирования, является выбор определенных вариантов решения, а также ограничивающих условий. Благодаря решению такой задачи удается найти оптимальное решение из всех альтернативных вариантов.

Значительной ценностью использования методики линейного программирования в экономике служит выбор самого оптимального варианта из большого количества всех вариантов, которые считаются допустимо возможными. Подобные задачи почти нереально решить иными способами, так как только они позволяют найти степень рациональности применения При помощи линейного программирования разрешается такая основная задача, как транспортная, которая должна минимизировать грузооборот продукции широкого потребления в процессе их доставки от производителя.

Линейное программирование в Excel

В процессе решения таких задач для начала необходимо составить модель, что подразумевает формулировку условий на математическом языке. После этого этапа можно найти решение посредством графического метода. Для этого в программе Excel существует специальная функция «Поиск решения».

Как уже понятно из вышесказанного, линейное программирование имеет весьма обширную сферу применения.